1、第第 1 节节平面向量及平面向量及其其线性运算线性运算 知识梳理 1.向量的有关概念 (1)向量：我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称 为向量的模(或长度). (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量. (3)单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量. (4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向 量平行.通常规定零向量与任意向量平行. (5)相等向量：大小相等、方向相同的向量. (6)相反向量：大小相等、方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的 运算 (1)交换律： abb
2、a. (2)结合律：(ab) ca(bc) 减法 减去一个向量相 当于加上这个向 量的相反向量 aba(b) 数乘 求实数与向量 a 的积的运算 (1)当0 且 a0 时，a 的模为 当0 时， 与 a 的方向相 同； 当0 时， 与 a 的方向相 反. (2)当0 或 a0 时，a 0. (a)()a； ()aaa； (ab)ab 3.共线向量定理 如果存在实数，使得 ba(a0)，则 ba. 4.向量模的不等式 向量 a，b 的模与 ab 的模之间满足不等式 |a|b|ab|a|b|. 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一 个向量终点的向量，即A1A2 A2
3、A3 A3A4 An-1An A1An ，特别地，一个 封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.中点公式的向量形式： 若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点， 则OP 1 2(OA OB ). 3.OA OB OC (，为实数)，若点 A，B，C 共线，则1. 4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考 虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关.() (2)若 ab，bc，则 ac.() (3)向量AB 与向量
4、CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.() (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(2)若 b0，则 a 与 c 不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D 四点不一定在 一条直线上. 2.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向 量，则 ab；向量AB 与BA相等.则所有正确命题的序号是( ) A.B.C. D. 答案A 解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模 相等， 但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等， 故错
5、误；向量AB 与BA 互为相反向量，故错误. 3.设 M 为ABC 所在平面内一点，且BC 3CM ，则() A.AM 1 3AB 4 3AC B.AM 1 3AB 4 3AC C.AM 4 3AB 1 3AC D.AM 4 3AB 1 3AC 答案A 解析由BC 3CM ，得CM 1 3BC ， 所以AM AC CM AC 1 3BC AC 1 3(BA AC)1 3AB 4 3AC . 4.(多选题)(2021济宁月考)下列说法正确的是() A.非零向量 a 与 b 同向是 ab 的必要不充分条件 B.若AB 与BC共线，则 A，B，C 三点在同一条直线上 C.a 与 b 是非零向量，若
6、a 与 b 同向，则 a 与b 反向 D.设，为实数，若ab，则 a 与 b 共线 答案ABC 解析根据向量的有关概念可知 ABC 正确，对于 D，当0 时，a 与 b 不一 定共线，故 D 错误. 5.(2021长沙调研)已知点 O 为ABC 的外接圆的圆心，且OA OB CO 0，则 ABC 的内角 A 等于() A.30B.45C.60D.90 答案A 解析由OA OB CO 0，得OA OB OC ， 又 O 为ABC 的外接圆的圆心， 根据加法的几何意义，四边形 OACB 为菱形，且CAO60，因此CAB30. 6.(2020武汉质检)设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab
7、与(b2a)共线， 则_. 答案1 2 解析由已知 2ab0，依题意知向量 ab 与 2ab 共线，设 abk(2a b)，则有(12k)a(k)b0，因为 a，b 是两个不共线向量，故 a 与 b 均不为 零向量，所以 12k0， k0， 解得 k1 2， 1 2. 考点一平面向量的概念 1.(多选题)(2021临沂调研)下列命题中的真命题是() A.若|a|b|，则 ab B.若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行四 边形”的充要条件 C.若 ab，bc，则 ac D.ab 的充要条件是|a|b|且 ab 答案BC 解析A 不正确.两个向量的长度
