1、题组层级快练题组层级快练(五十三五十三) 一、单项选择题 1设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若两直线平行，则 a(a1)2，即 a2a20，a1 或2，故 a1 是两直线平 行的充分不必要条件 2若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为() A12B2 C0D10 答案A 解析由 2m200，得 m10. 由垂足(1，p)在直线 mx4y20 上， 得 104p20. p2. 又垂足(1，2)在直线
2、2x5yn0 上， 则解得 n12. 3若 l1：x(1m)y(m2)0，l2：mx2y60 平行，则实数 m 的值是() Am1 或 m2Bm1 Cm2Dm 的值不存在 答案A 解析方法一：据已知若 m0，易知两直线不平行，若 m0，则有 1 m 1m 2 m2 6 m 1 或 m2. 方法二：由 12(1m)m，得 m2 或 m1. 当 m2 时，l1：xy40，l2：2x2y60，l1与 l2平行 当 m1 时，l1：x2y10，l2：x2y60，l1与 l2平行 4已知直线 l1：x2y10，l2：2xny50，l3：mx3y10，若 l1l2且 l1l3， 则 mn 的值为() A1
3、0B10 C2D2 答案C 解析因为 l1l2且 l1l3，所以 n40，且 m60， 解得 n4，m6，所以 mn642.故选 C. 5(2021吉林高一期中)点 A(cos，sin)到直线 3x4y40 的距离的最大值为() A.1 5 B.4 5 C1D.9 5 答案D 解析点 A(cos，sin)到直线 3x4y40 的距离 d|3cos4sin4| 3242 ， 化简得 d|5sin（）4| 5 ，其中满足 tan3 4， 当 sin()1 时 d 取得最大值，即 d9 5.故选 D. 6已知直线3xy10 与直线 2 3xmy30 平行，则它们之间的距离是() A1B.5 4 C3
4、D4 答案B 解析由题意直线3xy10 与直线 2 3xmy30 平行，则 3 2 3 1 mm2， 即 2 3x2y30，则直线3xy10 可化为 2 3x2y20， 所以两直线之间的距离为 d |32| （2 3）222 5 4，故选 B. 7已知点 P(m，n)在直线 2xy10 上运动，则 m2n2的最小值为() A. 5 5 B. 5 C.1 5 D5 答案C 解析点 P(m，n)是直线 2xy10 上的任意一点， 又 m2n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方， m2n2的最小值为原点到直线距离的平方， 所求最小值为( 1 2212) 21 5，故选 C. 二、多项选择题 8已
5、知直线 l1：axy10，l2：xay10，aR，以下结论正确的是() A不论 a 为何值时，l1与 l2都互相垂直 B当 a 变化时，l1与 l2分别经过定点 A(0，1)和 B(1，0) C不论 a 为何值时，l1与 l2都关于直线 xy0 对称 D如果 l1与 l2交于点 M，则|MO|的最大值是 2(O 为坐标原点) 答案ABD 解析对于 A，a1(1)a0 恒成立，l1与 l2互相垂直恒成立，故正确 对于 B，直线 l1：axy10，当 a 变化时，x0，y1 恒成立，所以 l1恒过定点 A(0， 1)； l2：xay10，当 a 变化时，x1，y0 恒成立， 所以 l2恒过定点 B
6、(1，0)，故正确 对于 C，在 l1上任取点(x，ax1)， 关于直线 xy0 对称的点的坐标为(ax1，x)， 代入 l2：xay10，则左边不恒等于 0，故不正确 对于 D，联立 axy10， xay10，解得 xa1 a21 ， ya1 a21 ， 即 M(a1 a21 ，a1 a21 )，所以|MO| （a1 a21 ）2（a1 a21 ）2 2 a21 2， 所以|MO|的最大值是 2，故正确故选 ABD. 9已知集合 A(x，y)y3 x2a1，B(x，y)|(a 21)x(a1)y15，若 AB， 则 a 的值可能为() A4 或5 2 B1 C1D0 答案ABC 解析由题意当
7、 a1 时，B，满足题意， 当 a1 时，集合 B 表示一条直线，集合 A 也表示一条直线 y3(a1)(x2)，即(a1)x y2a10(去掉点(2，3)， 若直线(a21)x(a1)y15 过点(2，3)，则 2(a21)3(a1)15，解得 a4 或 a5 2， 若两直线平行，则(a21)(a1)(a1)0(a1)，解得 a1， a 的可能值为4， 5 2，1，1.故选 ABC. 三、填空题与解答题 10 已知直线 l 过点 P(3， 4)且与点 A(2， 2)， B(4， 2)等距离， 则直线 l 的方程为_ 答案2x3y180 或 2xy20 解析由题设可知直线 l 斜率存在 设所求
