1、圆与方程圆与方程 (时间时间 120 分钟分钟满分满分 150 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) 1在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)关于关于 yOz 平面对称的点的坐标为平面对称的点的坐标为() A(3,4,5)B(3，4,5) C(3，4，5)D(3,4，5) 解析解析：选选 A纵纵、竖坐标相同竖坐标相同故点故点 P(3,4,5)关于关于 yOz 平面对称的点的坐标为平面对称的点的坐标
2、为(3,4,5) 2 已知圆已知圆 O 以点以点(2， 3)为圆心为圆心， 半径等于半径等于 5， 则点则点 M(5， 7)与圆与圆 O 的位置关系是的位置关系是() A在圆内在圆内B在圆上在圆上 C在圆外在圆外D无法判断无法判断 解析解析：选选 B点点 M(5，7)到圆心到圆心(2，3)的距离的距离 d 52 2 73 25，故点故点 M 在圆在圆 O 上上 3直线直线 xy10 被圆被圆(x1)2y23 截得的弦长等于截得的弦长等于() A. 2B2 C2 2D4 解析：解析：选选 B由题意，得圆心为由题意，得圆心为(1,0)，半径，半径 r 3，弦心距，弦心距 d| 101| 1212
3、2，所，所 以所求的弦长为以所求的弦长为 2 r2d22，选，选 B. 4若点若点 P(1,1)为圆为圆 x2y26x0 的弦的弦 MN 的中点的中点，则弦则弦 MN 所在直线的方程为所在直线的方程为() A2xy30Bx2y10 Cx2y30D2xy10 解析解析：选选 D由题意由题意，知圆的标准方程为知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心为圆心为 A(3,0)因为点因为点 P(1,1) 为弦为弦 MN 的中点，所以的中点，所以 APMN.又又 AP 的斜率的斜率 k1 0 13 1 2，所以直线 ，所以直线 MN 的斜率为的斜率为 2， 所以弦所以弦 MN 所在直线的方程为所在直线的方程为
4、 y12(x1)，即，即 2xy10. 5若直线若直线3xy2n0 与圆与圆 x2y2n2相切，其中相切，其中 nN*，则，则 n 的值为的值为() A1B2 C4D1 或或 2 解析解析：选选 D由题意由题意，得圆心得圆心(0,0)到直线到直线3xy2n0 的距离为的距离为 2n 3 21 2n 1， ，所所 以以 n2n 1.由 由 n2n 1，结合选项，得 ，结合选项，得 n1 或或 2. 6圆圆 C1：x2y22x6y260 与圆与圆 C2：x2y24x2y40 的位置关系是的位置关系是() A内切内切B外切外切 C相交相交D外离外离 解析解析：选选 A由题意由题意，知圆知圆 C1的标
5、准方程为的标准方程为(x1)2(y3)236，圆圆 C2的标准方程为的标准方程为 (x2)2(y1)21，所以圆所以圆 C1的圆心为的圆心为 C1(1,3)，半径为半径为 6，圆圆 C2的圆心为的圆心为 C2(2，1)， 半径为半径为 1.又又|C1C2| 12 2 31 25，所以所以|C1C2|61，故两圆的位置关系是内切故两圆的位置关系是内切 7半径长为半径长为 6 的圆与的圆与 x 轴相切，且与圆轴相切，且与圆 x2(y3)21 内切，则此圆的方程为内切，则此圆的方程为() A(x4)2(y6)26B(x4)2(y6)26 C(x4)2(y6)236D(x4)2(y6)236 解析解析
6、： 选选 D半径长为半径长为 6 的圆与的圆与 x 轴相切轴相切， 设圆心坐标为设圆心坐标为(a， b)， 则则 b6.再由再由 a232 5，可以解得，可以解得 a4，故所求圆的方程为，故所求圆的方程为(x4)2(y6)236. 8经过点经过点 M(2,1)作圆作圆 x2y25 的切线，则切线方程为的切线，则切线方程为() A. 2xy50B. 2xy50 C2xy50D2xy50 解析：解析：选选 CM(2,1)在圆上，在圆上，切线与切线与 MO 垂直垂直 kMO1 2， ，切线斜率为切线斜率为2.又过点又过点 M(2,1)， y12(x2)，即，即 2xy50. 9 把圆把圆 x2y22
