1、习题课习题课圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的综合问题 学习目标1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用.2.能根据圆锥曲线 的有关性质解决综合问题 一、范围与最值问题 例 1已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点坐标为( 3，0)，且点(0，1)在 C 上 (1)求椭圆的方程； (2)过点(1,0)的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，P 为线段 MN 的中点，A 为 C 的左顶点，求直线 PA 的斜率 k 的取值范围 解(1)由题意，得 a2b23， b1， 解得 a2， b1. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)当直线 l 的斜率为 0 时
2、，AP 的斜率 k0. 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 xmy1， 联立方程组 xmy1， x2 4 y21， 得(m24)y22my30. 0 显然成立 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)， 则 y1y2 2m m24， y0 m m24， 则 x0my01 m2 m241 4 m24， 而点 A 的坐标为(2,0)， 直线 AP 的斜率为 k m m24 4 m242 m 2m212. 当 m0 时，k0. 当 m0 时，|k| m 2m212| 1 |2m12 m| . |2m 12 m|2m| 12 m|4 6，当且仅当|2m| 12 m|时
3、，等号成立 0b0)的离心率为 1 2，椭圆的短轴端点与双曲线 y2 2 x2 1 的焦点重合，过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求OA OB 的取值范围 解(1)由题意知 ec a 1 2， 所以 e2c 2 a2 a2b2 a2 1 4，所以 a 24 3b 2， 因为双曲线y 2 2 x21 的焦点坐标为(0， 3)， 所以 b 3，所以 a24， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)当直线 l 的倾斜角为 0时，不妨令 A(2,0)，B(2,0)， 则OA OB 4； 当直线 l 的
4、倾斜角不为 0时，设其方程为 xmy4， 由 xmy4， 3x24y212 (3m24)y224my360， 由0(24m)24(3m24)360m24， 设 A(my14，y1)，B(my24，y2) 因为 y1y2 24m 3m24，y 1y2 36 3m24， 所以OA OB (my14)(my24)y1y2m2y1y24m(y1y2)16y1y2 116 3m244， 因为 m24，所以OA OB 4，13 4 . 综上所述，OA OB 的取值范围为 4，13 4 . 二、定点与定值问题 例 2已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭 圆于
5、A， B 两点， OA OB 与 a(3， 1)共线 设 M 为椭圆上任意一点， 且OM OA OB (， R)，求证：22为定值 证明M 是椭圆上任意一点，若 M 与 A 重合， 则OM OA ，此时1，0， 221，现在需要证明22为定值 1. 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 N(x0，y0)， x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 得x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 0， 即y1y2 x1x2 b2x1x2 a2y1y2 b2x0 a2y0， 又kABy1y2 x1x21， y
6、0b 2 a2x 0. 直线 ON 的方向向量为ON 1，b 2 a2， ON a， 1 3 b2 a2. a23b2， 椭圆方程为 x23y23b2， 又直线方程为 yxc. 由 yxc， x23y23b2， 消 y 得 4x26cx3c23b20. x1x23 2c，x 1x23c 23b2 4 3 8c 2. 又设 M(x，y)，则由OM OA OB ， 得 xx1x2， yy1y2， 代入椭圆方程整理得 2(x213y21)2(x223y22)2(x1x23y1y2)3b2. 又x213y213b2，x223y223b2， x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2 3 2c
7、29 2c 23c20， 221，故22为定值 反思感悟解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对 象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体 代换”在简化运算中的作用 跟踪训练 2已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(0,1)，其长轴长与短轴长的平方和是焦距的平方 的 2 倍直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不 重合且满足PM 1MQ ，PN 2NQ . (1)求椭圆的标准方程； (2)若123，试证明：直线 l 过定点，并求此定点 (1)解设椭圆的焦距为
