1、第四章综合检测第四章综合检测 时间：时间：120 分钟分钟分值：分值：150 分分 第第卷卷(选择题，共选择题，共 60 分分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1若 f(x)loga(xa2a6)是对数函数，则 a 的值为(B) A3B2C2D3 解析：若 f(x)loga(xa2a6)是对数函数，则a2a60，所以 a3 或 a2，又 a0，所以 a2，故 选 B. 2已知函数 f(x) 2x，x4， fx1，x4， 则 f(2log23)的值为(A) A24B16C12D8 解析：因为 32log23b
2、cBbac CcbaDcab 解析：log1 3 1 5log 315 1log 35，因为函数 ylog3x 在(0，)上为增函数，所以 log35log37 2log 331，因为函 数 y 1 4 x在(，)上为减函数，所以 1 4 1 3 ab. 4在同一直角坐标系中，函数 f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且 a1)的图象大致为(A) 解析：由题意，知函数 f(x)2ax(a0，且 a1)为减函数，排除 C；当 0a2，且函数 g(x)log a(x2)在(2，)上为减函数，排除 D；当 a1 时，函数 f(x)2ax 的零点 x2 a0，又 g(x)log a(x2)
3、在(2，)上是增函数，排除 B，综上只有 A 满足 5已知 f(x)lg(10 x)lg(10 x)，则(D) Af(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数 Bf(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数 Cf(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数 Df(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数 解析：由 10 x0， 10 x0， 得 x(10,10)，且 f(x)lg(100 x2)，f(x)是偶函数，又 t100 x2在(0,10)上单调递减， ylg t 在(0，)上单调递增，故函数 f(x)在(0,10)上单调递减 6已知函数 f(x)|ln x|，若 f(m)f(n)(mn0
4、)，则 2 m1 2 n1( C) A.1 2 B1C2D4 解析：由 f(m)f(n)，mn0，可知 m1n0， ln mln n，则 mn1. 所以 2 m1 2 n1 2mn4 mnmn1 2mn2 mn2 2. 7 已知 a0 且 a1， 函数 f(x)loga(x x2b)在区间(， )上既是奇函数又是增函数， 则函数 g(x)loga|x| b|的图象是(A) 解析： 函数f(x)loga(x x2b)在区间(， )上是奇函数， f(0)0， b1， 又函数f(x)loga(x x2b) 在区间(，)上是增函数，所以 a1.所以 g(x)loga|x|1|，当 x1 时，g(x)l
5、oga(x1)为增函数，排除 B，D； 当 0 x1 时，g(x)loga(1x)为减函数，排除 C；故选 A. 8设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则(D) A2x3y5zB5z2x3y C3y5z2xD3y2x1. 则 xlog2t lg t lg 2，同理，y lg t lg 3，z lg t lg 5. 2x3y2lg t lg 2 3lg t lg 3 lg t2lg 33lg 2 lg 2lg 3 lg tlg 9lg 8 lg 2lg 3 0，2x3y. 又2x5z2lg t lg 2 5lg t lg 5 lg t2lg 55lg 2 lg 2lg 5 lg tlg 2
6、5lg 32 lg 2lg 5 0， 2x5z，3y2x0，b0 且 a1，b1，若 logab1，则下列不等式可能正确的是(AD) A(b1)(ba)0B(a1)(ab)0 C(a1)(b1)0 解析：logab1logaa，若 a1，则 ba，即 ba1.(b1)(ba)0，故 A 正确；(a1)(ba)0，故 D 正 确；若 0a1，则 0ba1，(a1)(ab)0，故 B、C 错误， 故选 AD. 10关于函数 f(x)lgx 21 |x| (x0)，有下列结论，其中正确的是(ABD) A其图象关于 y 轴对称 Bf(x)的最小值是 lg2 C当 x0 时，f(x)是增函数；当 x0
7、时，tx 21 x x1 x，根据对勾函数可得，tx 1 x单调递减区间是(0,1，单调递增区间是1，)，ylgt 在(0，)上是单调递增，所以 f(x)在(0,1单调递减，在 1，)上单调递增，选项 C 错误；根据偶函数的对称性，f(x)在(，1上单调递减，在1,0)上单调递增，f(x) 的增区间是1,0)，1，)，选项 D 正确故选 ABD. 11已知函数 f(x)lg(x2axa1)，给出下述论述，其中正确的是(AC) A当 a0 时，f(x)的定义域为(，1)(1，) Bf(x)一定有最小值 C当 a0 时，f(x)的值域为 R D若 f(x)在区间2，)上单调递增，则实数 a 的取值
8、范围是a|a4 解析：对 A，当 a0 时，解 x210 有 x(，1)(1，)，故 A 正确；对 B、C，当 a0 时，f(x)lg(x2 1)，此时 x(，1)(1，)，x21(0，)，此时 f(x)lg(x21)值域为 R，故 B 错误，C 正确；对 D， 若 f(x)在区间2，)上单调递增，此时 yx2axa1 对称轴 xa 22.解得 a4.但当 a4 时， f(x)lg(x 2 4x3)在 x2 处无定义，故 D 错误故选 AC. 12某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数 f(x)lg 1x 1x为基本 素材，研究该函数的相关性质，取得部分研
9、究成果如下：其中研究成果正确的是(BC) A同学甲发现：函数的定义域为(1,1)，且 f(x)是偶函数 B同学乙发现：对于任意的 x(1,1)，都有 f 2x x21 2f(x) C同学丙发现：对于任意的 a，b(1,1)，都有 f(a)f(b)f ab 1ab D同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数 x1，x2，总满足fx1fx2 x1x2 0 解析： 对 A， f(x)lg 1x 1x定义域为 1x 1x0(1x)(1x)0， 解得 x(1,1) 又 f(x)lg 1x 1xlg 1x 1xf(x)， 故 f(x)lg 1x 1x为奇函数故 A 错误；对 B，f 2x x21 l
