1、第第 4 节节幂函数与二次函数幂函数与二次函数 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 yx称为幂函数，其中为常数. (2)常见的五种幂函数的图像 (3)幂函数的性质 所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并 且图像都通过点(1，1). 如果0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间0，)上是增函数. 如果0)yax2bxc(a0， 0； 当 a0， 0 时， 恒有 f(x)0 时，幂函数 yx在(0，)上是增函数.() (3)二次函数 yax2bxc(a0)的两个零点可以确定函数的解析式.() (4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4ac
2、b 2 4a .() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)由于幂函数的解析式为 f(x)x，故 y2x 1 3不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析 式. (4)对称轴 x b 2a，当 b 2a不在给定定义域内时，最值不是 4acb2 4a ，故(4)错误. 2.已知幂函数 f(x)kx的图像过点 1 2， 2 2 ，则 k() A.1 2 B.1C.3 2 D.2 答案C 解析因为 f(x)kx是幂函数，所以 k1. 又 f(x)的图像过点 1 2， 2 2 ，所以 1 2 2 2 ， 所以1 2，所以 k1 1 2 3 2.
3、 3.已知函数 f(x)2x2mx3(0m4，0 x1)的最大值为 4，则 m 的值为 _. 答案2 2 解析f(x)2x2mx32 xm 4 2 m 2 8 3， 0m4，0m 4 1，当 xm 4 时，f(x)取得最大值，m 2 8 34，解得 m 2 2. 4.(2021青岛联考)不等式(x21) 1 2(3x5) 1 2的解集为( ) A. 5 3，1(4，)B.(1，4) C.(4，)D.(，1)(4，) 答案A 解析不等式(x21) 1 2(3x5) 1 2等价于 x 213x50， 解得5 3x4. 所以原不等式的解集为 5 3，1(4，). 5.(2020武汉质检)若函数 f(
4、x)4x2kx8 在5，8上是单调函数，则 k 的取值范 围是() A.(，40B.40，64 C.(，4064，)D.64，) 答案C 解析f(x)图像的对称轴 xk 8，且 f(x)在5，8上是单调函数， k 88 或 k 85，解之得 k64 或 k40. 6.(2018上海卷)已知 2，1，1 2， 1 2，1，2，3.若幂函数 f(x)x为奇 函数，且在(0，)上递减，则_. 答案1 解析由 yx为奇函数，知取1，1，3. 又 yx在(0，)上递减，0，取1. 考点一幂函数的图像和性质 1.若幂函数 yf(x)的图像过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的大致图像是() 答案C 解析设
5、幂函数的解析式为 yx， 因为幂函数 yf(x)的图像过点(4，2)， 所以 24，解得1 2. 所以 y x，其定义域为0，)，且是增函数，当 0 x1 时，其图像在直线 y x 的上方，对照选项，C 正确. 2.(多选题)(2020襄阳调研)已知点 a，1 2 在幂函数 f(x)(a1)xb的图像上，则函 数 f(x)是() A.奇函数 B.偶函数 C.(0，)上的增函数 D.(0，)上的减函数 答案AD 解析由题意得 a11，且1 2a b，因此 a2，且 b1，故 f(x)x1是奇函 数，且在(0，)上是减函数. 3.(2021巴蜀中学调研)已知点(m， 8)在幂函数f(x)(m1)x
6、n的图像上， 设af 1 3 ， bf(ln )，cf(2 1 2)，则 a，b，c 的大小关系是( ) A.acbB.abc C.bcaD.ba12 1 2 2 2 1 3， 所以 f(ln )f(2 1 2)f 1 3 ，则 bca. 4.(2021长沙质检)幂函数 f(x)(m23m3)xm的图像关于 y 轴对称，则实数 m _. 答案2 解析由幂函数定义，知 m23m31，解得 m1 或 m2， 当 m1 时，f(x)x 的图像不关于 y 轴对称，舍去， 当 m2 时，f(x)x2的图像关于 y 轴对称， 因此 m2. 感悟升华1.对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象
7、限为 六个区域，即 x1，y1，yx 所分区域.根据0，01 的取值 确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性 进行比较. 3.在区间(0， 1)上， 幂函数中指数越大， 函数图像越靠近 x 轴(简记为 “指大图低” )， 在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离 x 轴. 考点二二次函数的解析式 【例 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试 确定该二次函数的解析式. 解法一(利用“一般式”) 设 f(x)ax2bxc(a0). 由题意得 4a2bc1， abc1，
8、 4acb2 4a 8， 解得 a4， b4， c7. 所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7. 法二(利用“顶点式”) 设 f(x)a(xm)2n(a0). 因为 f(2)f(1)， 所以抛物线的对称轴为 x2（1） 2 1 2，所以 m 1 2. 又根据题意，函数有最大值 8，所以 n8， 所以 yf(x)a x1 2 2 8. 因为 f(2)1，所以 a 21 2 2 81，解得 a4， 所以 f(x)4 x1 2 2 84x24x7. 法三(利用“零点式”) 由已知 f(x)10 的两根为 x12，x21， 故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)， 即 f(x)ax2ax2