8、2c， 由题意知 b1，且(2a)2(2b)22(2c)2， 又 a2b2c2，a23. 椭圆的标准方程为x 2 3 y21. (2)证明由题意设 P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设 l 的方程为 xt(ym)， 由PM 1MQ 得(x1，y1m)1(x0 x1，y1)， y1my11，由题意得 y10， 1m y11. 同理由PN 2NQ 得2m y21. 123， y1y2m(y1y2)0. 由 x23y23， xtym， 消 x 得(t23)y22mt2yt2m230， 由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0， 且有 y1y22mt 2 t23
9、，y 1y2t 2m23 t23 ， 代入得 t2m232m2t20， (mt)21， 由题意，得 mt0)， 则圆的方程为(xp)2(yp)28， 由于 O(0,0)在圆上，p2p28，解得 p2， 圆 C 的方程为(x2)2(y2)28. (2)椭圆x 2 a2 y2 9 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10， 由椭圆的定义知 2a10， a5， 椭圆右焦点为 F(4,0) 假设存在异于原点的点 Q(m，n)使|QF|OF|， 则有 m22n228， m42n216， 且 m2n20， 解得 m4 5， n12 5 ， 故圆 C 上存在满足条件的点 Q 4 5， 12 5
10、 . 反思感悟(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设 满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方 程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则元素(点、直线、曲线 或参数)不存在 (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 跟踪训练 3试问是否能找到一条斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆x 2 3 y21 交于两个不同的点 M，N，且使 M，N 到点 A(0,1)的距离相等？若存在，试求出 k 的取值范围；若不存在，请说 明理由 解设直线 l： ykxm 为满足条件的直线， 再设 P 为 MN
11、 的中点， 欲满足条件， 只需 APMN 即可 由 ykxmm0， x2 3 y21， 消 y 得(13k2)x26mkx3m230. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 xPx1x2 2 3mk 13k2，y PkxPm m 13k2， kAP3k 2m1 3mk . APMN， 3k 2m1 3mk 1 k， 故 m3k 21 2 . 由36m2k24(13k2)(3m23) 9(13k2)(1k2)0，得1kb0)中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB 面积的最大值 为() Ab2Bab CacDbc 答案D 解析由椭圆的对称性知，A，B 两点关于原点 O 对称， 因此
12、 SAFB2SOFBc|yB|， 故当|yB|b 时，AFB 面积最大，最大面积为 bc. 2已知 P 为抛物线 y24x 上一点，Q 为圆(x6)2y21 上一点，则|PQ|的最小值为() A. 211B2 5 5 C2 51D214 5 答案C 解析设点 P 的坐标为 1 4m 2，m ，圆(x6)2y21 的圆心坐标为 A(6,0)， |PA|2 1 4m 26 2m21 16(m 216)22020， |PA|2 5， Q 是圆(x6)2y21 上任意一点， |PQ|的最小值为 2 51. 3已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x 2 2 y21 上的一点，F1，F2分别是 C 的左、
13、右两个焦点，若 MF1 MF2 0，解得 0t2b0)的离心率为 3 2 ，短轴长为 2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则 1 |PF1| 4 |PF2|的最小值是_ 答案 9 4 解析由题意得c a 3 2 ，b1，解得 a2，c 3，于是|PF1|PF2|2a4， 所以 1 |PF1| 4 |PF2| 1 4 1 |PF1| 4 |PF2| (|PF 1|PF2 |) 1 4 5|PF2| |PF1| 4|PF1| |PF2| 1 4(52 4) 9 4， 当且仅当|PF2|2|PF1|，即|PF2|8 3，|PF 1|4 3时等号成立 8已知 F 为抛物线 y2
14、x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2(其 中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是_ 答案3 解析如图，可设 A(m2，m)，B(n2，n)，其中 m0，n0， 则OA (m2，m)，OB (n2，n)，OA OB m2n2mn2， 解得 mn1(舍)或 mn2. lAB：(m2n2)(yn)(mn)(xn2)， 即(mn)(yn)xn2， 令 y0，解得 xmn2， 设 AB 与 x 轴交于点 C，则 C(2,0) SAOBSAOCSBOC1 22m 1 22(n)mn，S AOF1 2 1 4m 1 8m， 则 SAOBSAOFmn1