8、直线方程为 y4k(x3)， 即 kxy43k0， 由已知，得 |2k243k| 1k2 |4k243k| 1k2 . k2 或 k2 3. 所求直线 l 的方程为 2x3y180 或 2xy20. 11若函数 yax8 与 y1 2xb 的图象关于直线 yx 对称，则 ab_ 答案2 解析直线 yax8 关于 yx 对称的直线方程为 xay8， 所以 xay8 与 y1 2xb 为同一直线，故得 a2， b4. 所以 ab2. 12如图所示，已知 A(4，0)，B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到 直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线
9、所经过的路程是_ 答案2 10 解析由题意，求出 P 关于直线 xy4 及 y 轴的对称点分别为 P1(4，2)，P2(2，0)，由 物理知识知，光线所经路程即为|P1P2|2 10. 13已知点 M(a，b)在直线 3x4y15 上，则 a2b2的最小值为_ 答案3 解析M(a，b)在直线 3x4y15 上，3a4b15.而 a2b2的几何意义是原点到 M 点 的距离|OM|，( a2b2)min |15| 32423. 14光线从 A(4，2)点射出，射到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1，6)，求 BC 所在
10、的直线方程 答案10 x3y80 解析作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关于 y 轴的对称点为 D， 则易得 A(2，4)，D(1，6)由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C. 故 BC 所在的直线方程为y4 64 x2 12. 即 10 x3y80. 15在ABC 中，BC 边上的高所在直线 l1的方程为 x2y10，A 的平分线所在的直 线 l2的方程为 y0，若点 B 的坐标为(1，2)，求点 A，C 的坐标 答案A(1，0)，C(5，6) 解析如图，设 C(x0，y0)，由题意知 l1l2A，则 x2y10， y0 x1， y0. 即 A(
11、1，0) 又l1BC，kBCkl11. kBC1 kl1 1 1 2 2. 由点斜式可得 BC 的直线方程为 y22(x1)，即 2xy40. 又l2：y0(x 轴)是A 的平分线， B 关于 l2的对称点 B在直线 AC 上，易得点 B的坐标为(1，2)，由两点式可得直线 AC 的方程为 xy10. 由 C(x0，y0)在直线 AC 和 BC 上， 可得 x0y010， 2x0y040 x05， y06.即 C(5，6) 16(2021江西赣州模拟)若动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：xy70，l2：xy 50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点距离的最小值为()
12、A3 2B2 3 C3 3D4 2 答案A 解析由题意知，点 M 所在直线与 l1，l2平行且与两直线距离相等设该直线的方程为 x yc0，则|c7| 2 |c5| 2 ，解得 c6.点 M 在直线 xy60 上点 M 到原点距离的最 小值就是原点到直线 xy60 的距离，即 d|6| 2 3 2.故选 A. 17(2021试题调研)已知点 A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O 为坐标原点，P，Q 分别在线段 AB，BO 上运动，则MPQ 的周长的最小值为() A4B5 C2 5D. 34 答案C 解析过 A(3，0)，B(0，3)两点的直线方程为 xy30， 设 M(1，0)关于直线
13、 xy30 对称的点为 N(x，y)， 则 y x11， x1 2 1 2y30， 解得 x3， y2，即 N(3，2)， 同理可求 M(1，0)关于直线 OB 的对称点为 E(1，0)， 当 N，P，Q，E 四点共线时，MPQ 的周长 MQPQPMEQPQNP， 取得最小值为 NE （31）242 5，故选 C. 18在平面直角坐标系中，定义两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的直角距离为：d(P，Q)|x1 x2|y1y2|.现有以下命题： 若 P，Q 是 x 轴上的两点，则 d(P，Q)|x1x2|； 已知 P(2，3)，Q(sin2，cos2)，则 d(P，Q)为定值； 原点
14、O 与直线 xy10 上任意一点 P 之间的直角距离 d(O，P)的最小值为 2 2 ； 若|PQ|表示 P，Q 两点间的距离，那么|PQ| 2 2 d(P，Q) 其中真命题是_(写出所有真命题的序号) 答案 解析因为 P，Q 是 x 轴上的两点，故|y1y2|0，则 d(P，Q)|x1x2|，正确；根据 定义 d(P，Q)|2sin2|3cos2|，因为 sin20，1，cos20，1，故 d(P，Q) 2sin23cos24，正确；根据定义 d(O，P)|x|y|x|x1|x(x1)| 1， 当且仅当 x(x1)0 时， 取得最小值， 错误； 因为|PQ| （x1x2）2（y1y2）2， d(P，Q)|x1x2|y1y2|, 由不等式 2(a2b2)(ab)2，即可得|PQ| 2 2 d(P，Q)，正确
