1、第第 1 节节空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理 1.平面的基本事实与推论 (1)平面的基本事实(也称为公理) 基本事实 1：经过不在一条直线上的 3 个点，有且只有一个平面.也可简单说成： 不共线的 3 点确定一个平面. 基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面 内. 基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线. (2)平面的基本事实的推论 推论 1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3：经过两条平行直线，有且只
2、有一个平面. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平行 关系 图形 语言 符号 语言 abl 相交 关系 图形 语言 符号 语言 abAmAl 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a，b 是异面直线l 3.平行直线的传递性、等角定理 (1)平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行，用符号可表示 为：如果 ab，ac，则 bc. (2)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相 同，那么这两个角相等. 4.直线与直线所成的角 (1)一般地，如果 a，b 是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与 a，b 平行或重合的直
3、线 a，b，则 a，b所成角的大小，称为异面直线 a 与 b 所 成角的大小. (2)范围： 0， 2 . 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于过 A 点的任意一条直线.() (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.() (4)若直线 a 不平行于平面，且 a，则内的所有直线与 a 异面.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重
4、合，故错误. (4)由于 a 不平行于平面，且 a，则 a 与平面相交，故平面内有与 a 相交的 直线，故错误. 2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为() A.30B.45 C.60D.90 答案C 解析连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 或其补角为所求的角.又 B1D1 B1CD1C，D1B1C60. 3.如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB， BC，CD，DA 的中点，则 (1)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形； (2)当 AC
5、，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为正方形. 答案(1)ACBD(2)ACBD 且 ACBD 解析(1)四边形 EFGH 为菱形， EFEH，EF 綊 1 2AC，EH 綊 1 2BD，ACBD. (2)四边形 EFGH 为正方形， EFEH 且 EFEH， EF 綊 1 2AC，EH 綊 1 2BD， ACBD 且 ACBD. 4(多选题)(2020长沙质检)是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m ，n，且 Am，A，则 m，n 的位置关系可能是() A垂直B相交C异面D平行 答案ABC 解析依题意，mA，n， m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.
6、 5.(2021日照质检)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l 是平 面与平面的交线，则下列命题正确的是() A.l 与 l1，l2都不相交 B.l 与 l1，l2都相交 C.l 至多与 l1，l2中的一条相交 D.l 至少与 l1，l2中的一条相交 答案D 解析由于 l 与直线 l1，l2分别共面，故直线 l 与 l1，l2要么都不相交，要么至少 与 l1，l2中的一条相交.若 ll1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线矛盾.故 l 至少与 l1，l2中的一条相交. 6.(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则
7、异面直 线 AE 与 CD 所成角的正切值为() A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 答案C 解析如图，连接 BE，因为 ABCD，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角， 即EAB.不妨 设正方体的棱长为 2，则 CE1，BC2，由勾股定理得 BE 5.又由AB平面BCC1B1可得ABBE， 所以tanEABBE AB 5 2 . 考点一平面的基本性质及应用 1.(多选题)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个 点共面的图是() 答案ABC 解析对于 A，PSQR，故 P，Q，R，S 四点共面；同理，B，C
8、 图中四点也共 面；D 中四点不共面. 2.如图所示， 平面平面l， A， B， ABlD， C， Cl，则平面 ABC 与平面的交线是() A.直线 ACB.直线 AB C.直线 CDD.直线 BC 答案C 解析由题意知，Dl，l，所以 D， 又因为 DAB，所以 D平面 ABC， 所以点 D 在平面 ABC 与平面的交线上. 又因为 C平面 ABC，C， 所以点 C 在平面与平面 ABC 的交线上， 所以平面 ABC平面CD. 3.在三棱锥 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EFHGP，则点 P() A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC
