1、平 面 动 点 的 轨 迹 说 课 稿 杜重成福州第三中学 一、教学目标一、教学目标 (一)知识与技能 、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。 、体会数学实验的直观性、有效性,提高几何画板的操作能力。 (二)过程与方法 、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。 、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。 、强化类比、联想的方法,领会方程、数形结合等思想。 (三)情感态度价值观 、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美 、树立竞争意识与合作精神,感受合作交流带来的成功感,树立自信心,激发提出 问题和解决问题的勇气 二、教学重点与难点二、教学重点与难点 教学重点:运用类比、联想的方法探究不同条
2、件下的轨迹 教学难点:图形、文字、符号三种语言之间的过渡 三三、 、教学方法和手段、教学方法和手段 【教学方法】【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积 极思考并对学生的思维进行调控,帮助学生优化思维过程,在此基础上,提供给学生交 流的机会,帮助学生对自己的思维进行组织和澄清,并能清楚地、准确地表达自己的数 学思维。 【教学手段】【教学手段】利用网络教室,四人一机,多媒体教学手段。通过上述教学手段,一 方面:再现知识产生的过程,通过多媒体动态演示,突破学生在旧知和新知形成过程中 的障碍(静态到动态) ;另一方面:节省了时间,提高了课堂教学的效率,激发了学生学 习
3、的兴趣。 【教学模式【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式“创设情境、激发情感、主动发现、 主动发展” 。 四、教学过程四、教学过程 1、创设情景,引入课题 生活中我们四处可见轨迹曲线的影子 【演示】这是美丽的城市夜景图 【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线, 研究表明,天体数目越多,轨迹种类也越多 【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线 设计意图:让学生感受数学就在我们身边,感受轨迹 曲线的动态美、和谐美、对称美,激发学习兴趣。 2、激发情感,引导探索 靠在墙角的梯子滑落了,如果梯子上站着一个人,我们不禁会 想,这个人是直直的摔下去呢?还是划了一条优美的曲线飞出去呢?我们把这个问题
4、转化为 数学问题就是新教材高二上册 88 页 20 题,也就是这里的例题 1; 例例 1 1、线段AB长为a2,两个端点B和A分别在x轴和y轴上滑动, 求线段AB的中点M的轨迹方程。 第一步:让学生借助画板动手验证轨迹 第二步:要求学生求出轨迹方程 法一:设),(yxM,则)0 ,2(),2 , 0(xByA 由aAB2|得ayx244 22 , 化简得 222 ayx 法二:设),(yxM,由aOM |得ayx 22 化简得 222 ayx 法三:设),(yxM, 由点M到定点O的距离等于定长a, 根据圆的定义得 222 ayx; 第三步:复习求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系 (
5、2)设动点的坐标 M(x,y) (3)列出动点相关的约束条件 p(M) (4)将其坐标化并化简,f(x,y)=0 (5)证明 其中,最关键的一步是根据题意寻求等量关系,并把等量关系坐标化 设计意图:在这里我借助几何画板的动画功能,先让学生直观地、形象地、动态地感受动点 的轨迹是圆,接着要求学生求出轨迹方程,最后师生共同回顾求轨迹方程的一般步骤,达到 熟练掌握直译法、定义法,体会从感性到理性、从形象到抽象的思维过程。 3、主动发现、主动发展 由上述例 1 可知,如果人站在梯子中间,则他会划了一段优美的圆弧飞出去。学生很自 然就会想,如果人不是站在中间,而是随意站,结果会怎样呢?让学生动手探究 M
6、 不是中点 时的轨迹。 第一步:利用网络平台展示学生得到的轨迹(教师有意识的整合在一起) 设计意图:借助数学实验,把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生,让学生自己在 实践过程中发现疑问,更容易激发学生学习的热情,促使他们主动学习。 第二步:分解动作,向学生提出 3 个问题: 问题 1:当 M 位置不同时,线段 BM 与 MA 的大小关系如何? 问题 2、体现 BM 与 MA 大小关系还有什么常见的形式? 问题 3、你能类比例 1 把这种数量关系表达出来吗? 第三步:展示学生归纳、概括出来的数学问题 1、线段 AB 的长为 2a,两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动,点 M 为