7、x4ya220 的半径减小一个单位则正好与直线的半径减小一个单位则正好与直线 3x4y40 相相 切，则实数切，则实数 a 的值为的值为() A3B3 C3 或或 3D以上都不对以上都不对 解析解析：选选 C圆的方程可变为圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27，圆心为圆心为(1,2)，半径为半径为 a27， 由题意得由题意得| 13424| 3 242 a271，解得，解得 a3. 10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水 面面 2 米，水面宽米，水面宽 12 米，当水面下降米，当水面下降 1 米后，水面宽度为米后
8、，水面宽度为() A14 米米B15 米米 C. 51米米D251米米 解析解析：选选 D如图如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱以过圆弧形拱 桥的顶点的水平切线为桥的顶点的水平切线为 x 轴轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系 设圆心为设圆心为 C，水面所在弦的端点为，水面所在弦的端点为 A，B， 则由已知可得则由已知可得 A(6，2)， 设圆的半径长为设圆的半径长为 r，则，则 C(0，r)， 即圆的方程为即圆的方程为 x2(yr)2r2. 将点将点 A 的坐标代入上述方程可得
9、的坐标代入上述方程可得 r10， 所以圆的方程为所以圆的方程为 x2(y10)2100， 当水面下降当水面下降 1 米后，水面弦的端点为米后，水面弦的端点为 A，B， 可设可设 A(x0，3)(x00)，代入，代入 x2(y10)2100，解得，解得 x0 51， 水面宽度水面宽度|AB|251米米 11过点过点(3,1)作圆作圆(x1)2y21 的两条切线的两条切线，切点分别为切点分别为 A，B，则直线则直线 AB 的方程为的方程为 () A2xy30B2xy30 C4xy30D4xy30 解析：解析：选选 A设点设点 P(3,1)，圆心，圆心 C(1,0)已知切点分别为已知切点分别为 A，
10、B，则，则 P，A，C，B 四点四点 共圆，且共圆，且 PC 为圆的直径故四边形为圆的直径故四边形 PACB 的外接圆圆心坐标为的外接圆圆心坐标为 2，1 2 ，半径长为，半径长为 1 2 31 2 10 2 5 2 .故此圆的方程为故此圆的方程为(x2)2 y1 2 2 5 4. 圆圆 C 的方程为的方程为(x1)2y21. 得得 2xy30，此即为直线，此即为直线 AB 的方程的方程 12 已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xOy 中中， 圆圆 C 的方程为的方程为 x2y22y3， 直线直线 l 经过点经过点(1,0) 且与直线且与直线 xy10 垂直，若直线垂直，若直线 l 与
11、圆与圆 C 交于交于 A，B 两点，则两点，则OAB 的面积为的面积为() A1B. 2 C2D2 2 解析：解析：选选 A由题意，得圆由题意，得圆 C 的标准方程为的标准方程为 x2(y1)24，圆心为，圆心为(0，1)，半径，半径 r 2.因为直线因为直线 l 经过点经过点(1,0)且与直线且与直线 xy10 垂直，所以直线垂直，所以直线 l 的斜率为的斜率为1，方程为，方程为 y 0(x1)，即为即为 xy10.又圆心又圆心(0，1)到直线到直线 l 的距离的距离 d|0 11| 2 2，所以弦所以弦 长长|AB|2 r2d22 422 2.又坐标原点又坐标原点 O 到弦到弦 AB 的距
12、离为的距离为|0 01| 2 1 2，所以 ，所以 OAB 的面积为的面积为1 2 2 2 1 2 1.故选故选 A. 二二、填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分请把正确答案填在题中的横线上请把正确答案填在题中的横线上) 13圆心在直线圆心在直线 x2 上的圆上的圆 C 与与 y 轴交于两点轴交于两点 A(0，4)，B(0，2)，则圆则圆 C 的方程的方程 为为_ 解析：解析：由题意知圆心坐标为由题意知圆心坐标为(2，3)，半径，半径 r 20 2 32 2 5，圆圆 C 的方的方 程为程为(x2)2(y3)25. 答案：答案：(x2)2(y3
13、)25 14两圆两圆 x2y22x4y30 与与 x2y24x2y30 上的点之间的最短距离是上的点之间的最短距离是 _ 解析：解析：由由 x2y22x4y30 得得(x1)2(y2)22，由，由 x2y24x2y30 得得(x 2)2(y1)22， 两圆圆心距为两圆圆心距为 12 2 21 23 22 2.故两圆外离故两圆外离， 则两圆上的则两圆上的 点之间的最短距离是点之间的最短距离是 3 2 2 2 2. 答案：答案： 2 15已知空间直角坐标系中三点已知空间直角坐标系中三点 A，B，M，点，点 A 与点与点 B 关于点关于点 M 对称，且已知对称，且已知 A 点点 的坐标为的坐标为(3
