1、章末达标检测章末达标检测(二二) (对应学生用书 P101) 一、选择题 1(2017山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立 的是() Aa2bBb2a CA2BDB2A 解析sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC， 所以 2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，选 A. 答案A 2(2016天津卷)在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC () A1B2 C3D4 解析由余弦定理 AB2BC2AC2
2、2BCACcosC， 将各值代入得 AC23AC 40， 解得 AC1 或 AC4(舍去)，故选 A. 答案A 3(2018遵义期末)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a 5 2 b，A2B，则 cosB() A. 5 3 B. 5 4 C. 5 5 D. 5 6 解析在ABC 中，a 5 2 b， 由正弦定理可得 sinA 5 2 sinB， 又A2B，sinAsin2B2sinBcosB， 由可得 5 2 sinB2sinBcosB，可得 cosB 5 4 ，故选 B. 答案B 4(2019齐齐哈尔期末)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c
3、 2，b 6，B120，则 a 等于() A. 6B2 C. 3D. 2 解析由余弦定理， 得 b2a2c22accosB， 则 6a22 2a， 即 a2 2a 40，解得 a 2或 a2 2(舍) 答案D 5(2015广东卷)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2， c2 3，cosA 3 2 ，且 bc，则 b() A. 3B2 C2 2D3 解析由余弦定理得：a2b2c22bccosA，所以 22b2(2 3)2 2b2 3 3 2 ，即 b26b80，解得：b2 或 b4，因为 bc，所以 b2， 故选 B. 答案B 二、填空题 6(2015安徽卷)在ABC
4、 中，AB 6，A75，B45，则 AC _. 解析由正弦定理可知： AB sin1807545 AC sin45 6 sin60 AC sin45 AC2. 答案2 7(2015天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已 知ABC 的面积为 3 15，bc2，cosA1 4，则 a 的值为_ 解析因 cosA1 4，故 sinA 15 4 ，由题设可得 1 2bc 15 4 3 15，即 bc 24，所以 b2c2(bc)22bc44852，所以 a b2c22bccosA 52128，应填 8. 答案8 8(2019浙江卷)在ABC 中，ABC90，AB4，BC
5、3，点 D 在线段 AC 上，若BDC45，则 BD_；cosABD_. 解析在ABD 中，正弦定理有： AB sinADB BD sinBAC，而 AB4，ADB 3 4 ，AC AB2BC25，sinBACBC AC 3 5，cosBAC AB AC 4 5，所以 BD 12 2 5 . cosABDcos(BDCBAC)cos 4cosBACsin 4sinBAC 7 2 10 . 答案 12 2 5 7 2 10 9(2015重庆卷)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2， cosC1 4，3sinA2sinB，则 c_. 解析由 3sinA2sinB 及正弦
6、定理，得 3a2b.又因为 a2，所以 b3.由 余弦定理得： c2a2b22abcosC49223 1 4 16，所以 c4. 答案4 10(2015全国卷)如图在平面四边形 ABCD 中，ABC75， BC2，则 AB 的取值范围是_ 解析如图所示， 延长 BA， CD 交于 E， 平移 AD， 当 A 与 D 重合于 E 点时， AB 最长， 在BCE 中，BC75，E30，BC2，由正弦定理可得 BC sinE BE sinC，即 2 sin30 BE sin75， 解得 BE 6 2，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在BCF 中，BBFC75，
7、FCB30，由正弦定理知， BF sinFCB BC sinBFC， 即 BF sin30 2 sin75， 解得 BF 6 2， 所以 AB 的取值范围为( 6 2， 6 2) 答案( 6 2， 6 2) 三、解答题 11(2015江苏卷)在ABC 中，已知 AB2，AC3，A60. (1)求 BC 的长； (2)求 sin2C 的值 解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcosA492231 2 7， 所以 BC 7. (2)由正弦定理知， AB sinC BC sinA， 所以 sinCAB BCsinA 2sin60 7 21 7 . 因为 ABBC，所以 C 为锐角， 则
8、 cosC 1sin2C13 7 2 7 7 . 因此 sin2C2sinCcosC2 21 7 2 7 7 4 3 7 . 12(2016浙江卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 已知 bc2acosB. (1)证明：A2B； (2)若ABC 的面积 Sa 2 4 ，求角 A 的大小 解(1)由正弦定理得 sinBsinC2sinAcosB，故 2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是 sinBsin(A B) 又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或 BAB，因此 A (舍去)或 A2B，所以 A2B. (
9、2)由 Sa 2 4 得 1 2absinC a2 4 ，故有 sinBsinC1 2sin2BsinBcosB，因 sinB0， 得 sinCcosB.又 B，C(0，)，所以 C 2B. 当 BC 2时，A 2；当 CB 2时，A 4. 综上，A 2或 A 4. 13 (2016四川卷)在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 且cosA a cosB b sinC c . (1)证明：sinAsinBsinC； (2)若 b2c2a26 5bc，求 tanB. 解(1)根据正弦定理，可设 a sinA b sinB c sinCk(k0)，则 aksinA，b
10、 ksinB，cksinC. 代入cosA a cosB b sinC c 中，有 cosA ksinA cosB ksinB sinC ksinC，变形可得 sinAsinB sinAcosBcosAsinBsin(AB) 在ABC 中， 由 ABC， 有 sin(AB)sin(C)sinC， 所以 sinAsinB sinC. (2)由已知，b2c2a26 5bc，根据余弦定理， 有 cosAb 2c2a2 2bc 3 5. 所以 sinA 1cos2A4 5. 由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以 4 5sinB 4 5cosB 3 5sinB，故 tanB
11、sinB cosB4. 14(2018浙江学考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 且 b2a2c2ac， (1)求角 B 的大小； (2)若 ac2，求ABC 的面积； (3)求 sinAsinC 的取值范围 解(1)由 cosBa 2c2b2 2ac ，得 cosB1 2， 所以 B 3； (2)由(1)得 SABC1 2acsin60 3. (3)由题意得 sinAsinCsinAsin 2 3 A 3 2sinA 3 2 cosA 3sin A 6 . 因为 0A2 3 ，所以 3 2 3sin A 6 3.故所求的取值范围是 3 2 ， 3 . 15(201
12、7全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(AC)8sin2B 2. (1)求 cosB. (2)若 ac6，ABC 面积为 2，求 b. 解(1)由题设及 ABC得 sinB8sin2B 2，故 sinB4(1cosB)， 上式两边平方， 整理得 17cos2B32cosB150， 解得 cosB1(舍去)， cosB 15 17. (2)由 cosB15 17得 sinB 8 17，故 S ABC1 2acsinB 4 17ac， 又 SABC2，则 ac17 2 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB) 3621
13、7 2 115 17 4. 所以 b2. 16(2018玉溪期末)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sinAcosA 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小； (2)若 sinA4 5，求ABC 的面积 解(1)由题意得，1cos2A 2 1cos2B 2 3 2 sin2A 3 2 sin2B， 即 3 2 sin2A1 2cos2A 3 2 sin2B1 2cos2B， sin 2A 6 sin 2B 6 ， 由 ab 得，AB， 又 AB(0，)，得 2A 62B 6， 即 AB2 3 ，所以 C 3； (2)由 c 3，sinA4 5， a sinA c sinC得 a 8 5， 由 ac，得 AC，从而 cosA3 5， 故 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC43 3 10 ，所以ABC 的面积为 S1 2acsinB 8 318 25 .
