1、圆的标准方程圆的标准方程 层级一层级一学业水平达标学业水平达标 1方程方程|x|1 1 y1 2所表示的曲线是所表示的曲线是() A一个圆一个圆B两个圆两个圆 C半个圆半个圆D两个半圆两个半圆 解析：解析：选选 D由题意，得由题意，得 |x|1 2 y1 21， |x|10， 即即 x1 2 y1 21， x1 或或 x1 2 y1 21， x1， 故原方程表示两个半圆故原方程表示两个半圆 2若一圆的圆心坐标为若一圆的圆心坐标为(2，3)，一条直径的端点分别在，一条直径的端点分别在 x 轴和轴和 y 轴上，则此圆的方轴上，则此圆的方 程是程是() A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3
2、)213 C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252 解析：解析：选选 A直径两端点的坐标分别为直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，6)，可得直径长为，可得直径长为 2 13，则半径，则半径 长为长为 13，所以所求圆的方程是，所以所求圆的方程是(x2)2(y3)213. 3已知点已知点 A(4，5)，B(6，1)，则以线段，则以线段 AB 为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是() A(x1)2(y3)229 B(x1)2(y3)229 C(x1)2(y3)2116 D(x1)2(y3)2116 解析解析： 选选 B圆心为线段圆心为线段 AB 的中点的中点(1， 3)， 半径为
3、半径为|AB| 2 1 2 64 2 15 2 29， 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x1)2(y3)229.故选故选 B. 4 已知直已知直线线l过过圆圆x2(y3)24的圆心的圆心， 且与直且与直线线xy10垂直垂直， 则则l的方程是的方程是() Axy20Bxy20 Cxy30Dxy30 解析：解析：选选 D圆圆 x2(y3)24 的圆心为点的圆心为点(0,3)因为直线因为直线 l 与直线与直线 xy10 垂直垂直， 所以直线所以直线 l 的斜率的斜率 k1.由点斜式得直线由点斜式得直线 l 的方程是的方程是 y3x0，化简得，化简得 xy30.故故选选 D. 5若实数若实数 x
4、，y 满足满足(x5)2(y12)2142，则，则 x2y2的最小值为的最小值为() A2B1 C. 3 D. 2 解析：解析：选选 Bx2y2表示圆上的点表示圆上的点(x，y)与与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值间距离的平方，由几何意义可知最小值 为为 14 521221. 6若点若点 P(1， 3)在圆在圆 x2y2m2上，则实数上，则实数 m_. 解析：解析：P 点在圆点在圆 x2y2m2上，上， (1)2( 3)24m2， m2. 答案：答案：2 7圆心为直线圆心为直线 xy20 与直线与直线 2xy80 的交点，且过原点的圆的标准方程是的交点，且过原点的圆的标准方程是 _
5、 解析解析： 由由 xy20， 2xy80， 可得可得 x2， y4， 即圆心为即圆心为(2,4)， 从而从而 r 20 2 40 2 2 5，故圆的标准方程为，故圆的标准方程为(x2)2(y4)220. 答案：答案：(x2)2(y4)220 8与圆与圆(x2)2(y3)216 同圆心且过点同圆心且过点 P(1,1)的圆的方程为的圆的方程为_ 解析：解析：因为已知圆的圆心为因为已知圆的圆心为(2，3)，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的圆心为(2，3)又又 r 21 2 31 25，所以所求圆的方程为，所以所求圆的方程为(x2)2(y3)225. 答案：答案：(x2)2(y3)225 9求圆心在
6、求圆心在 x 轴上，且过轴上，且过 A(1,4)，B(2，3)两点的圆的方程两点的圆的方程 解：解：设圆心为设圆心为(a,0)， 则则 a1 216 a2 29，所以，所以 a2. 半径半径 r a1 2165， 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x2)2y225. 10求过点求过点 A(1,3)，B(4,2)，且在且在 x 轴轴，y 轴上的四个截距之和是轴上的四个截距之和是 4 的圆的标准方程的圆的标准方程 解 ：解 ： 设 圆 的 标 准 方 程 为设 圆 的 标 准 方 程 为 (x a)2 (y b)2 r2. 把 点把 点 A ， B 的 坐 标 代 入 ， 得的 坐 标 代 入 ，
