1、第第 1 节节集集合合 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号NN*(或 N)ZQR 2.集合间的基本关系 (1)子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集.记作 AB(或 BA). (2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A， 那么集合 A 称为集合 B 的真子集.记作 AB(或 BA)
2、. (3)相等：若 AB，且 BA，则 AB. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的交集集合的并集集合的补集 符号表示ABAB 若全集为 U， 则集 合 A 的补集为UA 图形表示 集合表示x|xA， 且 xBx|xA， 或 xBx|xU，且 xA 4.集合的运算性质 (1)AAA，A，ABBA. (2)AAA，AA，ABBA. (3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A. 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，真子集有 2n1 个，非空子集 有 2n1 个，非空真子集有 2n2 个. 2.注意空集：空集是任何集合的
3、子集，是非空集合的真子集. 3.ABABAABBUAUB. 4. U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB). 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.() (2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21.() (3)若x2，10，1，则 x0，1.() (4)对于任意两个集合 A，B，(AB)(AB)恒成立.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)错误.空集只有一个子集. (2)错误.x|yx21R，y|yx211，)，(x，y)|yx21是抛物线 y x21 上的点集. (3)错误.当 x1 时，不满足集合中元素的互
4、异性. 2.(多选题)已知集合 Ax|x22x0，则有() A.AB.2A C.0，2AD.Ay|y3 答案ACD 解析易知 A0，2，A，C，D 均正确. 3.已知集合 A(x，y)|x2y21，B(x，y)|x，yR 且 yx，则 AB 中元 素的个数为_. 答案2 解析集合 A 表示以(0，0)为圆心，1 为半径的单位圆上的点的集合，集合 B 表 示直线 yx 上的点的集合， 圆 x2y21 与直线 yx 相交于两点， 则 AB 中有 两个元素. 4.(2021新高考 8 省联考)已知 M，N 均为 R 的子集，且RMN，则 M(RN)等 于() A.B.MC.ND.R 答案B 解析画
5、Venn 图即可，注意最后求并集. 5.(2020全国卷)设集合 Ax|x240，Bx|2xa0，且 ABx|2 x1，则 a() A.4B.2C.2D.4 答案B 解析Ax|2x2，B x|x a 2 . 由 ABx|2x1，知a 21，所以 a2. 6.(2021济南模拟)设全集 UR，Ax|y 2xx2，By|y2x，xR，则 (UA)B() A.x|x0B.x|0 x1 C.x|12 答案D 解析易知 Ax|0 x2，By|y0. UAx|x2，故(UA)Bx|x2. 考点一集合的基本概念 1.(2020全国卷)已知集合 A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8， 则 AB
6、 中元素的个数为() A.2B.3C.4D.6 答案C 解析AB(x，y)|xy8，x，yN*，且 yx(1，7)，(2，6)，(3，5)， (4，4). 2.(2021百校联盟联考)已知集合 A2a1，a2，0，B1a，a5，9，且 AB9，则 a() A.3，5B.3，5 C.3D.5 答案C 解析易知 a29 或 2a19，a3 或 a5. 当 a3 时，则 1aa52，不满足集合中元素的互异性，舍去. 当 a5 时，则 AB9，0，与题设条件 AB9矛盾，舍去. 当 a3 时，A7，9，0，B4，8，9，满足 AB9，故 a 3. 3.已知集合 A x|xZ，且 3 2xZ，则集合 A
7、 中的元素个数为() A.2B.3 C.4D.5 答案C 解析 3 2xZ，2x 的取值有3，1，1，3，又xZ，x 值分别为 5，3，1，1，故集合 A 中的元素个数为 4，故选 C. 4.设集合 Ax|(xa)21，且 2A，3A，则实数 a 的取值范围为_. 答案(1，2 解析由题意得 （2a）21， （3a）21，解得 1a3， a2 或 a4. 所以 12m1，即 m2.符合题意. 当 B时， m12m1， m11， 2m16. 解得 0m5 2. 得 m2 或 0m5 2. 感悟升华1.若 BA，应分 B和 B两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关