9、 上 C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上 答案B 解析如图所示， 因为 EF平面 ABC， HG平面 ACD，EFHGP， 所以 P平面 ABC，P平面 ACD. 又因为平面 ABC平面 ACDAC，所以 PAC. 感悟升华1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分 为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这 条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的
10、交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经 过该点. 考点二空间两直线的位置关系 【例 1】 (1)(多选题)(2021广州六校联考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的 中点，下列结论正确的是() A.AP 与 CM 是异面直线 B.AP，CM，DD1相交于一点 C.MNBD1 D.MN平面 BB1D1D (2)(2019全国卷)如图， 点 N 为正方形 ABCD 的中心， ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点， 则() A.BMEN，且直线 BM，EN 是相交
11、直线 B.BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 C.BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 D.BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 答案(1)BD(2)B 解析(1)连接 MP，AC(图略)，因为 MPAC，MPAC，所以 AP 与 CM 是相 交直线， 又面 A1ADD1面 C1CDD1DD1， 所以 AP，CM，DD1相交于一点，则 A 不正确，B 正确. 令 ACBDO，连接 OD1，ON. 因为 M，N 分别是 C1D1，BC 的中点， 所以 OND1MCD，OND1M1 2CD， 则四边形 MNOD1为平行四边形，所以 MNOD1， 因为 MN平面 BD1D，OD1平面
12、BD1D， 所以 MN平面 BD1D，C 不正确，D 正确. (2)取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD， 又平面 ECD平面 ABCD，平面 ECD平面 ABCDCD，EO平面 ECD， 所以 EO平面 ABCD. 设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24， 得 EN2. 过 M 作 CD 的垂线，交 CD 于点 P，连接 BP，则 MP 3 2 ，CP3 2， 所以 BM2MP2BP2 3 2 2 3 2 2 227， 得 BM 7， 所以 BMEN.连接 BD， BE， 因为四边形 ABCD 为正方形，所
13、以 N 为 BD 的中点， 即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线，故选 B. 感悟升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异 面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位 线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用 线面垂直或面面垂直的性质来解决. 【训练 1】 (1)(2020河南名校联考)已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 垂直， l 与 n 垂直，则() A.m 与 n 异面 B.m 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 平行、相交、异面均有可能 (
14、2)(多选题)(2021重庆质检)四棱锥 PABCD 的所有棱长都相等，M，N 分别为 PA，CD 的中点，下列说法正确的是() A.MN 与 PD 是异面直线B.MN平面 PBC C.MNACD.MNPB 答案(1)D(2)ABD 解析(1)因为 ml，nl，结合长方体模型可知 m 与 n 可以相交，也可以异面， 还可以平行. (2)如图所示，取 PB 的中点 H，连接 MH，HC， 由题意知，四边形 MHCN 为平行四边形，且 MNHC，所以 MN平面 PBC，设四边形 MHCN 确定平面，又 D，故 M，N，D 共面，但 P平面，DMN，因此 MN 与 PD 是异 面直线；故 A，B 说
15、法均正确. 若 MNAC，由于 CHMN，则 CHAC， 事实上 ACCHC，C 说法不正确； 因为 PCBC，H 为 PB 的中点，所以 CHPB，又 CHMN，所以 MNPB， D 说法正确. 考点三异面直线所成的角 【例 2】 (1)(经典母题)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3， 则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为() A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 (2)(2021衡水检测)如图，在圆锥 SO 中，AB，CD 为底面圆的 两条直径，ABCDO，且 ABCD，SOOB3，SE1 4SB， 则异面直线 SC 与 OE 所成角的正切
