1、课时作业课时作业 28利用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解 时间：时间：45 分钟分钟 一、选择题 1下面关于二分法的叙述中，正确的是(B) A用二分法可求所有函数零点的近似值 B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D只能用二分法求函数的零点 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项 A 错误；二分法是一种程序 化的运算，故可以在计算机上完成，故选项 C 错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故 D 错误，故 选 B. 2函数 yf(x)的图象在区间1,4上是连续不断的曲线，且 f(
2、1)f(4)0，则函数 yf(x)(B) A在(1,4)内有且仅有一个零点 B在(1,4)内至少有一个零点 C在(1,4)内至多有一个零点 D在(1,4)内不一定有零点 解析：函数 yf(x)的图象在区间1,4上是连续不断的曲线，且 f(1)f(4)0，故 yf(x)在1,4内至少有一个零点 3若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984 f(1.375) 0.260 f(1.437 5) 0.162 f(1.406 25) 0.054 那么方程 x3x22x20 的一个近似解(精确度为 0.
3、05)可以是(C) A1.25B1.375 C1.42D1.5 解析：由表格可得，函数 f(x)x3x22x2 的零点在(1.406 25,1.437 5)之间结合选项可知，方程 x3x22x 20 的一个近似解(精确度为 0.05)可以是 1.42.故选 C. 4用二分法求函数 f(x)2x3x7 在区间0,4上的零点近似值，取区间中点 2，则下一个存在零点的区间为 (B) A(0,1)B(0,2) C(2,3)D(2,4) 解析：因为 f(0)200760， f(2)22670，所以 f(0)f(2)0，所以零点在区间(0,2)内 5在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时，第一次所取的
4、区间是2,4，则第三次所取的区间可能是(D) A1,4B2,1 C. 2，5 2D. 1 2，1 解析：第一次所取的区间是2,4，第二次所取的区间可能为2,1，1,4，第三次所取的区间可能为 2，1 2 ， 1 2，1， 1，5 2 ， 5 2，4. 6已知函数 f(x)满足：对任意的 x1，x2a，b，都有fx1fx2 x1x2 0，且 f(a)f(b)b 故舍去)，故函数 f(x)的零点： a 22b3 2 9 2. 7 设 f(x)3x3x8， 用二分法求方程 3x3x80 在(1,2)内的近似解的过程中， 有 f(1)0， f(1.25)0， 则该方程的根所在的区间为(B) A(1,1
5、.25)B(1.25,1.5) C(1.5,2)D不能确定 解析：f(1.25)f(1.5)0, f(0.6)0， f(1.0)0, f(1.4)0, f(1.8)0, f(2.2)0, f(2.6)0, f(3.0)0, f(3.4)0. 因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内 二、填空题 9已知函数 f(x)x32x2，f(1)f(2)0，用二分法逐次计算时，若 x0是1,2的中点，则 f(x0)1.625. 解析：由题意得 x01.5，f(x0)f(1.5)1.625. 10在用二分法求方程 f(x)0 在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即得出
6、方程 的一个近似解为 0.687_5(答案不唯一)(精确度为 0.1) 解析：f(0.625)0，f(0.687 5)0， 方程的解在0.687 5,0.75上，而|0.750.687 5|0.1，方程的一个近似解为 0.687 5(答案不唯一) 11.如图，一块电路板的线路 AB 之间有 64 个串联的焊接点(不含端点 A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱 落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测 6 次 解析：第 1 次取中点把焊点数减半为64 2 32，第 2 次取中点把焊点数减半为32 2 16，第 3 次取中点把焊点数减半 为16 2 8，第 4 次取中点把焊点数减半为
7、8 24，第 5 次取中点把焊点数减半为 4 22，第 6 次取中点把焊点数减半为 2 2 1，所以至多需要检测的次数是 6. 三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12已知方程 2x2x5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度为 0.1) 参考数值： x1.187 51.1251.251.312 51.3751.5 2x2.2782.1812.3782.4842.5942.83 解：(1)令 f(x)2x2x5. 因为函数 f(x)2x2x5 在 R 上是增函数， 所以函数 f(x)2x2x5 至多有一个零点 因为 f(1)2
8、121510， 所以函数 f(x)2x2x5 的零点在(1,2)内 (2)用二分法逐次计算，列表如下： 区间中点的值中点函数值符号 (1,2)1.5f(1.5)0 (1,1.5)1.25f(1.25)0 (1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0 (1.25,1.312 5) 因为|1.3751.25|0.1250.1，且|1.312 51.25| 0.062 50.1，所以函数的零点近似值为 1.312 5， 即方程 2x2x5 的近似解可取为 1.312 5. 13用二分法求方程 x250 的一个近似正解(精确度为 0.1) 解：令 f(x)x25，因为 f(2.2)0.
9、160，所以 f(2.2)f(2.4)0， 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0， 取区间(2.2,2.4)的中点 x12.3，f(2.3)0.29，因为 f(2.2)f(2.3)0，所以 x0(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点 x22.25， f(2.25)0.062 5，因为 f(2.2)f(2.25)0， 所以 x0(2.2,2.25)，由于|2.252.2|0.050 时，f(x)0；当 x0， 所以 f(x)|x|的函数值非负，即函数 f(x)|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值 15在用二分法求函数 f(x)的一个正实数
10、零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精 确到 0.1 的正实数零点的近似值为(C) A0.68B0.72 C0.7D0.6 解析：已知 f(0.64)0，f(0.72)0，则函数 f(x)的零点的初始区间为0.64,0.72，又 0.681 2(0.640.72)，且 f(0.68) 0，所以零点在区间0.68,0.72，且该区间的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 0.7，因此，0.7 就是所求函数 的一个正实数零点的近似值 16用二分法求函数 f(x)3xx4 的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0) 0.200 f(1.58
11、7 5) 0.133 f(1.575 0) 0.067 f(1.562 5) 0.003 f(1.556 2) 0.029 f(1.550 0) 0.060 据此数据，可得方程 3xx40 的一个近似解(精确度为 0.01)可取 1.56(答案不唯一) 解析：f(1.562 5)0.0030，f(1.556 2)0.0290，f(1)0，证明 a0，并利用二分法证明方程 f(x)0 在区 间0,1内有两个实根 证明：f(1)0，3a2bc0， 即 3(abc)b2c0. abc0，b2c0， 则bcc，即 ac. f(0)0，c0，则 a0. 在区间0,1内选取二等分点1 2， 则 f 1 2 3 4abc 3 4a(a) 1 4a0，f(1)0， 函数 f(x)在区间 0，1 2 和 1 2，1上各有一个零点 又 f(x)最多有两个零点，从而 f(x)0 在0,1内有两个实根
