1、2.4圆的方程圆的方程 24.1圆的标准方程圆的标准方程 学习目标1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程， 能准确判断点与 圆的位置关系 导语 古朗月行 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也 大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆 的坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题 1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心， 定长称为圆的半径
2、 确定圆的因素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 问题 2已知圆心为 A(a，b)，半径为 r，你能推导出圆的方程吗？ 提示设圆上任一点 M(x，y)，则|MA|r，由两点间的距离公式，得 xa2yb2r， 化简可得：(xa)2(yb)2r2. 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径 注意点： (1)当圆心在原点即 A(0,0)，半径长 r1 时，方程为 x2y21，称为单位圆 (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的 (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上 例 1(1)与 y 轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆
3、的标准方程为_ 答案(x5)2(y3)225 解析圆心坐标为(5，3)，又与 y 轴相切， 该圆的半径为 5， 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225. (2)以两点 A(3，1)和 B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_ 答案(x1)2(y2)225 解析AB 为直径， AB 的中点(1,2)为圆心， 1 2|AB| 1 2 5325125 为半径， 该圆的标准方程为(x1)2(y2)225. 反思感悟直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时 还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等
4、 跟踪训练 1求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点(3，4) 解(1)r2(24)2(20)28， 圆的标准方程为(x4)2y28. (2)设圆心为 C(0，b)，则(30)2(4b)252， b0 或 b8，圆心为(0,0)或(0，8)， 又 r5， 圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225. 二、点与圆的位置关系 问题 3点 M0(x0，y0)在圆 x2y2r2内的条件是什么？在圆 x2y2r2外的条件又是什么？ 提示点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径 知识梳理
5、 圆 C：(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为 C(a，b)，半径为 r，点 P(x0，y0)， 设 d|PC| x0a2y0b2. 位置关系利用距离判断利用方程判断 点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2 点在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2 点在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2 例 2(1)已知 a，b 是方程 x2x 20 的两个不相等的实数根，则点 P(a，b)与圆 C：x2 y28 的位置关系是() A点 P 在圆 C 内B点 P 在圆 C 外 C点 P 在圆 C 上D无法确定 答案A 解析由题意，得 ab1，ab 2， a2b2(ab)22ab12 28， 点 P
6、在圆 C 内 (2)已知点 P(2,1)和圆 C： xa 2 2(y1)21，若点 P 在圆 C 上，则实数 a_.若点 P 在圆 C 外，则实数 a 的取值范围为_ 答案2 或6a2 解析由题意，得 xa 2 2(y1)21，当点 P 在圆 C 上时， 2a 2 2(11)21 ，解得 a 2 或6. 当点 P 在圆 C 外时， 2a 2 2(11)21， 解得 a2. 反思感悟判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 跟踪训练 2已知点 M(5 a1， a)在圆(x1)2y2
7、26 的内部，则 a 的取值范围为 _ 答案0,1) 解析由题意知 a0， 5 a112 a226， 即 a0， 26a26， 解得 0a 1 13或 a1,169a21，a2 1 169， a 1 13或 a 1 13. 课时课时对点对点练练 1圆(x1)2(y 3)21 的圆心坐标是() A(1， 3)B(1， 3) C(1， 3)D(1， 3) 答案C 解析由圆的标准方程(x1)2(y 3)21，得圆心坐标为(1， 3) 2已知点 A(3，2)，B(5,4)，以线段 AB 为直径的圆的标准方程是() A(x1)2(y1)225 B(x1)2(y1)225 C(x1)2(y1)2100 D
8、(x1)2(y1)2100 答案B 解析由题意得圆心坐标为(1,1)，半径 r1 2|AB| 1 2 3522425，所以圆的标准 方程是(x1)2(y1)225. 3圆(x1)2y21 的圆心到直线 y 3 3 x 的距离是() A.1 2 B. 3 2 C1D. 3 答案A 解析圆(x1)2y21 的圆心坐标为(1,0)， 所以圆心到直线 y 3 3 x 的距离为 d | 3 3| 1 3 3 2 1 2. 4已知圆(xa)2(y1)22a(0a1)，则原点 O 在() A圆内B圆外 C圆上D圆上或圆外 答案B 解析由圆的方程(xa)2(y1)22a，知圆心为(a,1)， 则原点与圆心的距