8、相等，但它们的方向不一定相同. B 正确.AB DC ，|AB |DC |且AB DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB | |DC |， AB DC 且AB ，DC 方向相同，因此AB DC . C 正确.ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且 方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. D 不正确.当 ab 且方向相反时， 即使|a|b|， 也不能得到 ab， 故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件.故选 BC. 2.设 a，b 都是非零向量
9、，下列四个条件，使 a |a| b |b|成立的充要条件是( ) A.abB.a2b C.ab 且|a|b|D.ab 且方向相同 答案D 解析 a |a|表示 a 方向的单位向量，因此 a |a| b |b|的充要条件是 a 与 b 同向. 3.如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E， F 分别在两腰 AD，BC 上，EF 过点 P，且 EFAB，则下列等 式中成立的是() A.AD BC B.AC BD C.PE PF D.EP PF 答案D 解析根据相等向量的定义， 分析可得AD 与BC 不平行， AC与BD 不平行， 所以AD BC ，ACBD 均错误，
10、PE 与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF方向 相同，且大小都等于线段 EF 长度的一半，所以EP PF. 感悟升华1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平 行向量，而平行向量未必是相等向量. 2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可 以比较大小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等. 3.(1)单位向量的特征是长度都是 1 个单位. (2)零向量的特征是长度是 0，并规定零向量与任何向量平行. 考点二向量的线性运算 角度 1平面向量的加、减运算的几何意义 【例 1】已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下
11、列结论正确的是() A.abB.ab C.|a|b|D.abab 答案B 解析由已知 a，b 不共线，在ABCD 中，设AB a，AD b，由|ab|ab|， 知|AC |DB |，从而ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 角度 2向量的线性运算 【例 2】(2021重庆诊断)如图，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 为半圆弧的两个三等分点，则AB ( ) A.AC AD B.2AC 2AD C.AD AC D.2AD 2AC 答案D 解析连接 CD，C，D 是半圆弧的三等分点， CDAB，且 AB2CD， 因此AB 2CD 2(AD AC )2AD 2AC . 角度 3利用向量的线性运
12、算求参数 【例 3】 (2021长春调研)在ABC 中， 延长 BC 至点 M 使得 BC2CM， 连接 AM， 点 N 为 AM 上一点且AN 1 3AM ，若AN ABAC，则( ) A.1 3 B.1 2 C.1 2 D.1 3 答案A 解析由题意，知AN 1 3AM 1 3(AB BM )1 3AB 1 3 3 2BC 1 3AB 1 2(AC AB) 1 6AB 1 2AC ， 又AN ABAC， 所以1 6， 1 2，则 1 3. 感悟升华1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相 等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)在求向量时要尽可能转化到
13、平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、 三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质， 把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角 形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 【训练 1】 (1)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB () A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC (2)(2020济南质检)在正六边形 ABCDEF 中，对角线 BD，CF 相交于点 P.若A