7、 AB 上的点, 满足 2 1 MA BM ,求点 M 的轨迹方程。 2、线段 AB 的长为 2a,两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动,点 M 为 AB 上的点, 满足3 MA BM ,求点 M 的轨迹方程。 3、线段 AB 的长为 2a,两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动,点 M 为 AB 上的点, 满足k MA BM ,求点 M 的轨迹方程。 (说明是什么轨迹) 第四步:课堂完成学生归纳出来的问题 1,问题 2 和 3 课后完成 4、合作探究、实现创新 改变 A、B点的运动方式,同样考虑中点M的轨迹,教师进行适当的指导(这里固定 A 点,运动 B 点)
8、学生主要列出了以下几种运动方式:圆、椭圆、双曲线、抛物线,并且得出了一些相应 的轨迹。 5、布置作业、实现拓展 1、把上述同学们探究得到的轨迹图形用文字、符号描述出来, (仿造例 1),并求出轨迹 方程。 2、已知 A(4,0) ,点 B 是圆4 22 yx上一动点,AB 中垂线与直线 OB 相交于点 P,求点 P 的轨迹方程。 3、已知 A(2,0) ,点 B 是圆9 22 yx上一动点,AB 中垂线与直线 OB 相交于点 P, 求点 P 的轨迹方程。 4 若把上述问题中垂线改为一般的垂线与直线 OB 相交于点 P,请同学们利用画板验证点 P 的轨迹。 以下是学生课后探究得到的一些轨迹图形
9、课后有学生问,如果 X 轴和 Y 轴不垂直会有什么结果?定长的线段在上面滑动怎么做出 来? 可以说,学生的这些问题我之前并没有想过,给了我很大的触动,同时也促使我更进一 步去研究几何画板,提高自己的能力。在这里,我体会到了教师不再只是一根根蜡烛,更像 是一盏盏明灯,在照亮别人的同时也照亮自己。 以下是 X 轴和Y 轴不垂直时的轨迹图形 五、教学设计说明: (一) 、教材 平面动点的轨迹是高二一节探究课,轨迹问题具有深厚的生活背景,求平面动点的 轨迹方程涉及集合、方程、三角、平面几何等基础知识,其中渗透着运动与变化、方程的思 想、数形结合的思想等,是中学数学的重要内容,也是历年高考数学考查的重点
10、之一。 (二) 、校情、学情 校情:我校是一所省一级达标校,省级示范性高中,学校的硬件设施比较完 善,每间教室都具备多媒体教学的功能,另外有两间网络教室和一个学生电子 阅室,并且能随时上网。 学情:大部分学生家里都有电脑,而且能随时上网。对学生进行了几何画板基 本操作的培训,学生能较快的画出圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本的圆锥曲 线。学生对求轨迹方程的基本方法有了一定的掌握,但是对文字、图形、符号 三种语言之间的转换还存在很大的差异,在合作交流意识方面,发展不均衡, 有待加强。 (三)学法 观察、实验、交流、合作、类比、联想、归纳、总结 (四) 、教学过程 1、创设情景,引入课题 2、激发情感
11、,引导探索 由梯子滑落问题抽象、概括出数学问题 第一步:让学生借助画板动手验证轨迹 第二步:要求学生求出轨迹方程 第三步:复习求轨迹方程的一般步骤 3、主动发现、主动发展 探究 M 不是中点时的轨迹 第一步:利用网络平台展示学生得到的轨迹 第二步:分解动作,向学生提出 3 个问题: 第三步:展示学生归纳、概括出来的数学问题 4、合作探究、实现创新 改变 A、B点的运动方式,同样考虑中点M的轨迹,教师进行适当的指导(这里固定 A 点,运动 B 点) 学生主要列出了以下几种运动方式:圆、椭圆、双曲线、抛物线,并且得出了一些相应 的轨迹。 5、布置作业、实现拓展 (五) 、教学特色: 借助网络、多媒体教学平台,让学生自己动手实验,发现问题并解决问题,同时把学生 的学习情况及时的展现出来,做到大家一起学习,一起评价的效果。同时节省了时间,提高 了课堂效率。 整个教学过程,体现了四个统一:既学习书本知识与投身实践的统一、书本学习与现代 信息技术学习的统一、书本知识与资源拓展的统一、课堂学习与课外实践的统一。 本节课学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极,与我保持良好的互动,还不时产生一些争 执,给我提出了一些新的问题,折射出我不足的方面,促进了我的进步与提高,师生间的教与 学就像一面镜子,互相折射,共同进步。