7、 得 1a 2 3b 2r2， 4a 2 2b 2r2. 消去消去 r2，得，得 b5a5. 令令 x0，则，则(yb)2r2a2，yb r2a2， 在在 y 轴上的截距之和是轴上的截距之和是 2b. 令令 y0，则，则(xa)2r2b2，xa r2b2， 在在 x 轴上的截距之和是轴上的截距之和是 2a. 2a2b4，即，即 ab2. 代入代入，得，得 a7 6， ，b5 6. r2 17 6 2 35 6 2 169 18 . 圆的标准方程为圆的标准方程为 x7 6 2 y5 6 2 169 18 . 层级二层级二应试能力达标应试能力达标 1点点 P(a,10)与圆与圆(x1)2(y1)2
8、2 的位置关系是的位置关系是() A在圆内在圆内B在圆上在圆上 C在圆外在圆外D不确定不确定 解析：解析：选选 C(a1)2(101)281(a1)22，点点 P 在圆外在圆外 2 若直线若直线 yaxb 经过第一经过第一、二二、四象限四象限，则圆则圆(xa)2(yb)21 的圆心位于的圆心位于() A第一象限第一象限B第二象限第二象限 C第三象限第三象限D第四象限第四象限 解析解析：选选 D由题意由题意，知知(a，b)为圆为圆(xa)2(yb)21 的圆心的圆心由直线由直线 yaxb 经过第一、二、四象限，得到经过第一、二、四象限，得到 a0，b0，即，即a0，b0，故圆心位于第四象限，故圆
9、心位于第四象限 3设设 P 是圆是圆(x3)2(y1)24 上的动点上的动点，Q 是直线是直线 x3 上的动点上的动点，则则|PQ|的最小的最小 值为值为() A6B4 C3D2 解析解析：选选 B画出已知圆画出已知圆，利用数形结合的思想求解利用数形结合的思想求解如图如图， 圆心圆心 M(3，1)与定直线与定直线 x3 的最短距离为的最短距离为|MQ|3(3)6. 因为圆的半径为因为圆的半径为 2，所以所求最短距离为，所以所求最短距离为 624. 4已知圆已知圆 C 与圆与圆(x1)2y21 关于直线关于直线 yx 对称，则圆对称，则圆 C 的方程为的方程为() A(x1)2y21Bx2y21
10、 Cx2(y1)21Dx2(y1)21 解析解析：选选 C由已知圆由已知圆(x1)2y21 得圆心得圆心 C1(1,0)，半径长半径长 r11.设圆心设圆心 C1(1,0)关于关于 直线直线 yx 对称的点为对称的点为(a，b)， 则则 b a1 1 1， a 1 2 b 2， ， 解得解得 a0， b1. 所以圆所以圆 C 的方程为的方程为 x2(y1)21. 5若圆若圆 C 与圆与圆 M：(x2)2(y1)21 关于原点对称，则圆关于原点对称，则圆 C 的标准方程是的标准方程是 _ 解析：解析：圆圆(x2)2(y1)21 的圆心为的圆心为 M(2,1)，半径，半径 r1，则点，则点 M 关
11、于原点的对称关于原点的对称 点为点为 C(2，1)，圆，圆 C 的半径也为的半径也为 1，则圆，则圆 C 的标准方程是的标准方程是(x2)2(y1)21. 答案：答案：(x2)2(y1)21 6已知圆已知圆 O 的方程为的方程为(x3)2(y4)225，则点则点 M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为到圆上的点的距离的最大值为 _ 解析解析： 由题意由题意， 知点知点 M 在圆在圆 O 内内， MO 的延长线与圆的延长线与圆 O 的交点到点的交点到点 M(2,3)的距离最大的距离最大， 最大距离为最大距离为 23 2 34 255 2. 答案：答案：5 2 7已知圆已知圆 C 的圆心为的圆心为
12、 C(x0，x0)，且过定点，且过定点 P(4,2) (1)求圆求圆 C 的标准方程的标准方程 (2)当当 x0为何值时，圆为何值时，圆 C 的面积最小？求出此时圆的面积最小？求出此时圆 C 的标准方程的标准方程 解：解：(1)设圆设圆 C 的标准方程为的标准方程为(xx0)2(yx0)2r2(r0) 圆圆 C 过定点过定点 P(4,2)， (4x0)2(2x0)2r2(r0) r22x2012x020. 圆圆 C 的标准方程为的标准方程为(xx0)2(yx0)22x2012x020. (2)(xx0)2(yx0)22x2012x0202(x03)22， 当当 x03 时，圆时，圆 C 的半径
13、最小，即面积最小的半径最小，即面积最小 此时圆此时圆 C 的标准方程为的标准方程为(x3)2(y3)22. 8已知圆已知圆 C1：(x3)2(y1)24，直线直线 l：14x8y310，求圆求圆 C1关于直线关于直线 l 对称对称 的圆的圆 C2的方程的方程 解：解：设圆设圆 C2的圆心坐标为的圆心坐标为(m，n) 因为直线因为直线 l 的斜率的斜率 k7 4， ，圆圆 C1：(x3)2(y1)24 的圆心坐标为的圆心坐标为(3,1)，半径半径 r 2， 所以，由对称性知所以，由对称性知 n1 m3 4 7， ， 14 3m 2 81 n 2 310， 解得解得 m4， n5. 所以圆所以圆 C2的方程为的方程为(x4)2(y5)24.