14、P xAB yAF，则 xy( ) A.2B.5 2 C.3D.7 2 (3)(多选题)(2021襄阳质检)设点 M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确 的是() A.若AM 1 2AB 1 2AC ，则点 M 是边 BC 的中点 B.若AM 2AB AC，则点 M 在边 BC 的延长线上 C.若AM BM CM ，则点 M 是ABC 的重心 D.若AM xAB yAC，且 xy1 2，则MBC 的面积是ABC 面积的 1 2 答案(1)A(2)B(3)ACD 解析(1)E 是 AD 的中点，EA 1 2AD ， EB EAAB1 2AD AB ， 又知 D 是 BC 的中点， AD 1
15、 2(AB AC)， 因此EB 1 4(AB AC)AB3 4AB 1 4AC . (2)如图， 记正六边形 ABCDEF 的中心为点 O， 连接 OB， OD， 易证四边形 OBCD 为菱形，且 P 恰为其中心， 于是FP 3 2FO 3 2AB ， 因此AP AFFP3 2AB AF， 因为AP xAByAF， 所以 x3 2且 y1，故 xy 5 2. (3)若AM 1 2AB 1 2AC ，则点 M 是边 BC 的中点，故 A 正确； 若AM 2AB AC，即有AM AB ABAC，即BM CB ， 则点 M 在边 CB 的延长线上，故 B 错误； 若AM BM CM ， 即AM BM
16、 CM 0， 则点 M 是ABC 的重心，故 C 正确； 如图，AM xAB yAC， 且 xy1 2， 设AN 2AM ，所以AN 2xAB2yAC，2x2y1，可知 B，N，C 三点共线， 则 M 为 AN 的中点， 则MBC 的面积是ABC 面积的1 2，故 D 正确.故选 ACD. 考点三共线定理及其应用 【例 4】 (1)设 e1与 e2是两个不共线向量，AB 3e12e2，CB ke1e2，CD 3e12ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为_. (2)(2021合肥模拟)在平行四边形 ABCD 中， 若DE EC ， AE 交 BD 于 F， 则AF () A.2 3A
17、B 1 3AD B.2 3AB 1 3AD C.1 3AB 2 3AD D.1 3AB 2 3AD 答案(1)9 4 (2)D 解析(1)因为 A，B，D 三点共线，所以必存在一个实数，使得AB BD . 又AB 3e12e2，CBke1e2，CD 3e12ke2， 所以BD CD CB 3e12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2， 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 又 e1与 e2不共线，所以 3（3k） ， 2（2k1） ， 解得 k9 4. (2)如图所示，DE EC ， E 为 CD 中点， 设AF AE AB BC1 2CD AB AD 1 2AB 2AB
18、 AD . 又点 B，F，D 共线， 21，解得 2 3. 故AF 1 3AB 2 3AD . 感悟升华1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立. 【训练 2】 (1)已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，ACab，R， 则 A，B，C 三点共线的充要条件为() A.2B.1 C.1D.1 (2)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OA xOB BC 0 成立的实数 x 的取值集合为_
19、. 答案(1)D(2)1 解析(1)因为 A，B，C 三点共线，所以AB AC，设ABmAC(m0)，则ab m(ab)，由于 a 与 b 不共线，所以 m， 1m，所以1. (2)因为BC OC OB ， 所以 x2OA xOB OC OB 0， 即OC x2OA (x1)OB ，因为 A，B，C 三点共线， 所以x2(x1)1，即 x2x0， 解得 x0 或 x1. 当 x0 时，x2OA xOB BC 0，此时 B，C 两点重合， 不合题意，舍去.故 x1. A 级基础巩固 一、选择题 1.(多选题)下列选项中的式子，结果为零向量的是() A.AB BCCA B.AB MB BO OM
20、C.OA OB BO CO D.AB ACBD CD 答案AD 解析利用向量运算，易知 A，D 中的式子结果为零向量. 2.已知AB a5b，BC3a6b，CD 4ab，则() A.A，B，D 三点共线B.A，B，C 三点共线 C.B，C，D 三点共线D.A，C，D 三点共线 答案A 解析由题意得BD BC CD a5bAB ，又BD 、AB 有公共点 B，所以 A，B， D 三点共线.故选 A. 3.设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是() A.a 与a 的方向相反B.a 与2a 的方向相同 C.|a|a|D.|a|a 答案B 解析当0 时， a 与a 的方向相同， A 错，
21、a 与2a 的方向相同， B 正确； 当|1 时，|a|a|，C 错；|a|a|，D 错，故选 B. 4.在ABC 中，G 为重心，记AB a，ACb，则CG () A.1 3a 2 3b B.1 3a 2 3b C.2 3a 1 3b D.2 3a 1 3b 答案A 解析因为 G 为ABC 的重心， 所以AG 1 3(AB AC)1 3a 1 3b， 所以CG CA AG b1 3a 1 3b 1 3a 2 3b. 5.(2020衡水调研)如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中 点，F 为 AE 的中点，则DF () A.1 2AB 3 4AD B.1 2AB 2 3AD C.