16、值为() A. 22 2 B. 5 3 C.13 16 D. 11 3 答案(1)C(2)D 解析(1)法一如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM.易知 O 为 BD1的中点，所以 AD1OM，则 MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角或其补角.因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3， AD1 AD2DD212， DMAD2 1 2AB 2 5 2 ， DB1 AB2AD2DD21 5. 所以 OM1 2AD 11，OD1 2DB 1 5 2 ， 于是在DMO 中，由余弦定理， 得 cosMOD 12 5 2 2 5 2 2
17、21 5 2 5 5 . 故异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 法二以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知 D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0， 3)，B1(1，1， 3)，所 以AD1 (1，0， 3)，DB1 (1，1， 3).则 cosAD1 ， DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 2 2 5 5 5 ，故异面直线 AD1与 DB1所成角的余 弦值为 5 5 . (2)如图， 过点 S作 SFOE， 交AB 于点F， 连接CF， 则CSF(或 其补角)为异面直线 S
18、C 与 OE 所成的角. SE1 4SB，SE 1 3BE. 又 OB3，OF1 3OB1. SOOC，SOOC3，SC3 2. SOOF，SF SO2OF2 10. OCOF，CF 10. 在等腰SCF 中， tanCSF （ 10）2 3 2 2 2 3 2 2 11 3 . 【迁移 1】若将例 2 中(1)条件“AA1 3”变为“AA12”，其它条件不变，则 异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为_. 答案 4 5 解析连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1(或其补角)为异面 直线 A1B 与 AD1所成的角. 连接 A1C1，由 AB1，AA12， 易得 A1C1 2，A
19、1BBC1 5， cosA1BC1A1B 2BC2 1A1C21 2A1BBC1 4 5. 故异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为4 5. 【迁移 2】若将例 2 中(1)题条件“AA1 3”变为“异面直线 A1B 与 AD1所成角 的余弦值为 9 10”.试求 AA 1的值. 解设 AA1t，ABBC1， A1C1 2，A1BBC1 t21. cosA1BC1A1B 2BC2 1A1C21 2A1BBC1 t21t212 2 t21 t21 9 10. 解之得 t3，则 AA13. 感悟升华1.综合法求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线. (2)证：证明所作角
20、为异面直线所成的角(或其补角). (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求 的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 2.向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值. 【训练 2】 平面过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平 面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 答案A 解析如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCDm1， 平面 CB1D1，则 m1m， 又平面 ABCD平面 A1B1C1D1， 平面 CB1D1平面 A1B1C1D1 B1D
21、1，B1D1m1， B1D1m，同理可得 CD1n. 故 m，n 所成角的大小与 B1D1，CD1所成角的大小相等， 即CD1B1的大小. 又B1CB1D1CD1(均为面对角线)， CD1B1 3， 得 sin CD1B1 3 2 ，故选 A. 立体几何中的截面问题 立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较 强，培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养. 【典例】(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成 的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为() A.3 3 4 B.2 3 3 C.3 2 4 D. 3 2 答案A 解析如图，依题
22、意，平面与棱 BA，BC，BB1所在直线所 成角都相等， 容易得到平面 AB1C 符合题意， 进而所有平行于 平面 AB1C 的平面均符合题意. 由对称性，知过正方体 ABCDA1B1C1D1中心的截面面积应 取最大值，此时截面为正六边形 EFGHIJ. 易知正六边形 EFGHIJ 的边长为 2 2 ，将该正六边形分成 6 个边长为 2 2 的正三角 形. 故其面积为 6 3 4 2 2 2 3 3 4 . 思维升华作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面 的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理. 【训练】(2021长沙检测)我国古代的数学著作九章算术商功