9、a1. 又函数有最大值 8，即4a（2a1）（a） 2 4a 8. 解得 a4 或 a0(舍). 故所求函数的解析式为 f(x)4x24x7. 感悟升华求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰 当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 【训练 1】 (1)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(2，0)，且 有最小值1，则 f(x)_. (2)已知二次函数 f(x)的图像经过点(4，3)，在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对 任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)_. 答案(1)x22x(2)x24x3 解析(1)设函数的解析式为
10、 f(x)ax(x2)(a0)， 所以 f(x)ax22ax， 由4a04a 2 4a 1， 得 a1，所以 f(x)x22x. (2)因为 f(2x)f(2x)对 xR 恒成立， 所以 yf(x)的图像关于 x2 对称. 又 yf(x)的图像在 x 轴上截得的线段长为 2， 所以 f(x)0 的两根为 22 21 或 2 2 23. 所以二次函数 f(x)与 x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设 f(x)a(x1)(x3). 又点(4，3)在 yf(x)的图像上， 所以 3a3，则 a1. 故 f(x)(x1)(x3)x24x3. 考点三二次函数的图像和性质 角度 1二次函数
11、的图像 【例 2】 (1)(多选题)(2020济南月考)如图是二次函数 yax2bx c(a0)图像的一部分，图像过点 A(3，0)，对称轴为 x 1.则() A.b24ac B.2ab1 C.abc0 D.5a0)，若 f(m)0D.f(m1)0，即 b24ac，A 正确. 对称轴为 x1，即 b 2a1，2ab0，B 错误. 结合图像，当 x1 时，y0，即 abc0，C 错误. 由对称轴为 x1 知，b2a. 根据抛物线开口向下，知 a0，所以 5a2a， 即 5a0，所以 f(x)的大致图 像如图所示. 由 f(m)0，得1m01 2，所以 f(m1)f(0)0. 感悟升华1.研究二次
12、函数图像应从“三点一线一开口”进行分析， “三点”中 有一个点是顶点，另两个点是图像上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交 点； “一线”是指对称轴这条直线； “一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等关 系成立的条件. 角度 2二次函数的单调性与最值 【例 3】(2021沈阳模拟)已知 f(x)ax22x(0 x1)，求 f(x)的最小值. 解(1)当 a0 时，f(x)2x 在0，1上递减， f(x)minf(1)2. (2)当 a0 时，f(x)ax22x 图像开口方向向上，且对称轴为 x1 a. 当1 a1，即 a1
13、时，f(x)ax 22x 图像的对称轴在0，1内，f(x)在 0，1 a 上 递减，在 1 a，1上递增. f(x)minf 1 a 1 a 2 a 1 a. 当1 a1，即 0a1 时，f(x)ax 22x 图像的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0， 1上递减. f(x)minf(1)a2. (3)当 a0 时，f(x)ax22x 的图像的开口方向向下，且对称轴 x1 a0，在 y 轴 的左侧， f(x)ax22x 在0，1上递减. f(x)minf(1)a2. 综上所述，f(x)min a2，a1， 1 a，a1. 感悟升华(1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，
14、三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图像，根据函数的单调 性及分类讨论的思想求解. (2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴 定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当 含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 角度 3二次函数中的恒成立问题 【例 4】设函数 f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围. 解(1)要使 mx2mx10 恒成立， 若 m0，显然10，满足题意； 若 m0，得
15、m0， m24m0， 即4m0.4m0. 所求 m 的取值范围是(4，0. (2)法一要使 f(x)m5 在 x1，3上恒成立. 就要使 m x1 2 2 3 4m60 时，g(x)在1，3上是增函数， g(x)maxg(3)7m60，0m6 7； 当 m0 时，60 恒成立； 当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数， g(x)maxg(1)m60，得 m6，m0. 综上所述，m 的取值范围是 ，6 7 . 法二当 x1，3时，f(x)m5 恒成立， 即当 x1，3时，m(x2x1)60， 又 m(x2x1)60，m 6 x2x1. 函数 y 6 x2x1 6 x1 2 2 3 4 在1，3
