1、3.3.1抛物线及其标准方程 第三章 3.3抛物线 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程. 学 习 目 标 通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线 l(不过点F)的距离之比为k，当0k1时， 点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k1时，即动点M到定点F 的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、抛物线的定义 二、抛物线定义的应用 三、抛物线的实际应用问题 内容索引 一、抛物线的定义 问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l 是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点 H作MH
2、l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M， 拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何 条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|MH|，即点M与定点F 的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似. 1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的 的点 的轨迹叫做抛物线. 2.焦点：定点 . 3.准线：定直线 . 注意点：注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一 定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线
3、. 距离相等 F 知识梳理 l 问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系， 可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂 足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直 角坐标系Oxy. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义， 抛物线是点的集合PM|MF|d. 将上式两边平方并化简，得y22px(p0). 图形标准方程焦点坐标准线方程 _ _ _ _ y22px(p0) 知识梳理 y22px(p0) _ _ _ _ _ x22py(p0) x22py(p0) 注意点：注意点： (1)p的几何意义是
4、焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取 值范围. 例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(3，1)； 解因为点(3，1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0). 若抛物线的标准方程为y22px(p0)， 若抛物线的标准方程为x22py(p0)， (2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点. 解对于直线方程3x4y120， 令x0，得y3；令y0，得x4， 所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0). 此时抛物线的标准方程为x
5、212y； 此时抛物线的标准方程为y216x. 故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x. 反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2 ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数. 跟踪训练1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则p_， 准线方程为_. 2 x1 解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_ _. 解析设方程为x22my(m0)， 由焦点到准线的距离为5， 知|m|5，m5， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210
6、y和x2 10y. x210y 和x210y 二、抛物线定义的应用 例2(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF| 则x0等于 A.1 B.2 C.4 D.8 x01. (2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到 该抛物线准线的距离之和的最小值. 解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的 距离. 延伸探究 1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值. 解将x3代入y22x， 所以点A在抛物线内部. 则|PA|PF|PA|d. 解如图，作PQ垂直于准线l于点Q， |PA1|P
7、Q|PA1|PF|A1F|min. 即所求最小值为1. 反思感悟 抛物线定义的应用 实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等 于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的 相互转化，从而简化某些问题. 跟踪训练2(1)已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，若点A(2，4)在抛 物线上，则点A到焦点的距离为_. 解析把点(2，4)代入抛物线y22px，得164p， 即p4，从而抛物线的焦点为(2,0). 故点A到焦点的距离为4. 4 (2)设点A的坐标为(1， )，点P在抛物线y28x上移动，P到直线x1 的距离为d，则d|PA|的最小值为 A.1 B.2
8、 C.3 D.4 解析由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，点P到准线x2的距离 为d1，于是|PF|d1， 所以d|PA|PF|1|PA|的最小值为|AF|1413. 三、抛物线的实际应用问题 例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一 小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上 涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴， 建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x22py(p0)， 由题意可知，点B(4，5)在抛物线上， 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
9、设此时船面宽为AA， 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m). 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航. 反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系， 利用抛物线的标准方程进行求解. 跟踪训练3某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为 a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 解析如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角 坐标系Oxy.设抛物线为x22py(p0)， 1.知识清单： (1)抛物线的定义. (2)抛物线的标准方程的四种形式. (3)抛物线定义的应用. 2.方法归纳：待定系数
