1、课时跟踪检测课时跟踪检测 4等差数列的性质等差数列的性质 (对应学生用书 P075) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1 等差数列an中， a1a2a324， a18a19a2078， 则 a5a16() A16B18 C20D22 解析由等差数列an的性质可得：a1a20a2a19a3a18，则此数列 a5 a161 3(2478)18.故选 B. 答案B 2 已知数列an为等差数列， 且 a1a7a134， 则 tan(a2a12)的值为() A. 3B 3 C 3 3 D 3 解析根据等差数列的性质，有 a1a7a133a74，a74 3 ，故 tan(a2 a12)tan(2a7)t
2、an8 3 tan2 3 3. 答案D 3设数列an，bn都是等差数列，且 a110，b190，a2b2100，那么 数列anbn的第 2018 项为() A98B100 C101D104 解析由于两个等差数列的和还是等差数列，而 a1b1100，故anbn 是首项为 100，公差为 0 的等差数列，即每一项都是 100，故 a2018100. 答案B 4如果数列an是等差数列，则下列式子一定成立的是() Aa1a6a4a5Ba1a8a4a5 Ca1a8a4a5Da1a8a4a5 解析由于an为等差数列，且 1845，所以 a1a8a4a5.故选 B. 答案B 5下列说法中正确的是() A若
3、a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2成等差数列 B若 a，b，c 成等差数列，则 log2a，log2b，log2c 成等差数列 C若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 成等差数列 D若 a，b，c 成等差数列，则 2a,2b,2c成等差数列 解析因为 a，b，c 成等差数列，则 2bac，b2 ac 2 21 4(a 22ac c2)1 2(a 2c2)， 所以 A 不正确； log2blog2ac 2 log2(ac)11 2(log 2alog2c)， 所以 B 不正确； 2b4ac4， 即 2(b2)(a2)(c2)， 所以 a2， b2， c2 成等差数列，C 正
4、确；2b2ac c 2 a2c 2 ，所以 D 不正确 答案C 6 若方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为1 4的等差数列， 则|mn|() A1B.3 4 C.1 2 D.3 8 解析设方程的四个根 a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则 a1a4a2a3 2， 再设此等差数列的公差为 d，则 2a13d2， a11 4，d 1 2，a 21 4 1 2 3 4，a 31 41 5 4，a 41 4 3 2 7 4， |mn|a1a4a2a3| 1 4 7 4 3 4 5 4|1 2. 答案C 二、填空题 7已知(1,3)，(3，1)是等差数列an图像上的两点，若 5
5、是 p，q 的等差 中项，则 apaq的值为_ 解析设等差数列通项公式为 anxny， 代入点的坐标得 xy3， 3xy1， 解得 x2，y5，即 an2n5，由于 5 是 p，q 的等差中项，故 pq10， 所以 apaq2a52(105)10. 答案10 8若 a，b，c 成等差数列，则二次函数 yax22bxc 的图像与 x 轴的交 点的个数为_ 解析a，b，c 成等差数列，2bac， 4b24ac(ac)24ac(ac)20. 二次函数 yax22bxc 的图像与 x 轴的交点个数为 1 或 2. 答案1 或 2 9 等差数列an、 bn满足对任意 nN*都有an bn 2n3 4n9
6、， 则 a7 b3b9 a5 b4b8 _. 解析由等差数列的性质可得 b3b9b4b82b6，a7a52a6， 所以 a7 b3b9 a5 b4b8 2a6 2b6 a6 b6 263 4691. 答案1 10在等差数列an中，若 a7m，a14n，则 a21_. 解析a7、a14、a21成等差数列， a7a212a14，a212a14a72nm. 答案2nm 三、解答题 11首项为 a1，公差 d 为正整数的等差数列an满足下列两个条件： (1)a3a5a793； (2)满足 an100 的 n 的最小值是 15. 试求公差 d 和首项 a1的值 解因为 a3a5a793， 所以 3a59
7、3，所以 a531， 所以 ana5(n5)d100，所以 n69 d 5. 因为 n 的最小值是 15，所以 1469 d 515， 所以 6 9 10d7 2 3， 又 d 为正整数，所以 d7，a1a54d3. 12数列an为等差数列，bn 1 2 an，又已知 b1b2b321 8 ，b1b2b31 8， 求数列an的通项公式 解b1b2b3 1 2 a1 1 2 a2 1 2 a321 8 ，b1b2b3 1 2 a1a2a31 8， a1a2a33. a1，a2，a3成等差数列，a21，故可设 a11d，a31d， 由 1 2 1d 1 2 1 2 1d21 8 ， 得 2d2 d
8、17 4 ，解得 d2 或 d2. 当 d2 时，a11d1，an12(n1)2n3； 当 d2 时，a11d3，an32(n1)2n5. 13有一批影碟机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销 售甲商场用如下的方法促销：买一台单价为 780 元，买两台单价都为 760 元， 依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元，但每台最低价不能低于 440 元；乙商场一律都按原价的 75%销售某单位购买一批此类影碟机，问去哪 家商场买花费较少 解设单位需购买影碟机 n 台，在甲商场购买每台售价不低于 440 元，售价 依台数 n 成等差数列设该数列为an an780(n1)(
9、20)80020n， 解不等式 an440，即 80020n440，得 n18. 当购买台数小于等于 18 台时，每台售价为(80020n)元，当台数大于 18 台 时，每台售价为 440 元 到乙商场购买，每台售价为 80075%600 元 作差：(80020n)n600n20n(10n)， 当 n10 时，600n(80020n)n， 当 n10 时，600n(80020n)n， 当 10n18 时，(80020n)n18 时，440n600n. 即当购买少于 10 台时到乙商场花费较少， 当购买 10 台时到两商场购买花费 相同，当购买多于 10 台时到甲商场购买花费较少. 素养能力题从
10、容有序过 14.在 a 和 b 两个数之间插入 n 个数，使它们与 a，b 组成等差数列，则该数 列的公差为() A.ba n B.ba n1 C.ba n1 D.ba n2 解析设 a1a，则 an2b，再设其公差为 d，则 an2a1(n21)d，即 ba(n1)d，所以 dba n1.故选 B. 答案B 15已知数列an满足 a11，若点 an n ， an1 n1 在直线 xy10 上，则 an _. 解析由题设可得an n an1 n110，即 an1 n1 an n 1，所以数列 an n 是以 1 为 公差的等差数列，且首项为 1，故通项公式an n n，所以 ann2. 答案n
11、2 16在数列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN) (1)求证：数列 1 an是等差数列； (2)求数列an的通项公式； (3)若an 1 an1对任意 n2 的整数恒成立，求实数的取值范围 解(1)证明：由 3anan1anan10，得 1 an 1 an13(n2)又a 11， 数列 1 an是以 1 为首项，3 为公差的等差数列 (2)由(1)可得 1 an13(n1)3n2，a n 1 3n2. (3)an 1 an1对任意 n2 的整数恒成立， 即 3n23n1对 n2 的整数恒成立 整理，得3n13n2 3n1 ， 令 cn3n13n2 3n1 ， cn1cn3n43n1 3n 3n13n2 3n1 3n13n4 3nn1 . n2，cn1cn0，即数列cn为单调递增数列， c2最小 又 c228 3 ，的取值范围为 ，28 3 .