10、g 1 2x x21 1 2x x21 lgx 22x1 x22x1 lgx1 2 x122lg 1x 1x2f(x)，x(1,1)故 B 正确；对 C，f(a)f(b)lg 1a 1alg 1b 1b lg1a1b 1a1b，f ab 1ab lg 1 ab 1ab 1 ab 1ab lg1abab 1abablg 1a1b 1a1b，故 f(a)f(b)f ab 1ab 成立故 C 正确；对 D，f(0)lg10 100，f 1 2 lg 11 2 11 2 lg1 30，所以 f 1 2 f0 1 20 0，故 D 错误故选 BC. 第第卷卷(非选择题，共非选择题，共 90 分分) 三、
11、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13lg5 22lg 2 1 2 11. 解析：lg5 22lg 2 1 2 1lg5 2lg 2 22 lg 5 242121. 14设 f(x)lg 2 1xa是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是(1,0) 解析：由 f(x)是奇函数可得 a1， f(x)lg1x 1x，定义域为(1,1) 由 f(x)0，可得 01x 1x1，1x12x2，则 a 的取值范围是 1 2，0. 解析：由题得 f(x)的定义域为(1,1)，设 g(x)f(x)1exe xln1x 1x，则 g(x)g(x)0，所以 g(x)是奇函数， 因为
12、 f(a)f(1a)2，则 f(1a)1f(a)1，所以 f(1a)1f(a)1，即 g(1a)g(a)g(a)，因为 yex e x 单调递增，y ln 1x 1x单调递增，所以 g(x)单调递增，则 1a1， 11aa， 即1 2a0，且 a1)，且 f(1)2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间 0，3 2 上的最大值 解：(1)f(1)2，loga42(a0，且 a1)， a2. 由 1x0， 3x0， 得1x3， 函数 f(x)的定义域为(1,3) (2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24， 当 x0
13、,1时，f(x)是增函数； 当 x 1，3 2 时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在 0，3 2 上的最大值是 f(1)log242. 18(12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)0，当 x0 时，f(x)log1 2 x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解：(1)当 x0，则 f(x)log1 2 (x) 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)log1 2 (x)， (2)因为 f(4)log1 2 42，f(x)是偶函数， 所以不等式 f(x21)2 转化为 f(|x21|)f(4) 又因为函数 f(x)在
14、(0，)上是减函数， 所以当 x210 时， |x21|4， 解得 5x2 成立， 所以 5x0 且满足不等式 22a 125a2. (1)求不等式 loga(3x1)25a2，所以 2a15a2，即 3a3，所以 a0，所以 0a1. 则不等式 loga(3x1)0， 75x0， 3x175x， 即 x1 3， x3 4， 所以3 4x 7 5，即不等式 log a(3x1)loga(75x)的解集为 3 4， 7 5 . (2)由(1)得 0aln m x17x 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)由x1 x10，解得 x1， 函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)， 当 x(，1
15、)(1，)时，f(x)lnx1 x1ln x1 x1ln x1 x1 1lnx1 x1f(x) f(x)ln x1 x1是奇函数 (2)由于 x2,6时， f(x)lnx1 x1ln m x17x恒成立， x1 x1 m x17x0， x2,6，0m(x1)(7x)在 x2,6上恒成立 令 g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6， 由一元二次函数的性质可知，x2,3时函数 g(x)单调递增，x3,6时函数 g(x)单调递减，即 x2,6时， g(x)ming(6)7，0m 1 4 xlog2(2x1)恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)证明：当 a2 时，f(x)log1 2
16、2x1 2x1. f(x)的定义域为 ，1 2 1 2，. 当 x ，1 2 1 2，时， f(x)f(x)log1 2 2x1 2x1log1 2 2x1 2x1 log1 2 2x1 2x1 2x1 2x1 log1 2 10. f(x)f(x)0，f(x)是奇函数 f(x)的单调递增区间为 ，1 2 和 1 2，. (2)由 log1 2 (2x1)m 1 4 xlog2(2x1)， log1 2 2x1 2x1 1 4 xm. 令 g(x)log1 2 2x1 2x1 1 4 x，只需要 g(x)minm. 由(1)知 g(x)在 3 2， 5 2 上是增函数， 所以 g(x)ming
17、 3 2 9 8. 则 m 的取值范围是 m0， 4x1 2x a2x4 3a. 设 2xt(t0)，则有关于 t 的方程(a1)t24 3at10，若 a10，即 a1，则需关于 t 的方程(a1)t 24 3at10 只有一个大于4 3正数解，设 h(t)(a1)t 24 3at1，h(0)10，h 4 3 1 满足题意； 若 a10，即 a1 时，解得 t0，不满足题意； 若 a10，即 a1 或 a3. (3)存在由题意得 h(x)4xm2x，x0，log23， 令 t2x1,3，(t)t2mt，t1,3, 开口向上，对称轴 tm 2 ， 当m 2 1，即 m2，(t)min(1)1m0，m1； 当 1m 2 3，即6m2，(t)min m 2 m 2 4 0，m0(舍去)； 当m 2 3，即 m6，(t)min(3)93m0，m3(舍去) 存在 m1 使得 h(x)最小值为 0.
