1、课例：两角和与差的余弦课例：两角和与差的余弦 青海省西宁市第十中学赵永利 教材：人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数 第六节，共需 3 课时，本节课是第一课时。P34-36 一、教材分析：一、教材分析： 、地位和作用、地位和作用： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、 余弦线和诱导公式等知识的延伸， 是后继内容二倍角公式、 和差化积、 积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角 函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主 要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公 式。 、教学目标：、教学目标： 1
2、1、知识目标：、知识目标： 、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记 公式； 、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的 推导； 、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应 用问题。 2 2、能力目标：、能力目标： 、培养学生逆向思维的意识和习惯； 、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； 、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3 3、情感目标：、情感目标： 、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； 、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 （设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育， 而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教
3、学中设计 三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。 ） 、教学重、难点：、教学重、难点： 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重 点； 2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重 点，也是本节的一个难点。 （设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是两角 和余弦公式推导的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用， 所以是本节的一个重点。由于 两角和与差的余弦公式的推导 和应用对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三 角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应 用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导 过程的复杂性
4、，所以也是一个难点。） 二、教学方法：二、教学方法： 1、创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问 题。 （设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是 为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最 有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的 目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反 而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和 谐统一。 ） 2、教具：多媒体投影系统。 本节课中平面内两点间距离公式虽然以前曾经用过，但其证明对学生 来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加
5、 直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来 帮助学生认识、理解、加深印象。 （多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效 果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。 ） 三、学法指导：三、学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式， 特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。 (体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺 序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 四、教学过程：四、教学过程： 教学
6、程序 设计 意 图 课 题 引 入 引言：同学们，前面我们学习了 任意角的三角函数，我们知道它也是 一种运算。在以前的运算中有乘法对 加法的分配律： a(b+c)=ab+ac， 那么： cos（+）=cos+cos是否也成 立呢？如果成立为什么？如果不成 立，它又等于什么呢？这正是我们今 天要研究的内容。 揭示课题：两角和与差的余弦。 通过 创 设 问 题 情境，自然 流畅地 提出 问题，揭示 课题，引发 学生 思考。 使 学 生 目 标明确、迅 速进 入角 色。 复 习 提 问 1、 画出一个锐角、 一个钝角的正 弦线、余弦线。 2、 如果角的终边与单位圆相交 于点 P，点 P 的坐标能否用
7、角的三 角函数值表示？怎样表示？ 3、 写出同一坐标轴上两点间距离 公式。 通过 复 习 使 学 生 熟 悉 基 础知识、特 别 是 用 角 的正、余弦 表 示 特 殊 点的坐标， 为 新 课 的 推 进 做 准 备。 引 入 新 课 1 、 回 答 “cos （ + ） =cos+cos是否成立”这个问题之 前，让学生先讨论“cos（45 0+300） =cos45 0+cos300 是否成立？” 。 （学生 可能通过计算器、量余弦线的长度、 学生 通 过 独 立 思 考 和 分 组讨论，可 以 用 特 殊 特殊角三角函数值和余弦函数的值域 三 种 途 径 解 决 问 题 ） 。 得 出 c
8、os （45 0+300）cos450 +cos30 0。进而得 出 cos（+）cos+cos这个 结论。 此时再次提出那么 cos （+） 又等于什么呢？ 2、 在解决上面的问题之前， 我们 先来解决“平面内两点间距离的求 法”这一问题。通过上面的复习，我 们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距 离公式。那么，平面内两点间距离与 坐标有什么样的关系呢？（通过动画 演示让学生体会平面内两点间距离和 同一坐标轴上两点间距离的关系。 值 法 证 明 猜 想 不 成 立，三种方 法的出现， 培 养 学 生 多 角 度 考 虑 问 题 的 发 散 思 维 能力，合作 学 习 的 习 惯。随后的 提 问 会