16、上的最小值为6 7，只需 m2xm 恒成立，则实数 m 的 取值范围是_. 答案(1)B(2)(，1) 解析(1)设 f(x)ax2bxc(a，b，cR，且 a0)， f(3x)f(3x)， a(3x)2b(3x)ca(3x)2b(3x)c， x(6ab)0，6ab0， f(x)ax26axca(x3)29ac. 又f(x)在区间3，)上单调递减， a2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0， 令 g(x)x23x1m， 要使 g(x)x23x1m0 在1，1上恒成立， 只需使函数 g(x)x23x1m 在1，1上的最小值大于 0 即可. g(x)x23x1m 在1，1上单调递减，
17、g(x)ming(1)m1. 由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1). (3)设函数 f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数 f(x)的最小值. 解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图像的对称轴为 x 1. 当 t11，即 t0 时，函数图像如图(1)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为减 函数， 所以最小值为 f(t1)t21； 当 t1t1，即 0t1 时，函数图像如图(2)所示，在对称轴 x1 处取得最小值， 最小值为 f(1)1； 当 t1 时，函数图像如图(3)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为 f(t
18、)t22t2. 综上可知，当 t0 时，f(x)mint21，当 0t0，解得 m1. 2.(2021辽宁部分重点高中联考)函数 y1|xx2|的图像大致是() 答案C 解析当 0 x1 时，yx2x1 x1 2 2 3 4， 又当 x1 或 x0 时，yx2x1 x1 2 2 5 4，因此，结合图像，选项 C 正 确. 3.(2020重庆诊断)已知幂函数 yf(x)的图像过点 1 2， 2 2 ， 则 log4f(2)的值为() A.1 4 B.1 4 C.2D.2 答案A 解析设幂函数为 f(x)x，由于点 1 2， 2 2 在幂函数的图像上，所以 2 2 1 2 ， 解得1 2，则 f(
19、x)x 1 2，故 log4f(2)log42 1 21 4. 4.(2021西安检测)已知函数 f(x)x 3，若 af(0.60.6)，bf(0.60.4)，cf(0.40.6)， 则 a，b，c 的大小关系是() A.acbB.bacC.bcaD.cab 答案B 解析0.40.60.60.60.60.4， 又 yf(x)x 3 在(0，)上是减函数， ba1)的定义域和值域都为1，a，则 b_. 答案5 解析f(x)x22axb 的图像关于 xa 对称， 所以 f(x)在1，a上为减函数， 又 f(x)的值域为1，a， 所以 f（1）12aba， f（a）a22a2b1. 消去 b，得
20、a23a20，解得 a2(a1)， 从而得 b3a15. 9.设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x4 的一切 x 的值都有 f(x)0，则实 数 a 的取值范围为_. 答案 1 2， 解析由题意得 a2 x 2 x2对 1x4 恒成立， 又2 x 2 x22 1 x 1 2 2 1 2， 1 4 1 x 1 2. 三、解答题 10.已知函数 f(x)x22ax3，x4，6. (1)当 a2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4，6上是单调函数. 解(1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，由于 x4，6， f(x)在4，2上单调递减，
21、在2，6上单调递增， f(x)的最小值是 f(2)1， 又 f(4)35，f(6)15， 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上 是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4， 故 a 的取值范围是(，64，). 11.已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR 且 a0)，xR. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)xk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的取值范围. 解(1)由题意知 a0， b 2a1， f（1）ab10， 解
22、得 a1， b2. 所以 f(x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为 (，1. (2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间 3，1上恒成立， 令 g(x)x2x1，x3，1， 由 g(x) x1 2 2 3 4知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x) ming(1)1， 所以 k1， 故 k 的取值范围是(，1). B 级能力提升 12.(2020武汉调研)已知幂函数 f(x)mx1 n 是定义在区间2， n上的奇函数， 设 af sin2 7 ，bf cos2 7 ，cf tan2 7 ，则() A.bacB.cba C.bcaD.abc 答案A 解析根据 f(x)mx1 n 是幂函数，且在区间2，n上是奇函数， 得 m1，且2n0，解得 n2， f(x)x3，且在定义域2，2上是单调增函数. 又 0 4 2 7 2，cos 2 7 sin2 7 1tan2 7 ， f cos2 7 f sin2 7 f tan2 7 ，即 ba2xm 恒成立； 即 x23x1m 在区间1，1上恒成立. 所以令 g(x)x23x1 x3 2 2 5 4， 因为 g(x)在1，1上的最小值为 g(1)1， 所以 m1.故实数 m 的取值范围为(，1).
