1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学（理科）试题数学（理科）试题 一一. .选择题（每小题选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.设集合 2 |430Ax xx， |230Bxx，则AB （） A. 3 ( 3,) 2 B. 3 ( 3, ) 2 C. 3 (1, ) 2 D. 3 ( ,3) 2 【答案】D 【解析】 试题分析：集合|130|13Axxxxx，集合，所以 3 |3 2 ABxx ,故选 D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 2.函数 log22 a fxx（0a ，且1a ）的图象必过定点() A.1,0B.1
2、, 2C.1, 2 D.1, 1 【答案】C 【解析】 【分析】 令21x ，即可得到本题答案. 【详解】因为函数( )log (2)2 a f xx，且有log 10 a (0a 且1a )， 令21x ，则1x ，2y ， 所以函数 ( )f x的图象经过点( 1, 2) . 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数函数( )logaf xx(0a 且1a )恒过定点(1,0)，属于基础题 目. 3.下列函数中，与函数 | | 3 x y 的奇偶性相同，且在(,0)上单调性也相同的是（） A. 2 1yx B. 2 log |yxC. 1 y x D. 3 1yx 高考资源网（）您身边的高考专
3、家 版权所有高考资源网 - 2 - 【答案】A 【解析】 【分析】 先分析 | | 3 x y 的奇偶性以及在(,0)的单调性，然后再对每个选项进行分析. 【详解】函数 | | 3 x y 为偶函数,且在(,0)上为增函数， 对于选项A,函数 2 1yx 为偶函数，在(,0)上为増函数，符合要求； 对于选项B,函数 2 log |yx是偶函数，在(,0)上为减函数，不符合题意； 对于选项C,函数 1 y x 为奇函数，不符合题意； 对于选项D,函数 3 1yx为非奇非偶函数，不符合要求； 只有选项A符合要求，故选A. 【点睛】奇偶函数的判断： （满足定义域关于原点对称的情况下） 若()( )f
4、xf x ，则 ( )f x是奇函数； 若()( )fxf x，则 ( )f x是偶函数. 4.在ABC中，若13,3,120ABBCC ，则AC=（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 【解析】 余弦定理 222 2cosABBCACBC ACC 将各值代入 得 2 340ACAC 解得1AC 或4AC (舍去)选 A. 5.已知函数( )sin()(0) 3 f xx 最小正周期为，则该函数的图象（） A. 关于直线 3 x 对称B. 关于点(,0) 3 对称 C.关于直线 6 x 对称D. 关于点(,0) 6 对称 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所
5、有高考资源网 - 3 - 【分析】 由T可得2,则 sin 2 3 f xx ,将 3 x 代入 fx中即可得到结果. 【详解】由题, 2 T ,所以2,则 sin 2 3 f xx , 将 3 x 代入 fx中可得sin 2sin0 333 f ,所以,0 3 是 fx的对 称中心, 故选:B 【点睛】本题考查正弦型函数的周期性的应用,考查代入验证法处理正弦型函数的对称性问 题. 6.已知A，B，C三点不共线，且点O满足 0OAOBOC ，则下列结论正确的是() A. 12 33 OAABBC B. 21 33 OAABBC C. 12 33 OAABBC D. 21 33 OAABBC 【
6、答案】D 【解析】 【分析】 由 0OAOBOC 可 知 ， 所 以O为ABC的 重 心 ， 运 用 向 量 的 加 法 运 算 ， 21 () 32 OAABAC ,整理后可求结果. 【详解】因为 0OAOBOC ，所以O为ABC的重心， 所以 211121 ()()() 323333 OAABACABACABAB BCABBC . 故选:D. 【点睛】本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属 于基础题. 7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 tanabcCab，则角C的 值为() 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源
7、网 - 4 - A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 将已知等式整理后，利用余弦定理，以及同角三角函数间基本关系化简，求出sinC的值，即 可确定出C的度数 【详解】在ABC中，由已知等式整理得： 222 1 22tan abc abC ，即 cos cos 2sin C C C ， cos0C ， 1 sin 2 C， C为ABC内角， 6 C 或 5 6 ， 故选C 【点睛】本题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟 练掌握余弦定理是解本题的关键 8.在平面直角坐标系中，已知向量 1 1,2 ,3,1
8、,3 2 aabcx ，若2/ /abc ， 则 x() A. 2B. 4 C. 3D. 1 【答案】D 【解析】 分析： 利用向量的坐标运算， 结合 1 1,2 ,3,1 , 2 aab 求得b 的坐标， 进一步得到2a b 的坐标，再由向量共线的坐标表示列方程求x的值. 详解：由 1 1,2 ,3,1 2 aab ， 得 11 1,23,12,1 22 baab ， 则4,2b ， 22,44,22,6ab ，,3cx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 又2/ / ,660abcx ， 得1x ，故选 D. 点睛：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的