14、,2,1)，M 点的坐标为点的坐标为(4,3,1)，则，则 B 点的坐标为点的坐标为_ 解析解析：设设 B 点的坐标为点的坐标为(x，y，z)，则有则有x 3 2 4，y 2 2 3，z 1 2 1，解得解得 x5，y4， z1， 故故 B 点的坐标为点的坐标为(5,4,1) 答案答案：(5,4,1) 16圆圆 O：x2y22x2y10 上的动点上的动点 Q 到直线到直线 l：3x4y80 的距离的最大值的距离的最大值 是是_ 解析：解析：圆圆 O 的标准方程为的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心，圆心(1,1)到直线到直线 l 的距离为的距离为 |31418| 3242 31，动点动点
15、Q 到直线到直线 l 的距离的最大值为的距离的最大值为 314. 答案：答案：4 三三、解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分，解答时写出必要的文字说明解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算证明过程或演算 步骤步骤) 17(本小题满分本小题满分 10 分分)已知正四棱锥已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为的底面边长为 4，侧棱长为，侧棱长为 3，G 是是 PD 的中点，求的中点，求|BG|. 解：解：正四棱锥正四棱锥 PABCD 的底面边长为的底面边长为 4，侧棱长为，侧棱长为 3， 正四棱锥的高为正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点以正四棱锥的底面中心为
16、原点， 平行于平行于 AB， BC 所在的直线分别为所在的直线分别为 y 轴、轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥的顶点则正四棱锥的顶点 B，D，P 的坐标分别为的坐标分别为 B(2,2,0)，D(2，2,0)， P(0,0,1) G 点的坐标为点的坐标为 G 1，1，1 2 |BG|32321 4 73 2 . 18(本小题满分本小题满分 12 分分)已知圆已知圆 C 的圆心为的圆心为(2,1)，若圆若圆 C 与圆与圆 O：x2y23x0 的公共的公共 弦所在直线过点弦所在直线过点(5，2)，求圆，求圆 C 的方程的方程 解解：设圆设圆 C
17、的半径长为的半径长为 r，则圆则圆 C 的方程为的方程为(x2)2(y1)2r2，即即 x2y24x2y5 r2，圆圆 C 与圆与圆 O 的方程相减得公共弦所在直线的方程为的方程相减得公共弦所在直线的方程为 x2y5r20，因为该直线过因为该直线过 点点(5，2)，所以，所以 r24，则圆，则圆 C 的方程为的方程为(x2)2(y1)24. 19(本小题满分本小题满分 12 分分)已知从圆外一点已知从圆外一点 P(4,6)作圆作圆 O：x2y21 的两条切线，切点分的两条切线，切点分 别为别为 A，B. (1)求以求以 OP 为直径的圆的方程；为直径的圆的方程； (2)求直线求直线 AB 的方
18、程的方程 解：解：(1)所求圆的圆心为线段所求圆的圆心为线段 OP 的中点的中点(2,3)， 半径为半径为1 2|OP| 1 2 40 2 60 2 13， 以以 OP 为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x2)2(y3)213. (2)PA，PB 是圆是圆 O：x2y21 的两条切线，的两条切线， OAPA，OBPB， A，B 两点都在以两点都在以 OP 为直径的圆上为直径的圆上 由由 x2y21， x2 2 y3 213， 得直线得直线 AB 的方程为的方程为 4x6y10. 20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知圆过点已知圆过点 A(1，2)，B(1,4) (1)求周长最小的圆的
