1、第第 5 节节函数函数 yAsin(x)的图像及应用的图像及应用 知识梳理 1.函数 yAsin(x)的有关概念 yAsin(x )表示一个振 动量时 振幅周期频率相位初相 |A|T2 | f1 T | 2 x 2.用“五点法”画 yAsin(x)(A0，0，|0，0)的有关性质 名称性质 定义域R 值域A，A 周期性T2 对称中心 k ，0 (kZ) 对称轴xk 2 2 (kZ) 奇偶性 当k(kZ)时是奇函数； 当k 2(kZ)时是偶函数 单调性 由 2k 2x2k 2，kZ，解得单调递增区间； 由 2k 2x2k 3 2 ，kZ，解得单调递减区间 1.函数 yAsin(x)k 图像平移的
2、规律： “左加右减，上加下减”. 2.由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)将函数 y3sin 2x 的图像向左平移 4个单位长度后所得图像的解析式是 y 3sin 2x 4 .() (2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长 度一致.() (3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T， 那么函数图像的两个相邻对称中心之 间的距离为T 2.( ) (4)由图像求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低 点的值确定的.() 答
3、案(1)(2)(3)(4) 解析(1)将函数 y3sin 2x 的图像向左平移 4个单位长度后所得图像的解析式是 y3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单 位长度为| |.故当1 时平移的长度不相等. 2.为了得到函数 ysin 2x 3 的图像，只需把函数 ysin 2x 图像上所有的点 () A.向左平移 3个单位长度 B.向右平移 3个单位长度 C.向左平移 6个单位长度 D.向右平移 6个单位长度 答案C 解析因为 ysin 2x 3 sin 2 x 6 ，所以要得到其图像，需把 ysin 2x 图像 上所有的点向左平移 6个单位长度
4、. 3.如图所示，某地夏天从 814 时的用电量变化曲线近似满足函数 yAsin(x )b.则这段曲线的函数解析式为_. 答案y10sin 6x 6 40，x8，14 解析观察图像可知从814时的图像是yAsin(x)b的半个周期的图像， A1 2(5030)10，b 1 2(5030)40. 1 2 2 148， 6， y10sin 6x40. 将 x8，y30 代入上式，解得 6. 所求解析式为 y10sin 6x 6 40，x8，14. 4.(2020全国卷)设函数 f(x)cos x 6 在，的图像大致如下图，则 f(x) 的最小正周期为() A.10 9 B.7 6 C.4 3 D.
5、3 2 答案C 解析由题图知，f 4 9 0 且 f()0， 所以4 9 6 2(0)，解得 3 2， 所以 f(x)的最小正周期为 T2 4 3 .故选 C. 5.(多选题)(2020新高考山东卷)如图是函数 ysin(x)的部分图像，则 sin(x )() A.sin x 3B.sin 32x C.cos 2x 6D.cos 5 6 2x 答案BC 解析由题图可知，函数的最小正周期 T2 2 3 6 ，2 |，2.当 2 时，ysin(2x)，将点 6，0代入得，sin 2 60，2 62k ，kZ，即2k2 3 ，kZ，故 ysin 2x2 3 .由于 ysin 2x2 3 sin 2x
6、2 3sin 32x， 故选项 B 正确； ysin 32xcos 2 32x cos 2x 6 ，选项 C 正确；对于选项 A，当 x 6时，sin 6 3 10，错误；对 于选项 D，当 x 6 2 3 2 5 12时，cos 5 6 25 12 11，错误. 当2 时，ysin(2x)，将 6，0代入，得 sin 2 60，结合函 数图像， 知2 62k， kZ， 得 4 3 2k， kZ， ysin 2x4 3 ， 但当 x0 时，ysin 2x4 3 3 2 0，与图像不符合，舍去.综上，选 BC. 6.(2021重庆调研)函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的图像如图所示， 则