9、性质，要特别注意垂直与平行的区别， 若 1212 ,aa abb b ，则 121 2 0aba abb ， 1 22 1 / /0aba ba b . 9.已知是第四象限角，且 sin+cos= 1 5 ，则 tan 2 = A. 1 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平方关系解得 sin，cos，再根据半角公式得 tan 2 值. 【详解】因为 sin+cos= 1 5 ，所以 sincos= 12 25 ，因为是第四象限角，所以 sin = 3 5 ，cos= 4 5 ， 因此 tan 2 = 3 sin1 5 4 1 cos3 1 5
10、，选 B. 【点睛】三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 10.设函数 2 ( )sinsinf xxbxc，则 ( )f x的最小正周期 A. 与 b 有关，且与 c 有关 B. 与 b 有关，但与 c 无关 C. 与 b 无关，且与 c 无关 D. 与
11、 b 无关，但与 c 有关 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【解析】 试题分析： 2 1 cos2cos21 ( )sinsinsinsin 222 xx f xxbxcbxcbxc ， 其中当0b 时， cos21 ( ) 22 x f xc ，此时周期是；当0b 时，周期为2，而c不 影响周期故选 B 【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期 【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数 fx，再判断b和c的取值是否影 响函数 fx的最小正周期 11.已知函数( )()f x xR满足()2( )fxf x，若函数 1x y x 与( )yf
12、 x图像的交点 为 1122 ( ,),(,),(,), mm x yxyxy则 1 () m ii i xy （ ） A. 0B.mC.2mD.4m 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得,函数( )()f x xR和()2( )fxf x的图象都关于(0,1)对称,所以两 函 数 的 交 点 也 关 于(0,1)对 称 , 对 于 每 一 组 对 称 点( ,) ii x y和 (,) ii xy， 都 有 0,2 iiii xxyy.从而 1 ()2 2 m ii i m xym .故选 B. 考点：函数的性质. 【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的
13、易错点是不 明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个 函数的交点也是关于(0,1)对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从 奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度. 12.已知函数 ln,02, 4,24 xx f x fxx ，若方程 f xm有四个不等实根 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 12341234 ,x x x xxxxx，时，不等式 22 3412 11kx xxxk恒成立，则实数k的最 小值为（） A. 9 8 B. 25 16 C. 3 2 2 D. 1 3 2 【答案】C 【解
14、析】 【分析】 画出函数f（x） 02 424 lnxx fxx ， ， 的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1x21， x1+x2 12 2 x x 2， （4x3）（4x4）1，且x1+x2+x3+x48，则不等式kx3x4+x1 2+x 2 2k+11 恒成立，可化为：k 22 12 34 11 1 xx xx 恒成立，求出 22 12 34 11 1 xx xx 的最大值，可得k的范围， 进而得到实数k的最小值 【详解】函数f（x） 02 424 lnxx fxx ， ， 的图象如下图所示： 当方程f（x）m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时， |lnx1|
15、lnx2|，即x1x21，x1+x2 12 2 x x 2， |ln（4x3）|ln（4x4）|，即（4x3）（4x4）1， 且x1+x2+x3+x48， 若不等式kx3x4+x1 2+x 2 2k+11 恒成立， 则k 22 12 34 11 1 xx xx 恒成立， 由 2222 12 121212 343412 11 112131 14161644 xx xxx xxx xxxxxx （x1+x2） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 4 12 3 ()4xx 82 3 2 故k2 3 2 ， 故实数k的最小值为 2 3 2 ， 故选C 【点睛】本题考查的知识
16、点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数 恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题 二二. .填空题（每小题填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.设定义在R上的函数 ( )f x同时满足以下条件： ( )()0f xfx ； ( )(2)f xf x； 当01x时，( )21 x f x ，则 135 ( )(1)( )(2)( ) 222 fffff_. 【答案】 21 【解析】 【分析】 利用周期性和奇偶性，直接将 35 ( ),(2),( ) 22 fff的值转化到0,1x上的函数值，再利用解析 式计算，即可求出结果 【详解】依题意知：函数 (