19、方程；求周长最小的圆的方程； (2)求圆心在直线求圆心在直线 2xy40 上的圆的方程上的圆的方程 解：解：(1)当线段当线段 AB 为圆的直径时，过点为圆的直径时，过点 A，B 的圆的半径最小，从而周长最小，的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段即以线段 AB 的中点的中点(0,1)为圆心，为圆心，r1 2|AB| 10为半径为半径 则所求圆的方程为则所求圆的方程为 x2(y1)210. (2)法一：法一：直线直线 AB 的斜率的斜率 k4 2 11 3， 则线段则线段 AB 的垂直平分线的方程是的垂直平分线的方程是 y11 3x， ， 即即 x3y30. 由由 x3y30， 2xy40，
20、 解得解得 x3， y2， 即圆心的坐标是即圆心的坐标是 C(3,2) r2|AC|2(31)2(22)220. 所求圆的方程是所求圆的方程是(x3)2(y2)220. 法二：法二：设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(yb)2R2. 则则 1a 2 2b 2R2， 1a 2 4b 2R2， 2ab40 a3， b2， R220. 所求圆的方程为所求圆的方程为(x3)2(y2)220. 21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知圆已知圆 x2y24ax2ay20a200. (1)求证：对任意实数求证：对任意实数 a，该圆恒过一定点；，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆若该圆与圆 x2y24 相
21、切，求相切，求 a 的值的值 解：解：(1)证明：圆的方程可整理为证明：圆的方程可整理为(x2y220)a(4x2y20)0， 此方程表示过圆此方程表示过圆 x2y2200 和直线和直线4x2y200 交点的圆系交点的圆系 由由 x 2 y2200，4x2y200 得得 x 4，y2. 已知圆恒过定点已知圆恒过定点(4，2) (2)圆的方程可化为圆的方程可化为(x2a)2(ya)25(a2)2. 当两圆外切时，当两圆外切时，dr1r2， 即即 2 5 a2 2 5a2， 解得解得 a1 5 5 或或 a1 5 5 (舍去舍去)； 当两圆内切时，当两圆内切时，d|r1r2|， 即即| 5 a2
22、22| 5a2， 解得解得 a1 5 5 或或 a1 5 5 (舍去舍去) 综上所述，综上所述，a1 5 5 . 22(本小题满分本小题满分 12 分分)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，O 为坐标原点为坐标原点，以以 O 为圆心的圆与为圆心的圆与 直线直线 x 3y40 相切相切 (1)求圆求圆 O 的方程的方程 (2)直线直线 l：ykx3 与圆与圆 O 交于交于 A，B 两点，在圆两点，在圆 O 上是否存在一点上是否存在一点 M，使得四边，使得四边形形 OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由的斜率；若不存在，说明理
23、由 解解： (1)设设圆圆O的半径长的半径长为为r， 因为直因为直线线x 3y40与与圆圆O相切相切， 所所以以r|0 304| 13 2，所以圆，所以圆 O 的方程为的方程为 x2y24. (2)法一：法一：因为直线因为直线 l：ykx3 与圆与圆 O 相交于相交于 A，B 两点，两点， 所以圆心所以圆心(0,0)到直线到直线 l 的距离的距离 d |3| 1k2 5 2 或或 k 5 2 . 假设存在点假设存在点 M，使得四边形，使得四边形 OAMB 为菱形，则为菱形，则 OM 与与 AB 互相垂直且平分，互相垂直且平分， 所以原点所以原点 O 到直线到直线 l：ykx3 的距离的距离 d
24、1 2|OM| 1. 所以所以 |3| 1k2 1，解得，解得 k28， 即即 k2 2，经验证满足条件，经验证满足条件 所以存在点所以存在点 M，使得四边形，使得四边形 OAMB 为菱形为菱形 法二：法二：设直线设直线 OM 与与 AB 交于点交于点 C(x0，y0) 因为直线因为直线 l 斜率为斜率为 k，显然，显然 k0，所以直线，所以直线 OM 方程为方程为 y1 kx， ， 由由 ykx03，y1 kx 0， 解得解得 x0 3k k21， ，y0 3 k21. 所以点所以点 M 的坐标为的坐标为 6k k21， ， 6 k21 . 因为点因为点 M 在圆上，所以在圆上，所以 6k k21 2 6 k21 2 4，解得，解得 k2 2，经验证均满足条件，经验证均满足条件 所以存在点所以存在点 M，使得四边形，使得四边形 OAMB 为菱形为菱形