7、 f(x)在区 间，上的零点之和为_. 答案 2 3 解析由题图可得3T 4 3 4 2 11 12 6，解得2. f(x)sin(2x).把 6，1代入得 1sin 3， | 2， 6，故 f(x)sin 2x 6 . x，2x 6 11 6 ，13 6， 则 f(x)共有 4 个零点，不妨设为 a、b、c、d，且 abc0，0， 2 2)的最小正 周期是，且当 x 6时，f(x)取得最大值 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)作出 f(x)在0，上的图像(要列表)； (3)函数 yf(x)的图像可由函数 ysin x 的图像经过怎样的变换得到？ 解(1)因为函数 f(x)的最小正周期
8、是，所以2. 又因为当 x 6时，f(x)取得最大值 2，所以 A2， 同时 2 62k 2，kZ， 2k 6 ，kZ， 因为 20， 20， | 2)的部分图像如图所示， 已知 A 5 12，1，B 11 12 ，1 ，则 f(x)图像的对称中心为() A. k 2 5 6 ，0 (kZ)B. k5 6 ，0 (kZ) C. k 2 6，0(kZ)D. k 6，0(kZ) 答案(1)2 3 (2)C 解析(1)设 f(x)的最小正周期为 T， 由题中图像可知 3 4T 5 12 3 得 T， 则2 T 2 2，又图像过点 5 12，2， 则 f 5 12 2，即 2sin 5 6 2，则 s
9、in 5 6 1. 2 2， 3 5 6 4 3 ， 5 6 2， 3. (2)法一T2 11 12 5 12 2 ，2， 因此 f(x)sin(2x). 由五点作图法知 A 5 12，1是“第二点” ，得 25 12 2， 所以 3 满足| 2 . f(x)sin 2x 3 . 令 2x 3k(kZ)，得 x k 2 6(kZ). f(x)图像的对称中心为 k 2 6，0(kZ). 法二T2 11 12 5 12 ，由题图知，A，B 的中点 2 3 ，0 为 f(x)图像的一个对 称中心，从而 f(x)图像对称中心的横坐标为2 3 m 2 6 （m1） 2 6 k 2 (k， mZ). 所以
10、 f(x)图像的对称中心为 6 k 2 ，0 (kZ). 感悟升华yAsin(x)中的确定方法 (1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下 降区间上)或把图像的最高点或最低点代入. (2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 【训练 2】(1)某地一天 614 时的温度变化曲线近似满足函 数 yAsin(x)b(|0.由函数图像可知，函数的最大值 M 为 30，最小值 m 为 10，周 期 T2(146)16， AMm 2 3010 2 10，bMm 2 3010 2 20. 又知 T2 |，0， 2 16 8，y10sin 8x20.
11、又知该函数图像经过(6，10)， 1010sin 8620，即 sin 3 41， 5 4 2k(kZ)， 又|0)个单位长度，得到函数 g(x)的图像，且函数 g(x)为偶 函数，当最小时，函数 h(x)2cos(x)的单调递减区间为_. (2)已知关于x的方程2sin2x 3sin 2xm10在 2，上有两个不同的实数根， 则 m 的取值范围是_. 答案(1) 2k1 6，2k 7 6 (kZ)(2)(2，1) 解析(1)f(x)cos 2x 3sin 2x2cos 2x2 3 . 由“五点法”作出 f(x)2cos 2x2 3 的部分图像，如图， 要使g(x)为偶函数， 只需将f(x)的
12、图像向左平移 k0 2 6 (k0 N)个单位长度或者向右平移 k1 2 3 (k1N)个单位长度.显然的最小值为 6. 所以函数 h(x)2cos x 6 ， 由 2kx 62k，kZ， 解得 2k1 6x2k 7 6，kZ， 故函数 h(x)的单调递减区间为 2k1 6，2k 7 6 (kZ). (2)方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 ，x 2，.设 2x 6t，则 t 7 6， 13 6 ，所以题目条件 可转化为m 2 sin t，t 7 6， 13 6 有两个不同的实数根.所以 y1m 2