9、 激 发 学 生 想 要 解 决 问 题 的 主 观 需要，提高 思 维 的 主 动性。 教 学 过 程 1、分析：设 P1（x1，y1） ，P2（x2， y2）则有：M1（x1，0） ，M2（x2，0）,N1 （0，y1） ，N2（0，y2） 。 通过演示课件提出问题：P1P2 的长度与什么有关？（请 设计出算法） 根据右图写出 M1M2和 N1N2。 P1Q= M1M2=x2-x1 QP2= N1N2=y2-y1 根据勾股定理写出 P1P2 2=P 1Q 2+QP 2 2=(x 2-x1) 2+(y 2-y1) 2 由此得平面内 P1（x1，y1） 、 P2（x2， y2）两点间的距离公式
10、: P1P2=(x2-x1) 2+(y 2-y1) 2 2、 在直角坐标系内做单位圆， 并 做出任意角,+和-。 它们的终 边分别交单位圆于 P2、P3和 P4点，单 位圆与 X 轴交于 P1。 则：P1(1,0)、 P2（cos，sin） 、 1 、 通 过 几 何 画 板 动 态 演 示，给学生 以 直 观 感 受，让他们 认识到：平 面 内 两 点 间 距 离 和 同 一 坐 标 轴 上 两 点 间 距 离 总 能 构 成 一 个 直 角 三 角形，利用 勾 股 定 理 即可解决。 2 、 两 角 和 余 弦 P3（cos（+） ，sin（+） ） 、 公 式 的 证 明 中 存 在 两
11、个困难： 三 角 函 数 表 示 单 位 圆 上 点 的坐标，它 虽 然 算 理 简单，但学 生 由 于 陌 生 而 很 不 习惯，通过 前 面习 环 节 应 该 有所熟悉。 在用到： cos 2 （ +）+sin 2 例 2、 已知 sin =， （， ） ，cos=-, （，） ， 求 cos（-） 、cos（+） 。 公式提示： cos（- ）= cos cos+ sin sin cos（+） = cos cos- sin sin 6、例 2 的目的在于 熟悉公式， 同时对同角 三角函数关 系有复习的 作用，其难 度 不 是 很 大，在提供 了 公 式 之 后，学生应 当 能 够 完 成
12、. 由 P1P3=P2P 4（同圆 相等的 圆心角 所对弦 相等） 及两点 间距离 公式， 得： cos （+ ） -1 2+s in （+ ） -0 2 =cos( -)-c os 2+ sin （-） -sin 2 展开整 理合并 得： 求 证 : （ 1 ） cos （- ） = sin （ 2） sin （- ） = cos 证明： （ 1 ） cos （- ） =cos cos +sin sin = sin （ 2 ） sin （- ） =cos - （ -） = cos = （ + ） =1 时， 需要 教 师 特 别 指出，公式 中 只 要 求 是“同角” ， 并 不 在 乎 角
13、 的 具 体 度 数 和 形 式。 3 、 两 角 和 的 余 弦 学 完 之 后，要强调 其 中 两 角 均 为 任 意 角，这样一 来，两角差 的 余 弦 只 是 两 角 和 的 余 弦 的 特殊形式。 4 、 两 个 诱 导 公 式 学 生 在 初 中 就 学 习过，但今 天 应 通 过 证明，并将 以 前 的 锐 角 拓 展 到 任 意 角 。 （2）式的 证 明 实 际 上是（1） 式 的 逆 应 用，体现了 代数思想， 也 实 践 了 学 以 制 用 的原则。 5、 例 1 的 作 用 一 方 面 让 学 生 熟 练 两 角 和 与 差 的 余 弦 公 式，另一方 面 也 向 学
14、生 展 示 了 公 式 的 一 种 实 际 应 用 价 值 ， 即：将非特 殊 角 转 化 为 特 殊 角 的和与差。 小 结 本节课我们学习了下面两组 公式，在公式的记忆上，我们应 注意函数和符号的变化。 1、平面内两点间距离公式： P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 2、两角和与差的余弦： （同名之积相加减，运算符同名之积相加减，运算符 号左右反。号左右反。） cos（+ +）= cos cos- - sin sin cos （- -） = cos cos+ + sin sin 7 、 小 节 以 十 四 字 口 诀 概 括 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 关 系式，既体
15、 现 了 公 式 的 本 质 特 征，又朗朗 上口，便于 记忆。有助 于 学 生 对 本 节 课 的 内 容 更 好 地掌握。 练 习巩固 1、课堂练习（P38） 、第 2 题（3） 、 （4） 。 8 、 课 堂 练 习 有 、第 3 题（2） 、 （3） 。 2、课后作业 P40 习题 4.6 第 2 、 3、(2)、(3) 3、思考题： 试运用今天所学知识和方法 证明： sin （ + + ） =sin cos+ +cos sin sin （ - - ） =sin cos- -cos sin 助 于 学 生 进 一 步 熟 悉公式，加 深 学 生 对 公 式 的 理 解和认识。 回 馈
16、教 学 效果。思考 题 对 学 生 本 节 课 所 学 知 识 方 法 的 考 察 要求较高， 但 能 力 较 强 学 生 能 够完成，也 是 为 下 一 节 课 的 内 容做准备。 体 现 问 题 必 须 略 高 于 学 生 现 有 知 识 水 平的原则。 设计说明 本节课授课内容为人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四 章三角函数第六节，共需 3 课时，本节课是第一课时。本节课的教学对正弦线、 余弦线定义；用角的余弦、正弦表示单位圆上点的坐标；同圆上相等的圆心角 所对的弦长相等这些知识有较强的依耐性，因此在复习环节做了必要的准备。 本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引
17、导-解决问 题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完 整体现。在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有 效增加课堂容量。 在教学过程环节，采用先提出问题，再逐步展开的方式，能够充分调动学 生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在两角和的 余弦公式得到后，利用代数思想推出两角差的余弦公式和诱导公式，使学生进 一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的 印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中， 突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也 为下一节内容的学习做准备。 您 想 拥 有 邮 箱 吗 ？ 创 纪 录 16G 超 大 容 量（送 6G 免 费 网 盘） ，最 高 性 价 比 的 电 子 邮 件 解 决 之 道