8、系转化为元素或区 间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn 图帮助分析 及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证， 否则易增解或漏解. 【训练 1】 (1)(多选题)已知集合 Mx|x21，Nx|ax1.若 NM，则实数 a 的值可能为() A.1B.0C.1D.2 (2)已知集合 Ax|log2(x1)1，Bx|xa|2，若 AB，则实数 a 的取值范 围为() A.(1，3)B.1，3 C.1，)D.(，3 答案(1)ABC(2)B 解析(1)集合 Mx|x211，1，Nx|ax1， 当 a0 时，N，NM 成立； 当 a0 时，N 1
9、a ， NM，1 a1 或 1 a1，解得 a1 或 a1. 综上，实数 a 的值可能为 1，1，0.故选 ABC. (2)由 log2(x1)1，得 0 x12，所以 A(1，3). 由|xa|2 得 a2xa2，所以 B(a2，a2). 因为 AB，所以 a21， a23，解得 1a3. 所以实数 a 的取值范围为1，3. 考点三集合的运算 角度 1集合的基本运算 【例 2】 (1)(2020天津卷)设全集 U3，2，1，0，1，2，3，集合 A 1，0，1，2，B3，0，2，3，则 A(UB)() A.3，3B.0，2 C.1，1D.3，2，1，1，3 (2)(多选题)(2020潍坊质检
10、)已知集合 Ax|1x3，集合 Bx|x|2，则 下列关系式正确的是() A.AB B.ABx|2x3 C.ARBx|x1 或 x2 D.ARBx|2x3 答案(1)C(2)BD 解析(1) UB2，1，1，A(UB)1，1. 故选 C. (2)Ax|1x3，Bx|x|2x|2x2， ABx|1x3x|2x2x|1x2，A 不正确； ABx|1x3x|2x2x|2x3，B 正确； RBx|x2 或 x2， ARBx|1x3x|x2 或 x2x|x2 或 x1，C 不正 确； ARBx|1x3x|x2 或 x2x|2x3，D 正确. 角度 2利用集合的运算求参数 【例 3】 (1)(2020日照
11、检测)已知集合 AxZ|x24x52m， 若 AB 中有三个元素，则实数 m 的取值范围是() A.3，6)B.1，2) C.2，4)D.(2，4 (2)已知集合 Ax|y 4x2，Bx|axa1，若 ABA，则实数 a 的 取值范围为() A.(，32，)B.1，2 C.2，1D.2，) 答案(1)C(2)C 解析(1)因为 x24x50， 解得1x5， 则集合 AxZ|x24x5 m 2 .又因为 AB 中有三个元素，所以 1m 2 2， 解之得 2m4.故实数 m 的取值范围是2，4). (2)集合 Ax|y 4x2x|2x2， 因 ABA，则 BA. 又 B，所以有 a2， a12，所
12、以2a1. 感悟升华1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究 其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用： (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还 是空心. 【训练 2】 (1)(多选题)(2021长沙调研)已知集合 M1，2，3，4，5，MN 4，5，则集合 N 可能为() A.1，2，3，4，5B.4，5，6 C.4，5D.3，4，5 (2)集合 Mx|2x2x10，UR.若 M(UN)，则 a 的 取值范围是() A.(1，)B.1，) C.(，1)D.(，1 答案(1
13、)BC(2)B 解析(1)由集合 M1，2，3，4，5，MN4，5，可得集合 N 必含有元 素 4 和 5，但不能含有 1，2，3，根据选项，可得集合 N 可能为4，5，6，4， 5.故选 BC. (2)易得 Mx|2x2x10 x| 1 2x0 x|x a 2 ， UN x|x a 2 . 由 M(UN)，则a 2 1 2，得 a1. 以集合为背景的创新问题 集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常 见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.解答这类问题，关键是理解新定义 的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的 数学公式、定理、性质