10、法、定义法、转化化归. 3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 课堂小结 随堂演练 由此可知准线方程为y2. 1234 2.已知抛物线y2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为 1234 解析由抛物线y2px2过点(1,4)，可得p2， 右顶点的坐标为(4,0). 设抛物线的标准方程为y22px(p0)， 1234 y216x 抛物线的标准方程为y216x. 4.若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距 离为10，则点M的坐标为_. (9,6)或(9，6) 1234 解析由抛物线方程y22px(p0)， 设点M到准线的距离为d， 得p2，故抛物线方程为y2
11、4x. 由点M(9，y)在抛物线上，得y6， 故点M的坐标为(9,6)或(9，6). 课时对点练 1.准线与x轴垂直，且经过点(1， )的抛物线的标准方程是 A.y22x B.y22x C.x22y D.x22y 解析由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p 0)， 则( )22p， 解得p1，因此抛物线的标准方程为y22x. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.(多选)经过点P(4，2)的抛物线的标准方程可以为 A.y2x B.x28y C.x28y D.y28x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若抛物线的焦点在x轴上，
12、 设抛物线的方程为y22px(p0)， 又因为抛物线经过点P(4，2)， 所以(2)22p4， 解得p ， 所以抛物线的方程为y2x. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x22py(p0)， 又因为抛物线经过点P(4，2)， 所以422p(2)，解得p4，所以抛物线的方程为x28y. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 解析由题意可知， 动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义， 故应选D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已
13、知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 上， 则抛物线的方程为 A.y28x B.y24x C.y22x D.y28x 12345678910 11 12 13 14 15 16 即为(2,0)或(2,0)， 所以抛物线的方程为y28x或y28x. 5.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 解析易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线， 如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点.由图可知， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.为
14、响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华 制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对 称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m， 镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应 距离集光板顶点 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的 抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系， 设抛物线方程为x22py(p0)，集光板端点A(1,0.25) ， 代入抛物线方程可得20.25p1，p2， 所以抛物线方程为
15、x24y，故焦点坐标是F(0,1). 所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 抛物线y28x的准线方程为x2， 该双曲线的一个焦点在抛物线y28x的准线上， 12345678910 11 12 13 14 15 16 a2b24， 由，得a23，b21， 8.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PAl，A 为垂足，如果直线AF的斜率为 那么|PF|_.8 解析如图，AFE60， 因为F(2,0)， 所以E(2,0)， 12345678910 11 12 1
16、3 14 15 16 故|PF|PA|628. 9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点； 12345678910 11 12 13 14 15 16 p6，抛物线的方程为y212x. (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5. 解设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又(3)22pm， p1或p9， 故所求抛物线方程为y22x或y218x. 10.已知抛物线C：x22py(p0)上两点A，B且ABy轴，OAOB， AOB
17、的面积为16，求抛物线C的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(m，n)，可得m22pn， ABy轴，且OAOB， 即AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即mn， 解得mn4，p2，所以抛物线C的方程为x24y. 解析由题意知，A为抛物线的焦点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 则|PA|PB|d|PB|，d|PB|的最小值为B到准线的距离， 当PB垂直于准线时取最小值. 解析过点Q作QQl于点Q，如图. 12345678910 11 12 13 14 15 16 |PQ|
18、PF|34， 又焦点F到准线l的距离为4， |QF|QQ|3. 6 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 即x1x2x33， 14.对标准形式的抛物线，给出下列条件： 焦点在y轴上； 焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为y210 x的是_.(要求填写适合条件的序号) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析抛物线y210 x的焦点在x轴上，满足，不满足； 1234567891
19、0 11 12 13 14 15 16 若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时， 则k2，此时存在， 所以满足. 15.已知P为抛物线x212y上一个动点，Q为圆(x4)2y21上一个动点， 则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是 A.4 B.3 C.2 D.1 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由抛物线的方程可知焦点F(0,3)，则准线方程为y3， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点A，延长PA交准线于点B，设圆 (x4)2y21的圆心为点C. 根据抛物线的定义可得|PA|PB|AB|PF|AB|， |PA|PQ|PF|PQ|AB|PF|
20、PQ|3， 当|PA|PQ|最小时，则|PF|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之 间)三点共线时，|PA|PQ|最小， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (|PA|PQ|)min(|PF|PQ|)min3431. 16.设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1. 由抛物线的定义，知|PF|d， 于是问题转化为求|PA|PF|的最小值. 如图，连接AF，交抛物线于点P， (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图). 由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|， 则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314. 即|PB|PF|的最小值为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：
