1、第一章第一章预备知识预备知识 课时作业课时作业 1集合的概念集合的概念 时间：时间：45 分钟分钟 一、选择题 1(多选)下列各组对象能构成集合的是(ACD) A拥有手机的人B2020 年高考数学难题 C所有有理数D小于的正整数 解析：根据集合的概念，可得集合中元素的确定性，可得选项 A、C、D 中的元素都是确定的，选项 A、 C、D 能构成集合，但 B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合故选 ACD. 2若 a 是 R 中的元素，但不是 Q 中的元素，则 a 可以是(D) A3.14B5 C.3 7 D. 7 解析：由题意知 a 应为无理数，故 a 可以为 7. 3若一个
2、集合中的三个元素 a，b，c 是ABC 的三边长，则ABC 一定不是(D) A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 解析：由集合中元素的互异性可知 abc，所以ABC 一定不是等腰三角形故选 D. 4下面有三个命题：集合 N 中最小的数是 1；若aN，则 aN；若 aN，bN，则 ab 的最小值是 2.其中正确命题的个数是(A) A0B1 C2D3 解析：因为自然数集中最小的数是 0，而不是 1，所以错；对于，取 a 2，则 2N， 2N， 所以错；对于，a0，b0 时，ab 取得最小值是 0，而不是 2，所以错 5已知集合 Aa，|a|，a2，若 2A，则实数 a 的值为(A)
3、A2B2 C4D2 或 4 解析： 由实数 2A， 得 a2 或|a|2 或 a22， 即 a2 或 a2 或 a4.由元素的互异性可知 a|a|， 故 a 11，2 3B；(1 2)232 232411，1 21 解析：集合x|(x2)(x22xa)0，xR中的所有元素之和为 2，已经确定 2 是其中的元素， x22xa0 的解为 x0 或无解， a0 或44a1. 实数 a 的取值集合为a|a0 或 a1 11方程组 xy0， x240 的解组成的集合为(2，2)，(2，2) 解析：由 x240，解得 x2 或 x2， 代入 xy0， 解得 x2， y2 或 x2， y2， 所以方程组 x
4、y0， x240 的解组成的集合为(2，2)，(2,2) 三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12已知集合 A 含有两个元素 a3 和 2a1，若3A，试求实数 a 的值 解：3A，3a3 或32a1， 若3a3，则 a0， 此时集合 A 中含有两个元素3，1，符合题意； 若32a1，则 a1， 此时集合 A 中含有两个元素4，3，符合题意 综上所述，a0 或 a1. 13设集合 A 中的元素均为实数，且满足条件：若 aA，则 1 1aA(a1) 求证：(1)若 2A，则 A 中必还有另外两个元素； (2)集合 A 不可能是单元素集 证明：(1)若 aA，则 1 1aA
5、. 又因为 2A，所以 1 121A. 因为1A，所以 1 11 1 2A. 因为1 2A，所以 1 11 2 2A. 所以 A 中必还有另外两个元素，另外两个元素为1，1 2. (2)若 A 为单元素集，则 a 1 1a， 即 a2a10，方程无实数解 所以 a 1 1a，所以集合 A 不可能是单元素集 14下列各组中集合 P 与 Q，表示同一个集合的是(A) AP 是由元素 1，3，构成的集合，Q 是由元素，1，| 3|构成的集合 BP 是由构成的集合，Q 是由 3.141 59 构成的集合 CP 是由 2,3 构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合 DP 是满足不等式1x1 的
6、自然数构成的集合，Q 是方程 x21 的解集 解析：由于 A 中 P，Q 的元素完全相同，所以 P 与 Q 表示同一个集合，而 B、C、D 中 P，Q 的元素不 相同，所以 P 与 Q 不能表示同一个集合故选 A. 15(多选)已知 x，y，z 为非零实数，代数式 x |x| y |y| z |z| |xyz| xyz 的值所组成的集合是 M，则下列判断正确 的是(CD) A0MB2M C4MD4M 解析：根据题意，分 4 种情况讨论： x，y，z 全部为负数时，则 xyz 也为负数，则 x |x| y |y| z |z| |xyz| xyz 4， x，y，z 中有一个为负数时，则 xyz 为
7、负数，则 x |x| y |y| z |z| |xyz| xyz 0， x，y，z 中有两个为负数时，则 xyz 为正数，则 x |x| y |y| z |z| |xyz| xyz 0， x，y，z 全部为正数时，则 xyz 也为正数，则 x |x| y |y| z |z| |xyz| xyz 4， 则 M4,0,4分析选项可得 C、D 符合故选 CD. 16 已知 xR， 集合 A 中含有三个元素 3， x， x22x.则元素 x 满足的条件为 x1， 且 x0， 且 x3； 若2A，则实数 x2. 解析：由集合中元素的互异性可得 x3，且 x22xx，且 x22x3，解得 x1，且 x0，
8、且 x3. 故元素 x 满足的条件是 x1，且 x0，且 x3；若2A，则 x2 或 x22x2.由于方程 x22x 20 无实数解，所以 x2. 17定义满足“如果 aA，bA，那么 abA，且 abA，且a bA(b0)”的集合 A 为“闭集”试 问数集 N，Z，Q，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明 解：数集 N，Z 不是“闭集”， 例如，3N,2N，而3 21.5N； 3Z，2Z，而 3 21.5Z，故 N，Z 不是“闭集” 数集 Q，R 是“闭集”理由： 由于两个有理数 a 与 b 的和，差，积，商， 即 ab，ab，a b(b0)仍是有理数， 故 Q 是“闭集”同理 R 也是“闭集”