17、 )f x为奇函数且周期为 2， 则(1)( 1)0ff，( 1)(1)ff，即(1)0f. 1351111 ( )(1)( )(2)( )( )()(0)( )( )(0)21 2222222 fffffffffff 【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值， 同时，考查了转化思想的应用 14.已知为第二象限角，则 2 2 1 cos1tansin1 tan _ 【答案】0 【解析】 本试题主要是考查了三角函数的同角关系的运算 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 因为为第二象限角，则 2 2 1 cos1tansin1 tan c
18、os1 sin1 10 secsin 故答案为 0 解决该试题的关键是理解 2 222 111 1tan,1 costansin ，进行化简 15.已知向量2 112ab ， ，.若9, 8manbm nR ，则m n 的值为 _. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量坐标运算得到 29 28 mn mn ，解得答案. 【 详 解 】 由 向 量2,1 ,1, 2ab ， 得2,29, 8manbmn mn ， 则 29 28 mn mn 解得 2 5 m n ，故3mn . 故答案为：3. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力. 16.已知a，b，c为ABC的内角A，
19、B，C所对的边，且30A，1a ，D为BC的中点， 则 2 |AD 的最大值为_. 【答案】 4 37 4 【解析】 【分析】 利用向量平行四边形法则、余弦定理、基本不等式的性质即可得出. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【详解】解：因为D为BC的中点， 所以 1 () 2 ADABAC , 所以 222 2 11 ()(2cos) 44 ADABACABACAB ACA 2222 131 (2)(3) 424 cbbccbbc 根据余弦定理知， 222 3 cos 22 cba A ， 又1a ，得 22 13bcbc ，故 22 3+1bcbc 由 22
20、3+12bcbcbc ，得 2+ 3bc ， 所以 2 11 (2 31)(4 37) 44 ADbc ，当且仅当bc时取等号 故答案为： 4 37 4 【点睛】此题考查了向量平行四边形法则、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题. 三三. .解答题（共解答题（共 7070 分）分） 17.在平面直角坐标系xoy中，已知向量 22 (,) 22 m ，(sin ,cos )nxx ，(0,) 2 x （1）若m n ，求tan x的值； （2）若m 与n 的夹角为 3 ，求x的值 【答案】 （1）tan1x （2） 5 12 【解析】 【分析】 （1）转化m n ，
21、为 0m n ，代入坐标计算即得解； （2）由题意cos, m n m n m n | ，代入可得 1 sin() 42 x ，结合角的范围计算即得解. 【详解】 （1）m n ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 0m n ， 故 22 sincos0 22 xx ， tan1x （2）m 与n 的夹角为 3 ， 22 sincos 1 22 cos, 1 12 xx m n m n m n | ， 故 1 sin() 42 x ， 又(0,) 2 x ，(,) 44 4 x ， 46 x ，即 5 12 x 故x的值为 5 12 【点睛】本题考查了向量与三角
22、函数综合，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能 力，属于中档题。 18.已知函数f(x)4cosxsina(0)图象上最高点的纵坐标为 2，且图象上 相邻两个最高点的距离为. (1)求a和的值； (2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间. 【答案】 （1）a1.1.（2）. 【解析】 【分析】 （1） 先由三角的两角和的正弦公式得到函数表达式， 再由最大值为当 sin2 x 6 1 时， f(x)取得最大值 21a3a，求出 a 即可，由图像得到 f(x)图象上相邻两个最高点的距 离 为 ， 进 而 得 到 周 期 和 1 ；（ 2 ） f(x)=sin2 x 6 , 根 据 由 2
23、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 2k2 x 6 3 2 2k，解出 x 的范围得到单调递减区间. 【详解】(1)f(x)4cosxsina 4cosxa 2sinxcos x2cos2x11a sin2xcos 2x1a 2sin1a. 当 sin1 时，f(x)取得最大值 21a3a. 又 f(x)最高点的纵坐标为 2，3a2，即 a1. 又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为， f(x)的最小正周期为 T， 22，1. (2)由(1)得 f(x)2sin， 由2k2x2k，kZ， 得kxk，kZ. 令 k0，得x. 函数 f(x)在0，上的单调递减区间为
24、. 【点睛】函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把 x看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内 函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本 质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想. 19.ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bcosC+c=2a （）求角 B 的大小； （）若 1 cos 7 A ，求 c a 的值 【答案】 （1） 3 （2） 5 8 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【解析】 试题分析：