13、 和 y2sin t，t 7 6， 13 6 的图像有两个不同交点，如图： 由图像观察知，m 2 的取值范围是 1，1 2 ，故 m 的取值范围是(2，1). 感悟升华1.研究 yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元 法和数形结合思想进行解题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数. 3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把 实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 【训练 3】 (1)为使函数 ysin x(0)在区间0，1上至少出现 50 次最大值， 则的最小值为() A.98B.197 2 C.199 2 D.1
14、00 (2)若函数 f(x)sin x 6 (0)满足 f(0)f 3 ，且函数在 0， 2 上有且只有一个 零点，则 f(x)的最小正周期为_. 答案(1)B(2) 解析(1)由题意，至少出现 50 次最大值即至少需要 49 1 4个周期，所以 197 4 T 197 4 2 1，所以197 2 . (2)因为 f(0)f 3 ，所以 x 6是 f(x)图像的一条对称轴，所以 f 6 1，所以 6 6 2k，kZ，所以6k2，kZ，所以 T 3k1(kZ).又 f(x)在 0， 2 上有且只有一个零点， 所以 6 T 4 2 6 ， 所以2 3 T4 3 ， 所以2 3 3k1 4 3 (k
15、 Z)，所以 1 12k 1 6，又因为 kZ，所以 k0，所以 T. A 级基础巩固 一、选择题 1.y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为() A.2，4， 3 B.2， 1 4， 3 C.2， 1 4， 3 D.2，4， 3 答案C 解析由题意知 A2，f1 T 2 1 4，初相为 3. 2.函数 ysin 2x 3 在区间 2，上的简图是() 答案A 解析令 x0 得 ysin 3 3 2 ，排除 B、D 项，当 x 2，0时，4 3 2x 3 3，在此区间上函数不会出现最高点，排除 C 项，故选 A. 3.(2021郑州模拟)函数f(x)Asin(x)(其中A0， 0，
16、| 的图像如图所示，则() A.3， 4 B.3， 4 C.6， 2 D.6， 2 答案A 解析由题图可得 A1，1 4 2 5 12 4，解得3. 所以 f(x)sin(3x)， 因为 f(x)sin(3x)的图像过点 4，0，所以 sin 3 4 0，因为|0)图像上的一个 最低点，M，N 是与点 P 相邻的两个最高点，若MPN60，则该函数的最小 正周期是() A.3B.4C.5D.6 答案D 解析由题意知|MP|NP|， 又MPN60，所以MPN 为等边三角形. 由 P 3 2， 3 3 2，得|MN| 23 3 2 3 26. 该函数的最小正周期 T6. 6.(多选题)(2021菏泽
17、联考)已知函数 f(x)Asin(x4) A0，0，0 8 的部分图像如图所示，若将函数 f(x)的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短 到原来的1 4，再将所得图像向右平移 6个单位长度，可得函数 g(x)的图像，则下列 说法正确的是() A.函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin 1 2x 6 B.函数 g(x)的解析式为 g(x)2sin 2x 6 C.函数 f(x)图像的一条对称轴是直线 x 3 D.函数 g(x)在区间 ，4 3 上单调递增 答案ABD 解析由图知， A2， T 4， T4 2 ， 得1 2.故 f(x)2sin 1 2x4.点(0， 1)在函数图像上，2sin
18、41，即 sin 41 2.又0 8 ，04 2，4 6.故函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin 1 2x 6 ， 故 A 正确.将 f(x)的图像上所有点的 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 4，可得 y2sin 2x 6 的图像，再将所得图 像向右平移 6个单位长度，可得 g(x)2sin 2 x 6 6 2sin 2x 6 的图像，故 B 正确.当 x 3时，f 3 2sin 00，不是最值，故直线 x 3不是 f(x)图像 的一条对称轴，故 C 不正确.当 x ，4 3 时，2x 6 2 6，2 2 ，则 g(x) 2sin 2x 6 在 ，4 3 上单调递增，故 D 正确.故选