9、离为 a21. 0a1， a21 2ar，即原点在圆外 5(多选)已知圆 M：(x4)2(y3)225，则下列说法正确的是() A圆 M 的圆心为(4，3) B圆 M 的圆心为(4,3) C圆 M 的半径为 5 D圆 M 被 y 轴截得的线段长为 6 答案ACD 解析由圆 M：(x4)2(y3)252， 故圆心为(4，3)，半径为 5，则 AC 正确； 令 x0，得 y0 或 y6，线段长为 6，故 D 正确 6已知圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2与圆 C1关于直线 xy10 对称，则圆 C2的方 程为() A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)21D
10、(x2)2(y2)21 答案B 解析在圆 C2上任取一点(x，y)， 则此点关于直线 xy10 的对称点(y1，x1)在圆 C1：(x1)2(y1)21 上， 所以(y11)2(x11)21， 即(x2)2(y2)21. 7与圆 C：(x1)2y236 同圆心，且面积等于圆 C 面积的一半的圆的方程为 _ 答案(x1)2y218 解析圆 C 的半径 R6，设所求圆的半径为 r， 则r 2 R2 1 2，所以 r 218， 又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x1)2y218. 8圆(x1)2(y1)21 上的点到直线 xy2 的距离的最大值是_ 答案21 解析圆(x1)2(y1)21 的圆心
11、为 C(1,1)， 则圆心到直线 xy2 的距离 d |112| 1212 2， 故圆上的点到直线 xy2 的距离的最大值为 21. 9已知圆 N 的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0) (1)若点 M(6,9)在圆 N 上，求半径 a； (2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求 a 的取值范围 解(1)点 M(6,9)在圆 N 上， (65)2(96)2a2，a210. 又 a0.a 10. (2)由已知，得圆心 N(5,6) |PN| 352362 13， |QN| 5523623， |PN|QN|，故点 P 在圆外，点 Q 在圆内， a 的取值范围是
12、3a 13，即 a(3， 13) 10已知点 A(1，2)，B(1,4)，求 (1)过点 A，B 且周长最小的圆的方程； (2)过点 A，B 且圆心在直线 2xy40 上的圆的方程 解(1)当 AB 为直径时，过 A，B 的圆的半径最小，从而周长最小 即 AB 中点(0,1)为圆心，半径 r1 2|AB| 10. 则圆的方程为 x2(y1)210. (2)方法一AB 的斜率为 k3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y11 3x.即 x3y30， 由圆心在直线 2xy40 上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是 C(3,2) r|AC| 1322222 5. 故所求圆的方程是(x3)2(y2)22
13、0. 方法二待定系数法 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2. 则 1a22b2r2， 1a24b2r2， 2ab40， a3， b2， r220， 故所求圆的方程为(x3)2(y2)220. 11(多选)以直线 2xy40 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可 能为() Ax2(y4)220B(x4)2y220 Cx2(y2)220D(x2)2y220 答案AD 解析令 x0，则 y4； 令 y0，则 x2. 所以直线 2xy40 与两坐标轴的交点分别为 A(0,4)，B(2,0)|AB| 22422 5，以 A 为圆心， 过 B 点的圆的方程为 x2(y4)220. 以 B
14、 为圆心，过 A 点的圆的方程为(x2)2y220. 12已知直线(32)x(32)y50 恒过定点 P，则与圆 C：(x2)2(y3)216 有 公共的圆心且过点 P 的圆的标准方程为() A(x2)2(y3)236 B(x2)2(y3)225 C(x2)2(y3)218 D(x2)2(y3)29 答案B 解析由(32)x(32)y50， 得(2x3y1)(3x2y5)0， 则 2x3y10， 3x2y50， 解得 x1， y1， 即 P(1,1) 圆 C：(x2)2(y3)216 的圆心坐标是(2，3)， |PC| 1221325， 所求圆的标准方程为(x2)2(y3)225，故选 B.
15、13圆(x3)2(y1)21 关于直线 xy30 对称的圆的标准方程是_ 答案(x4)2y21 解析设圆心 A(3，1)关于直线 xy30 对称的点 B 的坐标为(a，b)， 则 b1 a311， a3 2 b1 2 30， 解得 a4， b0， 故所求圆的标准方程为(x4)2y21. 14已知点 P(x，y)为圆 x2y21 上的动点，则 x24y 的最小值为_ 答案4 解析点 P(x，y)为圆 x2y21 上的动点， x24y1y24y(y2)25. y1,1， 当 y1 时，(y2)25 有最小值4. 15已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A4B5
16、C6D7 答案A 解析设圆心 C(x，y)，则 x32y421， 化简得(x3)2(y4)21， 所以圆心 C 的轨迹是以 M(3,4)为圆心，1 为半径的圆， 所以|OC|1|OM| 32425， 所以|OC|514，当且仅当 C 在线段 OM 上时取等号 16设圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段弧，其弧长比为 31.在满足上述 条件的圆中，求圆心到直线 l：x2y0 的距离最小时的圆的方程 解设圆心为(a，b)，半径长为 r， 依题意，得 2|b|r， a21r2， 消去 r，得 2b2a21， 圆心到直线 l 的距离 d|a2b| 5 . 设 a2bk，则 a2bk，代入式， 整理得 2b24bkk210. 判别式8(k21)0，解得|k|1， 当|k|1 时，dmin 5 5 . 当 k1 时，ab1，圆的方程为(x1)2(y1)22； 当 k1 时，ab1，圆的方程为(x1)2(y1)22.