23、 中， 将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的 “堑堵”ABCA1B1C1中，ABACAA12，M、N 分别是 BB1 和 A1C1的中点，则平面 AMN 截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面 图形的面积为() A.2 21 3 B.4 21 3 C.2 7 3 D.4 7 3 答案A 解析延长 AN，与 CC1的延长线交于点 P，则 P平面 BB1C1C， 连接 PM，与 B1C1交于点 E，连接 NE，得到的四边形 AMEN 是 平面 AMN 截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形， 由题意解三角形可得 NEME 17 3 ，AMAN 5，MN 6. AMN 中 MN 边
24、上的高 h1（ 5）2 6 2 2 14 2 ，EMN 中 MN 边上的 高 h2 17 3 2 6 2 2 14 6 . AMN 截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形的面积 SSAMNSEMN 1 2MN(h 1h2) 1 2 6 14 2 14 62 21 3 . A 级基础巩固 一、选择题 1.(多选题)(2021重庆一中月考)下列说法正确的是() A.梯形的四个顶点共面 B.三条平行直线共面 C.有三个公共点的两个平面重合 D.三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面 答案AD 解析因为梯形的两个底边相互平行，所以其四个顶点共面，故 A 正确； 例如三棱柱的三条平行棱不共面
25、，故 B 错误； C 中的两个平面重合或相交，故 C 错误； 三条直线交于同一点时，可确定 3 个平面，三条直线不交于同一点时，只能确定 一个平面，D 正确. 2.如图，已知三棱柱 ABCABC的底面是正三角形，侧 棱 AA底面 ABC， AB9， AA3， 点 P 在四边形 ABBA 内，且 P 到 AA，AB的距离都等于 1，若 D 为 BC 上靠 近 C 的四等分点，过点 P 且与 AD 平行的直线交三棱柱 ABCABC于点 P，Q 两点，则点 Q 所在平面是() A.ACCAB.BCCB C.ABCD.ABBA 答案C 解析如下图所示，连接 AP 并延长交直线 AB 于点 M， 由于点
26、 P 在四边形 AABB 内，且点 P 到 AA，AB的距离都等于 1，可知AAM 45， 则AAM 为等腰直角三角形，且 AMAA3AB，所以，点 M 在线段 AB 上. 连接 DM，由于点 P 在线段 AM 上，过点 P 作 PQAD 交 DM 于点 Q，则点 Q 即为所求，且点 Q 在线段 DM 上，因此，点 Q 在平面 ABC 内.故选 C. 3.a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A.若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B.若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C.若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等 D.若 ab，
27、bc，则 ac 答案C 解析若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 相交、平行或异面；若 a，b 相交， b，c 相交，则 a，c 相交、平行或异面；若 ab，bc，则 a，c 相交、平行或 异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确. 4.(2021湖北重点高中联考)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角 三角形，且斜边 BC2，D 是 BC 的中点，若 AA1 2，则异面直线 A1C 与 AD 所成的角为() A.30B.45C.60D.90 答案C 解析如图，取 B1C1的中点 D1，连接 A1D1，则 ADA1D1， 所以异面直线 A1C 与 AD 所成的角
28、就是 A1C 与 A1D1所成的 角，即CA1D1(或其补角).连接 D1C. 易得A1D1C 为直角三角形， 在 RtA1D1C 中，A1D11，A1C2，CD1 3， CA1D160. 5.(多选题)下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱) 的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有() 答案BD 解析图 A 中，直线 GHMN； 图 B 中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，NGH，因此直线 GH 与 MN 异 面； 图 C 中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面； 图 D 中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，G
29、MN， 因此 GH 与 MN 异面. 6.在各棱长均相等的四面体 ABCD 中，已知 M 是棱 AD 的中点，则异面直线 BM 与 AC 所成角的余弦值为() A. 2 3 B. 2 5 C. 3 6 D. 2 6 答案C 解析设四面体 ABCD 的棱长为 2，取 CD 的中点 N，连接 MN， BN， M 是棱 AD 的中点， MNAC， BMN(或其补角)是异面直线 BM 与 AC 所成的角. BMBN 2212 3， MN1 2AC1， 在BMN 中，cosBMNBM 2MN2BN2 2BMMN 313 2 31 3 6 ， 异面直线 BM 与 AC 所成角的余弦值为 3 6 . 二、填
30、空题 7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 ABCD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_. 答案4 解析因为 ABCD，由图可以看出 EF 平行于正方体左右两个侧面，与另外四 个侧面相交. 8.如图， 已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为_. 答案2 解析取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD， 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， 所以 ADBC， 所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 B
