1、课时作业 29实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题用函数模型解决实际问题 时间：时间：45 分钟分钟 一、选择题 1某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个 数 y 与 x 的函数关系是(D) Ay2xBy2x 1 Cy2xDy2x 1 解析：分裂一次后由 2 个变成 2222个，分裂两次后 4223个，分裂 x 次后 y2x 1 个 2下列所给 4 个图象中：(1)小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再 上学；(2)小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时
2、间；(3)小明出发后，心情轻松， 缓缓行进，后来为了赶时间开始加速与所给 3 件事吻合最好的顺序为 (A) A(4)(1)(2)B(4)(2)(3) C(4)(1)(3)D(1)(2)(4) 解析：(1)离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为 0，故应先选图象(4)；(2)骑着车 一路以常速行驶， 此时为递增的直线， 在途中遇到一次交通堵塞， 则这段时间与家的距离必为一定值， 故应选图象(1)； (3)最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象(2) 3某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为 P1，P2，P3，则这三年的年平均增长率为(C) A
3、.P1P2P3 3 B.3P1P2P3 C.31P11P21P31 D11 3(P 1P2P3) 解析：设这三年的年平均增长率为 x，企业产值的基数为 a，则 a(1x)3a(1P1)(1P2)(1P3)x 3 1P11P21P31. 4根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x) c x，xA， c A，xA (A，c 为常数)已知 工人组装第 4 件产品用时 30 min，组装第 A 件产品用时 15 min，那么 c 和 A 的值分别是(D) A75,25B75,16 C60,25D60,16 解析：由题意知，组装第 A 件产品所需时间为 c A15，故组装
4、第 4 件产品所需时间为 c 430，解得 c60.将 c 60 代入 c A15，得 A16. 5一家旅社有 100 间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之 间有如下关系： 每间每天定价20 元18 元16 元14 元 住房率65%75%85%95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为(C) A20 元B18 元 C16 元D14 元 解析：每天的收入在四种情况下分别为 2065%1001 300(元)，1875%1001 350(元)，1685%100 1 360(元)，1495%1001 330(元) 614C 是一种具有放射性的同位素，于 1
5、940 年被首次发现，美国科学家应用 14C 发明了14C 年代测定法，并获 得了 1960 年的诺贝尔化学奖已知当生物死亡时，它体内原有的 14C 含量按确定的规律衰减，大约每经过 5 730 年衰 减为原来的一半，这个时间叫作“半衰期”，据此规律，生物体内 14C 的含量 P 与死亡年数 t 之间的函数关系式为 (C) 解析：根据大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，生物体内 14C 的含量 P 与死亡年数 t 之间的函数关系式为 P 7(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为 2%，现进行 过滤，已知每过滤一次杂质含量减少1 3，
6、则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 20.301，lg 30.477)(BC) A6B9 C8D7 解析：设经过 n 次过滤，产品达到市场要求，则 2 100 2 3 n 1 1 000，即 2 3 n1 20，由 nlg 2 3lg20， 即 n(lg 2lg 3)(1lg 2)，得 n 1lg2 lg 3lg 27.4，故选 BC. 8如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m2)与时间 t(月)的关系：yat，有以下叙述： 这个指数函数的底数为 2； 第 5 个月时，浮萍面积会超过 30 m2； 浮萍从 4 m2蔓延到 12 m2需要再经过 1.5 个月； 浮萍每月增
7、加的面积都相等； 若浮萍蔓延到 2 m2,3 m2,6 m2，所经过的时间分别为 t1，t2，t3，则 t1t2t3.其中正确的是(C) AB CD 解析：点(1,2)在函数图象上，a12，即 a2，故正确 函数 y2t在 R 上为增函数，且当 t5 时，y32，故正确 当 t2 时，y4，经过 1.5 月后面积是 23.512.故不正确； 根据图象 12 月增加 2 m2,23 月增加 4 m2，故不正确； 对于，22t1，32t2，62t3， t11，t2log23，t3log26， 又1log23log22log23log26， 若浮萍蔓延到 2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别
8、为 t1，t2，t3，则 t1t2t3成立 二、填空题 9已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1.若又测得(x，y)的一 组对应值为(3,10.2)，则选用甲作为拟合模型较好 解析：对于甲：x3 时，y32110，对于乙：x3 时，y8，因此用甲作为拟合模型较好 10 用清水洗衣服， 若每次能洗去污垢的3 4， 要使存留的污垢不超过 1%， 则至少要清洗的次数是 4(lg 20.301 0) 解析：设至少要洗 x 次，则 13 4 x 1 100， 所以 x 1 lg 23.322，所以需 4 次 11如图，小明的父亲在相距 2 m 的两
9、棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方距离地 面的高度都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 m 的小明距较近的那棵树 0.5 m 时，头部刚好接触到绳子， 则绳子的最低点距离地面的高度为 0.5 m. 解析：若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为 x 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为 x 1，设抛物线方程为 yax22ax2.5.当 x0.5 时，y0.25 aa2.51，a2，y2(x1)20.5，绳子的最 低点距地面的高度为 0.5 m. 三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 12药材人工种植技术具有种植密度高、经济效
10、益好的特点研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条 件下， 每株药材的年平均生长量 v(单位： 千克)是每平方米种植株数 x 的函数 当 x 不超过 4 时， v 的值为 2； 当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，其中当 x 为 10 时，v 的值为 4；当 x 为 20 时，v 的值为 0. (1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数表达式； (2)当每平方米种植株数 x 为何值时， 每平方米药材的年生长总量(单位： 千克)取得最大值？并求出这个最大值 (年 生长总量年平均生长量种植株数) 解：(1)由题意得，当 0 x4 时，v2；当 4x20 时，设 vaxb， 由
11、已知得 20ab0， 10ab4， 解得 a2 5， b8， 所以 v2 5x8， 故函数 v 2，0 x4， 2 5x8，4x20. (2)设药材每平方米的年生长总量为 f(x)千克， 依题意及(1)可得 f(x) 2x，0 x4， 2 5x 28x，4x20， 当 0 x4 时，f(x)为增函数， 故 f(x)maxf(4)428； 当 420，即 x2 018lg 10 7 lg 81 80 1lg 7 4lg 33lg 2128.7，解得 x2 046.7，又 xN， 故 x2 047. 17某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数 p 与听课时间 t
12、之间的关 系满足如图所示的曲线当 t(0,14时，曲线是一元二次函数图象的一部分，当 t14,40时，曲线是函数 yloga(t 5)83(a0，且 a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p 大于或等于 80 时听课效果最佳 (1)试求 pf(t)的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要 22 分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由 解：(1)当 t(0,14时，设 pf(t)c(t12)282(c0)，将点(14,81)代入得 c1 4， 当 t(0,14时，pf(t)1 4 (t12)282； 当 t(14,40时，将点(14,81)代入 yloga(t5)83，得 a1 3. (2)能理由：当 t(0,14时，1 4(t12) 28280， 解得 122 2t122 2， 所以 t122 2，14； 当 t(14,40时，log1 3 (t5)8380， 解得 522. 所以，老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完题目
