1、圆的标准方程圆的标准方程 青海师大附中青海师大附中朱永祥朱永祥 人教版高中数学（必修）第二册（上）人教版高中数学（必修）第二册（上） 教学目标教学目标 (一)知识目标 1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准 方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。 (二)能力目标 1进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力； 2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提 高学生运算能力、逻辑思维能力； 3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分 析、解决问题的能力。 (三)
2、情感目标 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学 的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。 教学重、难点教学重、难点 (一)教学重点 圆的标准方程的理解、掌握。 (二)教学难点 圆的标准方程的应用。 教学方法教学方法 选用引导引导探究式探究式的教学方法。 教学手段教学手段 借助多媒体进行辅助教学。 教学过程教学过程 .复习提问、引入课题复习提问、引入课题 师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何 求适合某种条件的点的轨迹？ 生：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标为(x，y)
3、；写出适合某 种条件 p 的点 M 的集合 PM p（M）；用坐标表示条件，列出方程 f(x,y)=0； 化简方程 f(x,y)=0 为最简形式。 证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点 （一般省略）。多媒体演示 师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件 的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。给出标题 师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为 5 的圆的方程：x 2+y2=52 即 x 2+y2=25. 若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为 r 的圆 的方程？ 生：x 2+y2=r2. 师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的
4、点满足什么条件？ 生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即 x 2+y2=r2. 师：x 2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为 r.有时圆心不在原点， 若此圆的圆心移至 C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？ 生：此圆是到点 C(a,b)的距离等于半径 r 的点的集合，Y M(x,y) 由两点间的距离公式得师：方程（ （x-ax-a） 2 2+(y-b) +(y-b) 2 2= = r r2 2 叫做圆的标准方程叫做圆的标准方程. . O OX X 特别：当圆心在原点，半径为特别：当圆心在原点，半径为 r r 时，圆的标准方程为：时，圆的标准方程为：x x 2 2
5、+y +y 2 2=r =r 2 2. . 师：圆的标准方程由哪些量决定？ 生：由圆心坐标（a,b）及半径 r 决定。 师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方 程，只需确定 a、b、r 这三个独立变量即可。 1、写出下列各圆的标准方程：多媒体演示 圆心在原点，半径是 3：_ 圆心在点 C（3，4），半径是：_ 经过点 P（5，1），圆心在点 C（8，3）：_ 2、 变式题多媒体演示 求以 C（1，3）为圆心，并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 答案：(x-1) 2 + (y-3) 2 = Cr 即： 已知圆的方程是 (x-a) 2 +y 2 =
6、a 2 ,写出圆心坐标和半径。 答案： C（a,0）,r=|a| .例题分析、巩固应用例题分析、巩固应用 师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用. 例 1已知圆的方程是 x 2+y2=17，求经过圆上一点 P（ ，） 的切线的方程。 师：你打算怎样求过 P 点的切线方程？Y 生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。 师： 斜率怎样求？P 生：。 师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看 （如图）O X 生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数 半径 OP 的斜率 K1， 所以切线的斜率 K 所以所求切线方程：y-= (x-) 即：x+y=17(教师板书) 师：对照
7、圆的方程 x 2+y2=17 和经过点 P（ ，）的切线方 程x+y=17，你能作出怎样的猜想？ 生：。 师：由 x 2+y2=17 怎样写出切线方程 x+y=17,与已知点 P（，）有何关系？ （若看不出来，再看一例） 例 1 / 圆的方程是 x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。 答案：2x+3y=13即：2x+3y130 师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答） 生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个 x 和一个 y，便得到了切线方程。 师：若将已知条件中圆半径改为 r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎 样的变化？大胆地猜一猜！ 生：xox+yoy
8、=r 2. 师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？ 生：。 例 2已知圆的方程是 x 2+y2=r2，求经过圆上一点 P（x o,yo）的切线的方程。 解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径 OP 的斜率与切线的斜率互为 负倒数 半径 OP 的斜率 K1，切线的斜率 K 所求切线方程：y-yo= (x-xo) 即：xox+yoy=xo 2+y o 2 亦即：xox+yoy=r 2. (教师板书) 当点 P 在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。 归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r 2,将其中一个 x、y 用切点的坐标 x o、yo替换，可 得到切线方程 例 3右图
9、为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB20M，拱高 OP4M， 在建造时每隔 4M 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2的长度。（精确到 0.01M） 引导学生分析，共同完成解答。 师生分析：建系； 设圆的标准方程（待定系数）；求系数（求出 圆的标准方程）；利用方程求 A2P2的长度。 解：以 AB 所在直线为 X 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则 圆心在 Y 轴上，设为 （0，b）,半径为 r，那么圆的方程是x 2+(y-b)2=r2. P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：Y Y P P2 2P P 解得：b=-10.5 ,r 2=14.52 圆的方程为
10、x 2+(y10.5)2=14.52. 将 P2的横坐标 x=-2 代入圆的标准方程A AA A2 2O OB BX X 且取 y0 得：y= 14.36-10.5=3.86 (M) 答：支柱 A2P2的长度约为 3.86M。 .课堂练习、课时小结课堂练习、课时小结 课本77练习 2，3 师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程 和方法，能运用圆的方程解决实际问题. .问题延伸、课后作业问题延伸、课后作业 (一)若 P（xo,yo）在圆（x-a） 2+(y-b)2= r2上时，試求过 P 点的圆的切线方程。 课本81习题 7.7 : 1，2，3，4 (二)预习课
11、本7779 板书设计板书设计 教学设计说明教学设计说明 设计思想：设计思想： 在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情 境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对 知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。 设计理念：设计理念： 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关 7.7圆的方程圆的方程 1 1圆的标准方程圆的标准方程 例 2例 3 方程（x-ax-a） 2 2+(y-b) +(y-b) 2 2= = r r2 2 叫做圆的标准方程叫
12、做圆的标准方程. . 当圆心在原点，半径为 r 时， 圆的标准方程为：x 2+y2=r2. 例 1练习 2练习 3 例 1 系，师生共同研究，共同提高。 设计思路：设计思路： 本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写 意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认 知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此， 本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观 察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏 圆的方程，体会数学
13、中的美对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破 难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的 兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感 官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激 发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。 最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断 求知、不断探索的欲望。 在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结 合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并 且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。 媒体设计：媒体设计： 采用 powerpoint 媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用 演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高 课堂教学效率。