25、（1）由于 2bcosC+c=2a，是关于边的一次齐次式，所以用正弦定理把边化为角，可 得到 1 cos 2 B ， 3 B （2）由（1）中 3 B 和 1 cos 7 A ，可知 A，B 角己知，同时根据 三角形内角为，也可以 sinC,所以 sin sin cC aA ，可解 试题解析： （）在ABC 中，2bcosC+c=2a， 由正弦定理，得 2sinBcosC+sinC=2sinA， A+B+C=， sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC， 2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC） ， sinC=2cosBsinC， 0C，si
26、nC0， 1 cos 2 B ， 0B， 3 B （）三角形 ABC 中， 1 ,cos 37 BA ， 4 3 sin 7 A ， 5 3 sinsin()sincoscossin 14 CABABAB ， sin5 sin8 cC aA 20.已知集合 2 |10,RAx axxx ，且|0Ax x ，求实数a的取值范围. 【答案】0|a a 【解析】 【分析】 先讨论a,当0a 时1A ,符合题意,当0a 时,求得一元二次方程 2 10axx 的判 别式，根据判别式为小于零、大于等于零分情况进行讨论，结合|0Ax x ,求得实 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14
27、 - 数a的取值范围. 【详解】当0a 时， 10,1|Ax xxR ， 此时|0Ax x ； 当0a 时， |0Ax x ， A或关于x的方程 2 10axx 的根均为负数. 当A时，关于x的方程 2 10axx 无实数根， 1 40a ，解得 1 4 a . 当关于x的方程 2 10axx 的根 1 x， 2 x均为负数时， 有 12 12 1 40 1 0 1 0 a xx a x x a ，解得 1 4 0 a a ，即 1 0 4 a. 综上所述，实数a的取值范围为0|a a . 【点睛】本题考查集合的关系求参数，解题的关键是对集合的理解，注意对空集的讨论，考 查分类讨论的数学思想方
28、法,，属于中档题. 21.如图,D是直角ABC斜边BC上一点, 3ACDC （）若 6 DAC p = =，求角B的大小； （）若2BDDC，且 2 3AD ，求DC的长 【答案】 （I）60B； （II）2. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【解析】 【分析】 （1）先根据正弦定理求得sin ADC，由此得到ADC的值，进而求得C，在直角三角形 ABC中求得B的大小.（2）设DCx，利用DC表示出,AB BD，求得sin ,cosBB的值， 利用余弦定理列方程，解方程求出x，也即求得DC的值. 【详解】 （1）在ADC中，根据正弦定理，有 sinsin AC
29、DC ADCDAC ， 3ACDC ， 3 sin3sin 2 ADCDAC ， 又 00 6060ADCBBADB ， 0 120ADC ， 于是 0000 1801203030C ， 0 60B . （2）设DCx，则2BDx，3BCx， 3ACx ， 于是 3 sin 3 AC B BC ， 6 cos 3 B ， 6ABx ， 在ABD中，由余弦定理，得 222 2cosADABBDAB BDB ， 即 2 222 6 2 3642622 3 xxxxx ， 6x ，故 6DC . 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程 的思想，属于基础题.
30、22.已知函数 2 2fxxax，1,2x . （1）当6a 时，求函数 fx的值域； （2）设04a，求函数 fx最小值 g a. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【答案】 （1） 1 7, 9 ； （2） 2 2,02 4 1,24 a a g a aa . 【解析】 【分析】 （1）写出此时分段函数的解析式，分类由二次函数性质求出两段函数的值域，取其并集即可； （2）取绝对值写出此时分段函数的解析式，分类讨论当01a，12a，24a时， 由二次函数性质得到其单调性，进而表示最值. 【详解】 （1）当6a 时， 2 62fxxx 2 2 2 2 1 623
31、11, 1 3 1 6237,2 3 xxxx xxxx . 当 1 1 3 x 时，单调递增，则 1 7, 9 f x ； 当 1 2 3 x时，单调递减，则 1 6, 9 f x ， 故函数 fx的值域为 1 7, 9 . （2） 2 2fxxax 2 2 2 2 2 2 2 22, 24 2 22, 24 aa xaxxx a aa xaxxx a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 当01a时， 2 2 a ， 1 0 22 a ， 此时当1,2x 时， 2 2f xxax在1, 2 a 上单调递减，在,2 2 a 上单调递增， 所以 2 2 24 a
32、a g af ； 当12a时， 2 2 a a ， 1 1 22 a ， fx在1, 2 a 上单调递减，在,2 2 a 上单调递增，所以 2 2 24 aa g af ； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 当24a时， 2 2 a a ，21 2 a 函数 fx在 2 1, a 上单调递增，在 2 , 2 a a 上单调递减，在,2 2 a 上单调递增， 所以 min1 , 2 a g aff ， 又因为 2 21 112240 244 aa ffaa ， 所以1 2 a ff ，故 11g afa . 综上所述， 2 2,02 4 1,24 a a g a aa . 【点睛】本题考查求分段函数的最值，还考查了在分段函数利用分类讨论其单调性进而求最 值，以及定区间动轴的分析，属于难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -
