1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 利川市第五中学 2020 年春季高二期末考试 数数学学试试 卷卷 考生注意：考生注意： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；第 II 卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 。 3.3.本试卷主要命
2、题范围：本试卷主要命题范围：高中数学所有内容 第第卷卷 一选择题一选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1.若集合Ax|y 2x ，Bx|x 2x0，则 AB（ B ） A. 0，1）B. 0，1C. 0，2）D. 0，2 2.i 是虚数单位，复数 2 1 i i z ，则 z 的共轭复数是（ C ） A.1 i B.1i C.1iD.1i 3.已知, 为两个平面，m 为直线，且m，则“m”是“”的 （ A ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4 九章算术中有一道“良马、驽马行程问题” 若齐国与长安相距 3000 里，良马从长安
3、 出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行良马第一天行 155 里，之后每 天比前一天多行 12 里，驽马第一天行 100 里，之后每天比前一天少行 2 里，则良马和驽马第 几日相遇（ A） A第 10 日B第 11 日C第 12 日D第 60 日 5.已知函数 3sin 2cos 2(0)f xxx是定义在R上的偶函数，则 8 f 的值为（ A） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 6.函数( )()ln xx f xeex 的图象大致为(D) 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A.B.C. D. 7.已知抛物线C：y 22px（p0），倾斜角为
4、 的直线交C于A，B两点，若线段AB中点的 纵坐标为，则p的值为（C） AB1C2D4 8.若 1 n x x 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大， 则展开式中含 8 x项的系数是 （ D） A. 132B.132C.66D. 66 9.已知 2xf x ，若 1 , 22 ab pfabqfrf af b ，其中0ab， 则下列关系式中正确的是 ( A ) A.pqrB.prqC.rpqD.qpr 10.已知向量(2,2)OC ，( 2cos ,2sin )CAaa ，则向量OA 的模的最小值是( C) A3B32C2D2 11.过双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦
5、点 F 作圆 222 xya的切线 FM（切点为 M） ， 交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为( A) A.2B.3C.2D.5 12.函数 1 | lg|cos 2 f xxx 的零点的个数为（B ） A3B4C5D6 第第卷卷 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 二填空题二填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13.若tan，tan是方程 2 850 xx 的两根，则tan_ -2 14.已知函数 ( )f x是偶函数，当 0 x 时，( )ln1f xxx，则曲线( )yf x在1x 处的 切线方程为_ y
6、x 15.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数” ， 现从 1,2,3,4,5,折 5 个数字中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数” 共有个。20 16.如图，正方形 BCDE 的边长为a，已知3ABBC，将ABE沿边 BE 折起，折 起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻折后的几何体中有如下描述： AB 与 DE 所成角的正切值是2；/ /;ABCE B ACE V 体积是 3 1 6 a；平面 ABC平面 ADC.其中正确的有.（填写你认为正确的序号） 三三解答题解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18-22
7、 每题 12 分，共 70 分) 17.已知 n S是数列 n a的前 n 项和， 1 31 nn SS ， 1 1a . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba， 1 1 n nn c b b ，求数列 n c的前 n 项和 n T. 解： （1）由 1 31 nn SS ，可得：当2n 时， 1 31 nn SS ， 两式相减，得 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a ， 当1n 时， 121 31aaa，得 2 3a ，即 21 3aa，即 2 1 3 a a ， 所以，当1n 时， 1 3 n n a a ，即 n a是首项为 1，公比为 3
8、的等比数列， 所以数列 n a的通项公式 1 3 n n a. （2）由 21 323 loglog 321 n nn ban ， 可得 1 11111 21212 2121 n nn c b bnnnn ， 所以 111111 1 23352121 n T nn 11 1 22121 n nn . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 18.在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 1.AB ACBA BC （）求证：AB； （）求边长 c 的值； （）若6,ABAC 求ABC 的面积 【详解】 （） BCBA BCAA ,coscosbcAa
9、cB， 即coscosbAaB，由正弦定理得sincossincosBAAB in0()sABAB, 0AB，AB. （） 1AB AC cos1bcA， 由余弦定理得 222 1 2 bca bc bc ，即 222 2bca 由（）得AB， 2 2c ， 2c （）6ABAC ， 22 26ABACAB AC 即 22 26cb ， 22 4cb ， 2 2c ， 2 2b ，即 2b . ABC 为正三角形. 2 33 ( 2). 42 ABC S 19.某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且 当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合
10、格，产品才完全合格，.经长期 监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为 8 9 ，第二道工序检查合格的概率为 9 10 ，已知 该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器. （I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率； （II） 若生产一台仪器合格可盈利 5 万元， 不合格则要亏损 1 万元， 记该厂每月的赢利额为， 求的分布列和每月的盈利期望. 解: () 设恰有两台仪器完全合格的事件为A,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为 p 894 = 9105 P 所以 2222 33 4448 ( )(1)( ) (1) 55125 P AC ppC () 每月生产的仪器完全合格的台数可为3,2
11、,1,0四种 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 所以赢利额的数额可以为15,9,3, 3 当15时, 33 3 464 (15)( ) 5125 PC 当9时, 22 3 4148 (9)( ) 55125 PC 当3时, 12 3 4 112 (3)( ) 5 5125 PC 当3 时, 03 3 11 (3)( ) 5125 PC 每月的盈利期望 644812157 1593( 3)10.14 1251251251255 E 所以每月的盈利期望值为10.14万元12 分 20. 如 图 ， 四 棱 锥 中PABCD中 ， 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形
12、， AB/CD ， 60 ,2,DABABADCD 侧面PAD ABCD底面，且PAD为等腰直角三角形， 90APD . （）求证：;ADPB （）求平面PAD与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 5、解： （）取AD的中点G，连结PGGBBD、 PAPD， PGAD ABAD，且60DAB， ABD是正三角形，ADBG , 又PGBGG, AD平面PGB ADPB （） 侧面PAD底面ABCD， 又PGAD，PG底面ABCD PGBG直线GAGBGP、两两互相垂直， 故以G为原点,直线GAGBGP、所在直线为x轴、y轴和z轴建立 如图所示的空间直角坐标系Gxyz 设PGa，则可求得(0,0
13、, ), ( ,0,0),Pa A a(0, 3 ,0)Ba，(,0,0)Da，)0, 2 3 , 2 3 (aaC 33 (,0) 22 BCaa (0, 3 ,)PBaa 设 000 (,)nxyz 是平面PBC的法向量，则0n BC 且0n PB 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 00 00 33 0, 22 30. axay ayaz 00 00 3 , 3 3. xy zy 取 0 3y ，得( 1, 3,3)n 又平面PAD的法向量 1 (0,3 ,0)nGBa ， 设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为, 则 1 1 339 cos 131 393
14、n na ann , 所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 39 13 21.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点与它的左、 右两个焦点 12 ,F F的距离之和为2 2， 且它的离心率与双曲线 22 2xy的离心率互为倒数. （1）求椭圆的方程； （2）如图，点 A 为椭圆上一动点（非长轴端点） ， 1 AF的延长线与椭圆交于 B 点，AO 的延长线与椭圆交于 C 点，求ABC 面积的最大值， 并求此时直线 AB 的方程. 解： （1）设椭圆的半焦距为. c 因为双曲线 22 10 xy的离心率为2， 所以椭圆的离心率为 2 2 ，即 2 2 c a . 由题意，
15、得22 2a .解得2.a 于是1c ， 222 211bac .故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）设直线AB的方程为1xty， 11 (,)A x y， 22 (,).B xy 由 22 1, 22 xty xy 消去x并整理，得 22 (2)210.tyty 因为直线AB与椭圆交于,A B两点，所以 1212 22 21 ,. 22 t yyy y tt 22 2121 |()()ABxxyy 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 22 2121 (1)(1)()tytyyy 22 21 (1)()tyy 22 2112 (1)()4tyyy y 2
16、 22 222 212 2(1) (1)()4. 222 tt t ttt 点O到直线AB的距离 2 1 1 d t . 因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2 .d 22 22 2 12 2(1)12 21 | 2 222 1 ABC tt SABd tt t . 令 2 1tu，则1u. 2 2 22 22 2 = 2 1 11 2 ABC u S u u u u u ， 当且仅当 1 u u ，即1u ，亦即0t 时，ABC面积的最大值为2. 此时直线AB的方程为1x . 22.已知函数 2 =ln20 .f xaxa x （1）若曲线 =y f x在点 11Pf，处的切线
17、与直线2yx垂直，求函数 =y f x的 单调区间； （2）若对于0,x 都有 21f xa成立，试求 a 的取值范围； （3）记 .g xf xxb bR，当1a 时，函数 g x在区间 1, e e 上有两个零点， 求实数 b 的取值范围. 解析： （）直线 2yx 的斜率为 1函数 ( )f x 的定义域为(0, ) ， 因为 2 2 ( ) a fx xx ，所以 2 2 (1)1 11 a f ，所以1a 所以 2 ( )ln2f xx x 2 2 ( ) x fx x 由 ( )0fx 解得2x ；由 ( )0fx 解得02x 所以 ( )f x 的单调增区间是(2, ) ,单调减
18、区间是(0,2) 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - （） 22 22 ( ) aax fx xxx ， 由 ( )0fx 解得 2 x a ；由 ( )0fx 解得 2 0 x a 所以 ( )f x 在区间 2 (, ) a 上单调递增，在区间 2 (0, ) a 上单调递减 所以当 2 x a 时，函数 ( )f x 取得最小值， min 2 ( )yf a 因为对于 (0,)x 都有 ( )2(1)f xa 成立，所以 2 ( )2(1)fa a 即可 则 22 ln22(1) 2 aa a a 由 2 lnaa a 解得 2 0a e 所 以a的 取 值 范 围 是 2 (0, ) e （ ） 依 题 得 2 ( )ln2g xxxb x ， 则 2 2 2 ( ) xx g x x 由 ( )0g x 解得1x ；由 ( )0g x 解得01x 所以函数 ( )g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, ) 为增函数 又因为函数 ( )g x 在区间 1 , ee 上有两个零点，所以 1 ()0, ( )0, (1)0. g e g e g 解得 2 11be e 所以b的取值范围是 2 (1, 1e e