19、 ABD. 二、填空题 7.已知函数 f(x)Atan(x) 0，| 2 的部分图像如图所 示，则 f 24 _. 答案3 解析由题图知 2 3 8 8 2， 所以2. 因为 2 8k 2(kZ)， 所以k 4(kZ)， 又|0)，f(x1)2，f(x2) 2，且|x1x2|的最小值为 2，若将 yf(x)的图像沿 x 轴向左平移(0)个单位长 度，所得图像关于原点对称，则的最小值为_. 答案 12 解析因为 f(x) 3sin xcos x2sin x 6 ， 所以 f(x1)， f(x2)分别为函数 f(x) 的最大值与最小值.又|x1x2|的最小值为 2， 所以函数 f(x)的最小正周期
20、为 2 2， 所以2 2，所以 f(x)2sin 2x 6 .将 yf(x)的图像沿 x 轴向左平移个单位 长度，得 y2sin 2（x） 6 2sin 2x2 6 的图像.因为所得图像关于原 点对称，所以 2 6k(kZ)，即 k 2 12(kZ).因为0，所以的最小值 为 12. 三、解答题 10.已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x(0)，且 f(x)的最小正周期为. (1)求的值及函数 f(x)的单调递减区间； (2)将函数 f(x)的图像向右平移 6个单位长度后得到函数 g(x)的图像，求当 x 0， 2 时，函数 g(x)的最大值. 解(1)由题意知 f(x)
21、3sin 2x1cos 2x 2sin 2x 6 1， 周期 T，2 2，1， f(x)2sin 2x 6 1， 令 22k2x 6 3 2 2k，kZ， 得 6kx 2 3 k，kZ. 函数 f(x)的单调递减区间为 6 k，2 3 k ，kZ. (2)g(x)2sin 2 x 6 6 1 2sin 2x 6 1， 当 x 0， 2 时， 62x 6 5 6 ， 当 2x 6 2，即 x 3时，g(x) max2113. 11.(2021山东名校联考)已知函数 f(x)2sin(x)1 0，| 2 ，函数 f(x)的 图像上两相邻对称轴之间的距离为 2，_. (1)在函数 f(x)的图像的一
22、条对称轴为直线 x 3，函数 f(x)的图像的一个对 称中心为点 5 12，1，函数 f(x)的图像经过点 5 6 ，0 这三个条件中任选一个补 充至横线上，然后确定函数的解析式； (2)若动直线 xt，t0，与函数 f(x)和函数 g(x)2 3sin xcos x 的图像分别交 于 P，Q 两点，求线段 PQ 长度的最大值及此时 t 的值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解(1)函数 f(x)的图像上两相邻对称轴之间的距离为 2， 得该函数的最小正周期 T 2 2， 2 T 2 2， 此时 f(x)2sin(2x)1. 若选函数 f(x)的图像的一条对称轴为直线 x
23、3，则 2 3 2k(kZ)， 得7 6 k(kZ). | 2，当 k1 时， 6， 此时 f(x)2sin 2x 6 1. 若选函数 f(x)的图像的一个对称中心为点 5 12，1，则5 6 k(kZ)，得 k5 6 (kZ). | 2，当 k1 时， 6， 此时 f(x)2sin 2x 6 1. 若选函数 f(x)的图像经过点 5 6 ，0 ， 则 f 5 6 2sin 5 3 10，得 sin 5 3 1 2. | 2， 7 6 5 3 0，|1 对任意 x 12， 6 恒成立， 则的取值范围是_. 答案 4，0 解析因为函数 f(x)2cos(x)1 的最大值为 3.f(x)的图像与直线 y3 相邻 两个交点的距离为2 3 ， T2 3 ， 3， f(x)2cos(3x)1.f(x)1 对任意 x 12， 6 恒成立， cos(3x)0对任意x 12， 6 恒成立， 42k 2且 22k 2， kZ，解得 2k 42k，kZ.结合|0f 7 12 或 f 6 0 时，函数 f(x)有且只有一个零点， 即 sin4 3 b3 2sin 5 6 或 13 2b0， b 2， 33 2 5 2 . 故实数 b 的取值范围为 2， 33 2 5 2 .
