1、课时跟踪检测课时跟踪检测 20基本不等式与最大基本不等式与最大(小小)值值 (对应学生用书 P111) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为 10，则在所有满足条件的 设计中，面积最大的一个矩形的面积为() A50B25 3 C50 3D100 解析设矩形的长和宽分别为 x、y，则 x2y2100. 于是 Sxyx 2y2 2 50，当且仅当 xy 时等号成立 答案A 2四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则() A.ad 2 bcB.ad 2 bcC.ad 2 bcD.ad 2 bc 解析因为 a，b，c，d 成等差数列，则 adbc，又因为
2、 a，b，c，d 均大于 0 且不相等，所以 bc2 bc，故ad 2 bc. 答案A 3已知 x5 2，则 f(x) x24x5 2x4 有() A最大值5 2 B最小值5 4 C最大值 1D最小值 1 解析由 x5 22 得，f(x) x24x5 2x4 x2 21 2x2 1 2 x2 1 x2 1 22 x2 1 x21. 当且仅当 x2 1 x2，即 x3 时等号成立 答案D 4设 a0，b0，若 3是 3a与 3b的等比中项，则1 a 1 b的最小值为( ) A8B4C1D.1 4 解析由题意知 3a3b3，即 3a b3，所以 ab1. 因为 a0，b0，所以1 a 1 b 1
3、a 1 b (ab)2b a a b22 b a a b4，当且 仅当 ab1 2时，等号成立 答案B 5函数 ylog2 x 1 x15(x1)的最小值为() A3B3 C4D4 解析x1，x10，x 1 x1 5x1 1 x1 62 x1 1 x168， 当且仅当 x1 1 x1，即 x2 时，等号成立 log2 x 1 x153，ymin3. 答案B 6已知 x0，y0，若不等式1 x 2 y a x2y恒成立，则 a 的最大值为( ) A9B12 C18D24 解析由题意知 x0，y0，若不等式1 x 2 y a x2y恒成立，即 a 1 x 2 y (x 2y)恒成立， 又因为 1
4、x 2 y (x2y)52y x 2x y 52 2y x 2x y 9，当且仅当2y x 2x y ，即 xy 时等号成立，所以 a9，即 a 的最大值为 9，故选 A. 答案A 二、填空题 7函数 ylog2xlogx(2x)的值域是_ 解析ylog2xlogx21. 由|log2xlogx2|log2x|logx2|2 |log2x|logx2|2， 得 log2xlogx2 2 或 log2xlogx2 2， y3 或 y1. 答案(，13，) 8若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_ 解析由基本不等式得 xy2 2xy6，当且仅当 2xy， 2xy6xy， 即
5、x3， y6 时等号成立，令 xyt 得不等式 t22 2t60，解得 t 2(舍去) 或 t3 2， xy 的最小值为 18. 答案18 9设正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S20194038，则 1 a9 9 a2011的最小 值为_ 解析正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，设首项为 a1， 因为 S20194038，所以2019a1a2019 2 4038，整理得：a1a20194， 又 a1a2019a9a2011，所以 a9a20114， 所以 1 a9 9 a2011 1 a9 9 a2011 a9a2011 41 4 10a2011 a9 9a9 a2011 1
6、4 102 a2011 a9 9a9 a20114， 所以 1 a9 9 a2011的最小值为 4. 答案4 三、解答题 10一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多 少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(xy)36，xy18，矩形菜 园的面积为 xy m2. 由 xyxy 2 18 2 9，可得 xy81， 当且仅当 xy9 时，等号成立 所以这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 81 m2. 11已知 0 x1，则 f(x)2log2x 5 log2x的最大值是？ 解当 0 x1 时 ，
7、 log2x0 的解集为x|x4 或 x1 (1)求实数 a，b 的值； (2)若 0 x1，f(x)a x b 1x，求函数 f(x)的最小值 解(1)依题意可得方程 x25axb0 的根为 4 和 1， 415a， 41b， 即 a1， b4. (2)由(1)知 f(x)1 x 4 1x，0 x1，01x0， 4 1x0， 1 x 4 1x 1 x 4 1x x(1x)1x x 4x 1x52 1x x 4x 1x59， 当且仅当 1x x 4x 1x，即 x 1 3时，等号成立， f(x)的最小值为 9. 素养能力题从容有序过 14.在平面直角坐标系中，A(4,0)、B(1,0)，点 P
8、(a，b)(ab0)满足|AP| 2|BP|，则 4 a2 1 b2的最小值为( ) A4B3C.3 2 D.9 4 解析点 P(a，b)(ab0)满足|AP|2|BP|， |AP|24|BP|2，即(a4)2b24(a1)2b2， 化简得 a2b24， 则 4 a2 1 b2(a2b2)414b 2 a2 a 2 b252 4b2 a2 a 2 b254 9， 当且仅当 a22b28 3时等号成立 4 a2 1 b2的最小值为 9 4，故选 D. 答案D 15已知 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，3asinAbsinBcsinC，则 sinA 的最大值为() A.1 3 B.2 3 C. 5 3 D.2 2 3 解析3asinAbsinBcsinC，由正弦定理可得，3a2b2c2， 由余弦定理可得，cosAb 2c2a2 2bc 2 3b 2c2 2bc 1 3 b2c2 bc 2 3，则 sinA 1cos2A 5 3 ，即最大值 5 3 ，故选 C. 答案C 16若正数 a，b 满足 ab1，则 1 3a2 1 3b2的最小值为_ 解析由 ab1，知 1 3a2 1 3b2 3b23a2 3a23b2 7 9ab10 ，又 ab ab 2 21 4 当且仅当 ab1 2时等号成立， 9ab1049 4 ， 7 9ab10 4 7. 答案 4 7