31、C 所成角. 因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D圆柱下底面， 所以 C1DAD， 因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D 2AD， 所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 2， 所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2. 9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE， BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_. 答案 解析还原成正四面体 ADEF，其中 H 与 N 重合，A，B，C 三
32、点重合. 易知 GH 与 EF 异面，BD 与 MN 异面. 又GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角， 易证 DEAF，MNAF，MNDE. 因此正确的序号是. 三、解答题 10.在正方体 ABCDA1B1C1D1中， (1)求异面直线 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求异面直线 A1C1与 EF 所成角的大小. 解(1)如图，连接 B1C，AB1，由 ABCDA1B1C1D1是正方体， 易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是异面直线 AC 与 A1D 所成的角. 在AB1C 中，AB1ACB1C， 所以B1CA6
33、0. 故异面直线 A1D 与 AC 所成的角为 60. (2)连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EFBD，所以 EFAC. 所以 EFA1C1. 故异面直线 A1C1与 EF 所成的角为 90. 11.(2020全国卷)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E， F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DEED1，BF2FB1.证明： (1)当 ABBC 时，EFAC； (2)点 C1在平面 AEF 内. 证明(1)如图，连接 BD，B1D1.因为 ABBC， 所以四边形 ABCD 为正方形，故
34、 ACBD.又因为 BB1平面 ABCD，于是 ACBB1. 又 BDBB1B，所以 AC平面 BB1D1D. 由于 EF平面 BB1D1D， 所以 EFAC. (2)如图，在棱 AA1上取点 G，使得 AG2GA1，连接 GD1，FC1，FG. 因为 ED12 3DD 1，AG2 3AA 1，DD1綊 AA1，所以 ED1綊 AG，于是四边形 ED1GA 为平行四边形，故 AEGD1. 因为 B1F1 3BB 1，A1G1 3AA 1，BB1綊 AA1，所以 B1FGA1是平行四边形，所以 FG 綊 A1B1，所以 FG 綊 C1D1，四边形 FGD1C1为平行四边形，故 GD1FC1. 于
35、是 AEFC1.所以 A，E，F，C1四点共面，即点 C1在平面 AEF 内. B 级能力提升 12.(2021潍坊质检)如图， 已知二面角 ABDC 的大小为 3， G，H 分别是 BC，CD 的中点，E，F 分别在 AD，AB 上，AE AD AF AB 1 3，且 AC平面 BCD，则以下说法正确的是( ) A.E，F，G，H 四点共面 B.FG平面 ADC C.若直线 FG，HE 交于点 P，则 P，A，C 三点共线 D.若ABD 的面积为 6，则BCD 的面积为 3 答案ACD 解析由AE AD AF AB 1 3知 EF 綊 1 3BD. 又 GH 綊 1 2BD，EFGH， 因此
36、 E，F，G，H 共面，A 项正确； 假设 FG平面 ADC 成立，因为平面 ABC平面 DACAC， 所以 FGAC，又 G 是 BC 的中点，所以 F 是 AB 的中点，与AF AB 1 3矛盾，B 项 不正确； 因为 FG平面 ABC，PFG，所以 P平面 ABC，同理 P平面 ADC， 因为平面 ABC平面 ADCAC，所以 PAC，所以 P，A，C 三点共线，因此 C 正确； 易知 SBCDcos 3 SABD1 263，D 正确. 13.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是底面 ABCD 的中心，过 O 点作一条直 线 l 与 A1D 平行，设直线 l 与直线 OC1的
37、夹角为，则 cos _. 答案 3 6 解析如图所示，设正方体的表面 ABB1A1的中心为 P，容易 证明 OPA1D，所以直线 l 即为直线 OP，角即POC1. 设正方体的棱长为 2，则 OP1 2A 1D 2，OC1 6，PC1 6， 则 cosPOC1 266 2 2 6 1 2 3 3 6 . 14.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值. 解(1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4， 所以四棱锥 OABCD 的体积 V1 342 8 3. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE，又 M 为 OA 中点，MEOC， 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角， 由已知可 得 DE 2，EM 3，MD 5， ( 2)2( 3)2( 5)2，即 DE2EM2MD2， DEM 为直角三角形，且DEM90， tanEMDDE EM 2 3 6 3 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 3 .
