1、第2课时基本不等式在实际问题中的应用 第二章2.2基本不等式 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题. 学 习 目 标 同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学， 也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会 标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为 钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面 积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩 形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度
2、为5 m，请问 导 语 作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方 占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习 过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！ 随堂演练课时对点练 一、基本不等式在生活中的应用 二、基本不等式在几何中的应用 内容索引 一、基本不等式在生活中的应用 问题利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？ 提示一正：x，y都得是正数； 二定：积定和最小，和定积最大； 三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要. 例1(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的 矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需 围栏的长
3、度. 解设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(xy)m. 方法一由已知xy16， 所以2(xy)16， 当且仅当xy4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时， 所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 当且仅当xy4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时， 所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 延伸探究如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游 乐园的面积最大？ 解由已知得2(xy)12，故xy6，面积为xy， 可得xy9， 当且仅当xy3时，等号成立. 因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积
4、为9 m2. 反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 跟踪训练1要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已 知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求 该容器的最低总造价. 解设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元， 由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m， 所以底面面积Sab4，y20S102(ab)20(ab)80， 当且仅当ab2时，等号成立， 因此，该容器的最低总造价为160元.
5、 二、基本不等式在几何中的应用 例2如图所示，设矩形ABCD(ABBC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻 折后AB交DC于点P，设ABx. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 解矩形ABCD(ABBC)的周长为24， 在APC中，PACPCA， 所以APPC，从而得DPPB， APABPBABDPxDP， 在RtADP中，由勾股定理得(12x)2DP2(xDP)2， ABBCAD，得x12x， 6x0，y0， 由题意可得2(xy)8， 所以xy4， 当且仅当xy2时取等号， 所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生
6、采用自驾出行.由 于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每 次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确 的是 A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 1234 解析任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价 为n元/升. 1234 所以无论油价如何变化，第二种都更划算. 1234 3.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年 的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 解析由题意得，A(1a)(1b)A(1x)2， 则(1a)(1b)(1x)2， 4
7、.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)， 矩形花园面积的最大值为_.400 1234 解析由题意设矩形花园的长为x0，宽为y0，矩形 花园的面积为xy， 根据题意作图如右，因为花园是矩形，则ADE与 ABC相似， 1234 又因为AGBC40， 所以AFDEx，FGy，所以xy40， 当且仅当xy20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表 述为如图所示，我们教材中利用该图作为“()”的几何解释 12345678910 11
8、12 13 14 15 16 解析可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2a2b2)， 则外围的正方形的面积为c2，也就是a2b2， 四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2b22ab， 当且仅当ab时等号成立，故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0ab，则汽车全 程的平均速度比a，b的平均值 A.大 B.小 C.相等 D.不能确定 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架， 在下列四种长度的铁
9、丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l， 故C既够用，浪费也最少. 4.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成 的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设BCa，CDb， 因为矩形的面积为4，所以ab4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.气象学院
10、用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第 一天连续使用，第n天的维修保养费为(4n46)(nN*)元，使用它直至 “报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天 耗资最少)为止，一共使用了 A.300天 B.400天 C.600天 D.800天 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入 运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x 的关系为yx212x25，则下列判断正确的是 A.车辆运营年数越多，
11、收入越高 B.车辆在第6年时，总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意，yx212x25，是开口向下的二次函数，故A错误； 对称轴x6，故B正确； 当x1时，y14，故D错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为_.32 解析由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab64， 当且仅当a8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.某工厂建造一个无
12、盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m. 如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池 总造价最低，那么水池底部的周长为_ m.160 12345678910 11 12 13 14 15 16 因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现 有一辆运货卡车在该路段上以每小时x千米的速度
13、匀速行驶130千米.假设 汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小 时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由 于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅 与条理，请写出该图验证的不等式 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析从图形可以看出正方形的面积比8个直角
14、三角形的面积和要大， 当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等； 所以a2b22ab. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当7b7c，即bc4时，等号成立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大 的一种是 A.先提价p%，后提价q% B.先提价q%，后提价p% 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意可知，A，B选项的两次提价均为(1p%)(1q%)； 提价最多的为D选项. 123456
15、78910 11 12 13 14 15 16 14.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每 月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建 仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费 用之和最小，仓库应建在离车站_ km处.5 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费 用为y2， 把x10，y12与x10，y28分别代入上式得k120，k20.8， 当仓库建在离车站5 km处两项费用之和最小. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14
16、 15 16 15.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买 10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在 天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些 黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你 认为顾客购得的黄金是 A.大于10 g B.大于等于10 g C.小于10 g D.小于等于10 g 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由于天平两臂不等长， 可设天平左臂长为a(a0)，右臂长为b(b0)，则ab， 再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx5a，ay5b， 但a
17、b，等号不成立，即xy10， 因此，顾客购得的黄金大于10 g. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查， 当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(100.1x)万套.现出版社为配 合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价 格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销 售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每 套丛书的利润售价供货价格. (1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元 时，书商能获得的总利润是多少万元？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 此时销量为100.1802(万套)， 总利润为255110(万元). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润. 12345678910 11 12 13 14 15 16 0 x0， 即x90元时，每套利润最大为60元. 本课结束 更多精彩内容请登录：