15、 8m 9 8mn 9 8m 2 m2 9 8m 2 m3，当且仅当 9 8m 2 m，即 m 4 3时 等号成立故ABO 与AFO 面积之和的最小值为 3. 9已知AOB 的一个顶点为抛物线 y22x 的顶点 O，A，B 两点都在抛物线上，且AOB 90. (1)求证：直线 AB 必过一定点； (2)求AOB 面积的最小值 (1)证明设 OA 所在直线的方程为 ykx(k0)， 则直线 OB 的方程为 y1 kx. 由 ykx， y22x， 得 A 2 k2， 2 k ， 由 y1 kx， y22x， 得 B(2k2，2k) 直线 AB 所在直线方程为(y2k) 2 k22k 2 2 k2k
16、(x2k2)， 化简得 x 1 kky20， 直线过定点 P(2,0) (2)解由于直线 AB 过定点 P(2,0)， 可设直线 AB 的方程为 xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 xmy2， y22x， 得 y22my40. y1y22m，y1y24， |y1y2| y1y224y1y2 2m216 4m216. SAOB1 2|y 1|OP|1 2|y 2|OP|1 2|OP|y 1y2|y1y2| 4m2164(当且仅当 m0 时取 “”) 当 m0 时，AOB 面积的最小值为 4. 10已知抛物线 C：y2x2，直线 ykx2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB
17、的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； (2)是否存在实数 k 使NA NB0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 (1)证明如图，设 A(x1，2x21)，B(x2，2x22) 把 ykx2 代入 y2x2得 2x2kx20， 由根与系数的关系得 x1x2k 2，x 1x21. xNxMx1x2 2 k 4， N 点的坐标为 k 4， k2 8 . 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 yk 2 8 m xk 4 ， 将 y2x2代入上式得 2x2mxmk 4 k 2 8 0， 直线 l 与抛物线 C 相切，
18、m28 mk 4 k 2 8 (mk)20， mk，即 lAB. (2)解假设存在实数 k，使NA NB0，则 NANB. 又M 是 AB 的中点，|MN|1 2|AB|. 由(1)知 yM1 2(y 1y2)1 2(kx 12kx22)1 2k(x 1x2)41 2 k2 2 4 k 2 4 2. MNx 轴，|MN|yMyN|k 2 4 2k 2 8 k 216 8 . 又|AB| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2 1k2 k 2 2411 2 k21 k216. k 216 8 1 4 k21 k216， 解得 k2，即存在 k2，使NA NB 0. 11 设 O 为坐标原
19、点， 直线 xa 与双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的两条渐近线分别交于 D， E 两点，若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为() A4B8C16D32 答案B 解析C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 双曲线的渐近线方程是 yb ax， 直线 xa 与双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于 D，E 两点， 不妨设 D 在第一象限，E 在第四象限， 联立 xa， yb ax， 解得 xa， yb， 故 D(a，b)， 联立 xa， yb ax， 解得 xa， yb， 故 E(a，b)， |ED|2b， SODE1 2
20、a2bab8. 双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 其焦距为 2c2 a2b22 2ab2 168， 当且仅当 ab22时取等号， C 的焦距的最小值为 8. 12已知 A(0,3)，若点 P 是抛物线 x28y 上任意一点，点 Q 是圆 x2(y2)21 上任意一点， 则|PA| 2 |PQ|的最小值为( ) A4 34B2 21 C2 32D4 21 答案A 解析设点 P(x0，y0)， 由于点 P 是抛物线 x28y 上任意一点， 则 x208y0(y00)， 点 A(0,3)，则|PA|2x20(y03)28y0(y03)2y202y09， 由于点 Q 是圆 x2(
21、y2)21 上任意一点， 要使|PA| 2 |PQ|的值最小， 则|PQ|的值要最大，即点 P 到圆心的距离加上圆的半径为|PQ|的最大值， 则|PQ|max x20y0221 8y0y0221y03， |PA| 2 |PQ| y202y09 y03 y03 24y0312 y03 (y03) 12 y034. (y03) 12 y032 y03 12 y034 3，经检验满足条件， |PA| 2 |PQ|的最小值为 4 34. 13已知椭圆 E：x 2 16 y2 4 1，P 为椭圆 E 的右顶点，直线 l 交 E 于 A，B 两点，且 PAPB， 则 l 恒过除 P 点以外的定点() A.
22、 12 5 ，0 B. 4 3，0 C. 0，12 5D. 0，4 3 答案A 解析设直线 l 的方程为 xmyn， 代入椭圆方程，消去 x 可得(m24)y22mnyn2160， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2 2mn m24，y 1y2n 216 m24 ， x1x2m2y1y2mn(y1y2)n2，x1x2m(y1y2)2n， 由 PAPB，P(4,0)， 可得(x14，y1)(x24，y2)0，可得 x1x24(x1x2)y1y2160， m2y1y2mn(y1y2)n24m(y1y2)8ny1y2160， 代入 y1y2 2mn m24，y 1y2n 216 m24
23、 ， 化简整理可得 5n232n480， 解得 n12 5 ，n4(舍去) 14已知点 P(0,1)，椭圆x 2 4 y2m(m1)上两点 A，B 满足AP 2PB，则当 m_时， 点 B 横坐标的绝对值最大 答案5 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由AP 2 PB得，x 12x2，1y12(y21)， y12y23， A，B 在椭圆上， x 2 1 4 y21m，x 2 2 4 y22m， 4x 2 2 4 (2y23)2m， x 2 2 4 y23 2 2m 4， 与x 2 2 4 y22m 对应相减得 y23m 4 ，x221 4(m 210m9)4，当且仅当 m5 时取最
24、大值 15.如图，圆 O 与离心率为 3 2 的椭圆 T：x 2 a2 y2 b21(ab0)相切于点 M(0,1)，过点 M 引两条互 相垂直的直线 l1，l2，两直线与两曲线分别交于点 A，C 与点 B，D(均不重合)若 P 为椭圆 上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为 d1，d2，则 d21d 2 2的最大值是_；此时 P 点 坐标为_ 答案 16 3 4 2 3 ，1 3 解析由题意知，c a 3 2 ，b1，c2b2a2， 解得 a2，b1，c 3， 可知椭圆 T 的方程为x 2 4 y21，圆 O 的方程为 x2y21. 设 P(x0，y0)， l1l2， 则 d21d22|P
25、M|2x20(y01)2， x 2 0 4 y201， d21d2244y20(y01)23 y01 3 216 3 ， 1y01，当 y01 3时，d 2 1d 2 2取得最大值为16 3 ，此时点 P 4 2 3 ，1 3 . 16已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交 点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点 m 3 ，m ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时 l 的斜率，若不能，说明理由 (1)证
26、明设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM) 由 ykxb， 9x2y2m2， 得(k29)x22kbxb2m20， xMx1x2 2 kb k29，y MkxMb 9b k29. 直线 OM 的斜率 kOMyM xM 9 k，即 k OMk9. 即直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值9. (2)解四边形 OAPB 能为平行四边形 直线 l 过点 m 3，m， k3， 由(1)得 OM 的方程为 y9 kx. 设点 P 的横坐标为 xP. 由 y9 kx， 9x2y2m2， 得 x2P k2m2 9k281，即 x P km 3 k29. 将点 m 3 ，m 的坐标代入直线 l 的方程得 bm3k 3 ， 因此 xMmkk3 3k29 . 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM， km 3 k292 mkk3 3k29 . 解得 k14 7，k24 7. 经检验，满足0， k3， 当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形
