1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修5数列数列第一章第一章本章归纳总结本章归纳总结第一章第一章专专 题题 研研 究究3知知 识识 结结 构构 1知知 识识 整整 合合2知知 识识 结结 构构知知 识识 整整 合合一、数列的概念与函数特征1数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列还可以看作一个定义域为N(或它的有限子集1,2，n)的函数的一列函数值2通项公式：如果数列an的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式4数列的分类(1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列
2、叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列(2)按照项与项之间的大小关系，可以分为以下几类：一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫作递增数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an10an为递增数列；nN，an1an0an为常数列；nN，an1an0an为递减数列5等差数列的性质：(1)已知等差数列an的公差为d，且第m项为am，第n项为an，则anam(nm)d；(2)在等差数列an中，若mnpq，(m、n、p、qN)则amanapaq；(3)若数列an满足Snan2bn，则an为等差数列，且a1ab，d2a；(4)若
3、数列an满足Snan2bnc(c0)，则an从第2项起成等差数列；专专 题题 研研 究究数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和求数列的通项公式是数列的核心问题之一现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：数列通项公式的求法 已知数列an的前n项和Snn23n1，求通项 an.2累加法例2(2014全国大纲文，17)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式方法总结已知a1a，an1anf(n)
4、，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和已知an中，a11，且an1an3n(nN)，求通项 an.分析利用anSnSn1(n2)转化后求解在数列an中，已知a11，an12nan，求an.分析通过整理变形，进而构造等比数列，由等比数列的通项间接求数列an的通项公式 方法总结已知a1且an1panq(p，q为常数)的形式均可用上述构造法，特别地，若
5、p1，则an为等差数列；若q0，p0，则an为等比数列已知数列an满足a11，an13an2(nN)求数列an的通项公式求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和1分组转化法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解数列的前n项和的求法 已知数列1,12,1222，12222n，(1)求其通项公式an；(2)求这个数列的前n项和Sn.2裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的
6、一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项3错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比q，并项后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法例7(2015山东高考)设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.已知数列an中，a13，点(an，an1)在直线yx2上(1)求数列an有通项公式；(2)若bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)点(an，an1)在直线yx2上，an1an2，即an1an2.数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，an32(n1)2n1.4倒序相加法如果一个数列an与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法
