1、2.3.4两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 学习目标1.理解两条平行线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离 导语 前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两 条平行直线间的距离也是值得研究的 一、两条平行直线间的距离 问题 1已知两条平行直线 l1，l2的方程，如何求 l1与 l2间的距离？ 提示根据两条平行直线间距离的含义，在直线 l1上取任一点 P(x0，y0)，点 P(x0，y0)到直线 l2的距离就是直线 l1与直线 l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线 的距离 问题 2怎样求两条平行直线 AxByC10
2、与 AxByC20 间的距离？ 提示在直线 AxByC10 上任取一点 P(x0，y0)，点 P(x0，y0)到直线 AxByC20 的距 离，就是这两条平行直线间的距离即 d|Ax 0By0C2| A2B2 ， 因为点 P(x0，y0)在直线 AxByC10 上， 所以 Ax0By0C10， 即 Ax0By0C1， 因此 d|Ax 0By0C2| A2B2 |C 1C2| A2B2 |C 1C2| A2B2. 知识梳理 1两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长 2公式：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20(A，B 不同时为 0，C1C2) 之间的距
3、离 d|C 1C2| A2B2. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离 (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中 x，y 的系数分别对应相同 例 1(1)(教材 P78 例 7 改编)求两平行直线 l1： 3x5y10 和 l2： 6x10y50 间的距离 解由题意，将 l2的方程化为 3x5y5 20， 所以 d |15 2| 3252 3 2 34 3 34 68 . (2)若倾斜角为 45的直线 m 被直线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段为 AB，则 AB 的长为() A1B. 2C. 3D2 答案B 解析由题意，可得直线 m 与直
4、线 l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB|13| 1212 2. 反思感悟求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线 距为点线距来求 (2)公式法：设直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20，则两条平行直线间的距离 d |C1C2| A2B2. 跟踪训练 1已知直线 5x12y30 与直线 10 xmy200 平行，则它们之间的距离是 () A1B2C.1 2 D4 答案A 解析由两条直线平行可得 5 10 12 m ，解得 m24. 则直线 10 x24y200，即 5x12y100， 由两条平
5、行直线间的距离公式得 d|310| 521221. 二、由平行直线间的距离求参数 例 2已知直线 l 与直线 l1：2xy30 和 l2：2xy10 的距离相等，则 l 的方程是 _ 答案2xy10 解析方法一由题意可设 l 的方程为 2xyc0， 于是有 |c3| 2212 |c1| 2212， 即|c3|c1|，解得 c1， 则直线 l 的方程为 2xy10. 方法二由题意知 l 必介于 l1与 l2中间， 故设 l 的方程为 2xyc0， 则 c31 2 1. 则直线 l 的方程为 2xy10. 反思感悟由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题 跟踪训练 2(多选)
6、若直线 x2y10 与直线 x2yc0 的距离为 2 5，则实数 c 的值为 () A9B9C11D11 答案BC 解析直线 x2y10 与直线 x2yc0 的距离为 2 5， |1c| 5 2 5， 解得 c11 或 c9. 三、平行直线间的距离的最值问题 例 3两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(3，1)，并且各自绕着 A，B 旋转，如果 两条平行直线间的距离为 d.求： (1)d 的变化范围； (2)当 d 取最大值时，两条直线的方程 解(1)如图，显然有 00)在 x 轴、y 轴上的截距相等，则直线 l1与直线 l2：x y10 间的距离为() A. 2 2 B. 2 C.
7、 2 2 或 2D0 或 2 答案B 解析直线 l1：mx2y4m0(m0)在 x 轴、y 轴上的截距相等， m4 m m4 2 ，m2， 直线 l1：2x2y420，即 xy30， 则直线 l1与直线 l2：xy10 间的距离为|13| 2 2. 12(多选)两条平行直线 l1，l2分别过点 P(1,3)，Q(2，1)，它们分别绕 P，Q 旋转，但始 终保持平行，则 l1，l2之间的距离可能取值为 () A1B3C5D7 答案ABC 解析当两直线 l1，l2与直线 PQ 垂直时，两平行直线 l1，l2间的最大距离为|PQ| 1223125，所以 l1，l2之间距离的取值范围是(0,5 13直
8、线 l1，l2分别过点 M(1,4)，N(3,1)，它们分别绕点 M 和 N 旋转，但必须保持平行， 那么它们之间的距离 d 的最大值是() A5B4C. 13D3 答案A 解析根据题意画出图象，如图所示， 根据图象可得当 l1l2，且 l1MN，l2MN 时，l1与 l2之间的距离为|MN|； 当 l1l2，但是 l1与 MN 不垂直，l2与 MN 不垂直时，过 M 点向 l2引垂线，垂足为 P，则 l1 与 l2之间的距离为|MP|； 因为|MN|MP|，所以 dmax|MN| 1324125. 14若某直线被两平行直线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为 2 2，则
9、该直线的倾斜角大小为_ 答案15或 75 解析由两平行直线的距离公式，可得直线 l1：xy10 与 l2：xy30 的距离为 d |31| 2 2， 又直线被两平行直线 l1： xy10 与 l2： xy30 所截得的线段的长为 2 2， 即该直线与直线 l1所成角为 30，又直线 l1的倾斜角为45，则该直线的倾斜角大小为 15或 75. 15.如图，已知直线 l1：xy10，现将直线 l1向上平移到直线 l2的位置，若 l2，l1和坐标 轴围成的梯形的面积为 4，则 l2的方程为_ 答案xy30 解析设 l2的方程为 yxb(b1)， 则图中 A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(
10、0，b) 所以 AD 2，BC 2b. 梯形的高 h 就是两平行直线 l1与 l2的距离， 故 h|b1| 2 b1 2 (b1)， 由梯形面积公式得 2 2b 2 b1 2 4， 所以 b29，b3. 又 b1，所以 b3. 所以所求直线 l2的方程是 xy30. 16已知三条直线 l1：2xya0(a0)，直线 l2：4x2y10 和直线 l3：xy10，且 l1和 l2的距离是7 5 10 . (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点到 l1的 距离是 P 点到 l2的距离的1 2；P 点到 l 1的距离与 P 点到 l3
11、的距离之比是 2 5？若能，求 出 P 点坐标；若不能，请说明理由 解(1)l2的方程即为 2xy1 20， l1和 l2的距离 d |a 1 2| 2212 7 5 10 ， |a 1 2|7 2. a0，a3. (2)设点 P(x0，y0)，若 P 点满足条件，则 P 点在与 l1和 l2平行的直线 l：2xyc0 上， 且|c3| 5 1 2 |c1 2| 5 ， 即 c13 2 或 c11 6 . 2x0y013 2 0 或 2x0y011 6 0. 若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式，得 |2x0y03| 5 2 5 |x0y01| 2 ， x02y040 或 3x020. 点 P 在第一象限， 3x020 不符合题意 联立方程 2x0y013 2 0， x02y040， 解得 x03，y01 2，应舍去 联立 2x0y011 6 0， x02y040， 解得 x01 9，y 037 18. 所以 P 1 9， 37 18 即为同时满足三个条件的点