14、进行解答. 【例 1】对于任意两集合 A，B，定义 ABx|xA 且 xB，A*B(AB)(B A)，记 Ax|x0，Bx|3x3，则 A*B_. 答案x|3x3 解析Ax|x0，Bx|3x3， ABx|x3，BAx|3x0. A*Bx|3x3. 【例 2】若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食” ；若两个集 合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合 A 1，1 2，1，Bx|ax21，a0，若两个集合构成“全食”或“偏食” ，则 a 的值为_. 答案0 或 1 或 4 解析因为 Bx|ax21，a0，若 a0，则 B，满足 B 为 A 的真子集，此 时
15、A 与 B 构成“全食” ，若 a0，则 B x|x 21 a 1 a， 1 a . 若 A 与 B 构成“全食”或“偏食” ，则 1 a1 或 1 a 1 2，解得 a1 或 a4.综上 a 的值为 0 或 1 或 4. 【例 3】定义：设有限集合 Ax|xai，in，nN*，Sa1a2an1 an，则 S 叫做集合 A 的模，记作|A|.若集合 Px|x2n1，n5，nN*，集 合 P 含有四个元素的全体子集为 P1，P2，Pk，kN*，则|P1|P2|Pk| _. 答案100 解析集合 P1， 3， 5， 7， 9， 依题意， 集合 P 含有四个元素的全体子集为1， 3，5，7，1，3，
16、5，9，1，3，7，9，3，5，7，9，1，5，7，9，根据 “模”的定义，|P1|P2|Pk|(1357)(1359)(1379) (3579)(1579)4(13579)100. A 级基础巩固 一、选择题 1.已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7， 则 B(UA)() A.1，6B.1，7 C.6，7D.1，6，7 答案C 解析由题意知UA1，6，7.又 B2，3，6，7， B(UA)6，7. 2.(2020西安调研)设集合 Ax|3x1m，若 1A 且 2A，则实数 m 的取值范 围是() A.(2，5)B.2，5) C.(2，5D.2，5 答案C
17、 解析Ax|3x1m，1A 且 2A， 311m 且 321m，解得 2m5. 3.(2020浙江卷)已知集合 Px|1x4，Qx|2x3，则 PQ() A.x|1x2B.x|2x3 C.x|3x4D.x|1x4 答案B 解析由题意得 1x4， 2x3，可得 2x3， 即 PQx|2x3.故选 B. 4.(2021河南部分重点中学联考)已知集合 Ax|x0，Bx|x10，全集 UR，则 A(UB) () A.(，1)B.(2，1) C.(3，1)D.(3，) 答案A 解析由题意 Ax|x3.又 Bx|x1，知UBx|x1，A(UB) x|x1. 8.(2021广东重点中学联考)设集合 Ax|(
18、x2)(x3)0， Ba， 若 ABA， 则 a 的最大值为() A.2B.2C.3D.4 答案C 解析因为 Ax|(x2)(x3)0，所以 Ax|2x3. 又因为 Ba，且 ABA，所以 BA，所以 a 的最大值为 3. 二、填空题 9.(2020北京卷改编)已知集合 A1，0，1，2，Bx|0 x3，则 AB _. 答案1，2 解析A1，0，1，2，Bx|0 x3，AB1，2. 10.(2021长沙检测)设集合 Ax|y x3，Bx|1x9，则(RA)B _. 答案(1，3) 解析因为 Ax|y x3，所以 Ax|x3，所以RAx|x3. 又 Bx|1x9，所以(RA)B(1，3). 11
19、.已知集合 Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若 AB，则实数 c 的 取值范围是_. 答案1，) 解析由题意知，Ax|ylg(xx2)x|xx20(0，1)，Bx|x2cx0(0，c).由 AB，画出数轴，如图所示，得 c1. 12.若全集 UR，集合 Ax|x2x20，Bx|log3(2x)1，则 A(UB) _. 答案x|x1 或 x2 解析由题意，得集合 Ax|x2x20 x|x1 或 x2， 因为 log3(2x)1log33，所以 02x3， 解得1x2，所以 Bx|1x2， 从而UBx|x1 或 x2， 故 A(UB)x|x 1 16，B x| 5 x31， 则下列关系正确的是() A.ABRB.ABA C.( RA)(RB)D.( RA)BR 答案C 解析易知 Ax|x4，Bx|2x3，BA，则(RA)(RB). 15.设P和Q是两个集合， 定义集合PQx|xP， 且xQ， 如果Px|12x4， Qy|y2sin x，xR，那么 PQ_. 答案(0，1) 解析由题意得 Px|0 x2，Qy|1y3， PQx|0 x1. 16.已知集合 AxR|x2|3，集合 BxR|(xm)(x2)0，且 AB (1，n)，则 m_，n_. 答案11 解析AxR|x2|3xR|5x1， 由 AB(1，n)，可知 m1， 则 Bx|mx2，画出数轴，可得 m1，n1.