22、1 3AB 1 2AD D.1 2AB 3 4AD 答案D 解析DF AF AD ，AE ABBE. E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点， AF 1 2AE ，BE1 2BC ， DF AF AD 1 2AE AD 1 2(AB BE)AD 1 2AB 1 4BC AD ， 又BC AD ，DF 1 2AB 3 4AD . 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为 DE 的中点，若AF xAB3 4AD ，则 x() A.3 4 B.2 3 C.1 2 D.1 4 答案C 解析连接 AE，因为 F 为 DE 的中点，所以AF 1 2(AD AE )， 而AE
23、ABBEAB1 2BC AB1 2AD ， 所以AF 1 2(AD AE )1 2 AD AB 1 2AD 1 2AB 3 4AD ， 又AF xAB3 4AD ，所以 x1 2. 7.如图所示，设 O 是ABC 内部一点，且OA OC 2OB ， 则ABC 与AOC 的面积之比为() A.41B.21 C.32D.43 答案B 解析取 AC 的中点 D，连接 OD， 则OA OC 2OD ， 所以OB OD ， 所以 O 是 AC 边上的中线 BD 的中点， 所以 SABC2SOAC， 所以ABC 与AOC 面积之比为 21. 8.在ABC 中， 点 D 在线段 BC 的延长线上， 且BC
24、3CD ， 点 O 在线段 CD 上(与 点 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC，则 x 的取值范围是( ) A. 0，1 2B. 0，1 3C. 1 2，0D. 1 3，0 答案D 解析设CO yBC ，因为AO AC CO AC yBC AC y(ACAB)yAB(1y)AC. 因为BC 3CD ，CO 3yCD ，03y1， 点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)， 所以 y 0，1 3 ，因为AO xAB (1x)AC， 所以 xy，所以 x 1 3，0. 二、填空题 9.设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 答案 1 2 解析向量 a，
25、b 不平行，a2b0，又向量ab 与 a2b 平行，则存在 唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得 ， 12，解得 1 2. 10.已知 S 是ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若BD xAB yACzAS， 则 xyz_. 答案0 解析依题意得BD AD AB 1 2(AS AC)ABAB1 2AC 1 2AS ，因此 xy z11 2 1 20. 11.若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|OB OC |OB OC 2OA |，则 ABC 的形状为_. 答案直角三角形 解析OB OC 2OA (OB OA )(OC OA )AB AC， OB OC CB
26、AB AC ， |AB AC|ABAC|. 故 A，B，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形. 12.在AOB 中，AC 1 5AB ，D 为 OB 的中点，若DC OA OB ，则的值为 _. 答案 6 25 解析因为AC 1 5AB ，所以AC1 5(OB OA )， 因为 D 为 OB 的中点，所以OD 1 2OB ， 所以DC DO OC 1 2OB (OA AC ) 1 2OB OA 1 5(OB OA )4 5OA 3 10OB ， 所以4 5， 3 10，则的值为 6 25. B 级能力提升 13.(2021山东名校联考)在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的点，
27、且BD 2DC ，若BE AB3 4AD ，则() A.5 4 B.4 3 C.4 5 D.3 4 答案A 解析如图， 设AE xAC， 则BEAEABxACABx(AD DC )AB x AD 1 2BD AB xAD x 2(AD AB )AB x 21AB 3x 2 AD . 因为BE AB3 4AD ， 所以 3 2x 3 4，解得 x 1 2. 因此 x 215 4. 14.(多选题)(2021武汉模拟)瑞士数学家欧拉在 1765 年发表的 三角形的几何学 一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心 和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名
28、的欧拉线定理.设 ABC 中，点 O，H，G 分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正 确的是() A.GH 2OG B.GA GB GC 0 C.设 BC 边的中点为 D，则有AH 3OD D.OA OB OC 答案AB 解析由题意作图，如图所示，易知 BC 的中点 D 与 A，G 共 线. 对于 A，由题意得，AG 2GD ，ODBC，AHBC，所以 ODAH，所以GH 2OG ，所以 A 选项正确； 对于 B，由题意得，GB GC 2GD GA ，所以GA GB GC 0，所以 B 选 项正确； 对 于 C，由题意知 AG2GD，又 GH2OG，AGHDGO，所以 AGHDGO，
29、所以AH 2OD ，故 C 选项错误； 对于 D，向量OA ， OB ，OC 的模相等，方向不同，故 D 选项错误.故选 AB. 15.直线 l 上有不同的三点 A， B， C， O 是直线 l 外一点， 对于向量OA (1cos )OB sin OC (是锐角)总成立，则_. 答案45 解析因为直线 l 上有不同的三点 A，B，C，所以存在实数，使得BA BC， 所以OA OB (OC OB )， 即OA (1)OB OC ， 所以 11cos ， sin ， 所以 sin cos ， 因为是锐角，所以45. 16.(2020唐山模拟)在直角梯形 ABCD 中，A90，B30，AB2 3，BC 2，点 E 在线段 CD 上，若AE AD AB ，则的取值范围是_. 答案 0，1 2 解析由已知 AD1，CD 3，所以AB 2DC . 因为点 E 在线段 CD 上，所以DE DC (01). 因为AE AD DE AD DC AD 2AB ， 又AE AD AB ，所以 2.因为 01，所以 0 1 2.
