1、微课四探索性问题及证明问题 题型一探索性问题 【例 1】(2021宜昌模拟)已知圆 C：(xa)2(yb)29 4的圆心 C 在抛物线 x 2 2py(p0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切 (1)求该抛物线的方程 (2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别在点 A，B 处作抛物线 的切线，两条切线交于 P 点，则PAB 的面积是否存在最小值？若存在，求出这 个最小值及此时对应的直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解(1)由已知可得圆心 C(a，b)，半径 r3 2，焦点 F 0，p 2 ，准线方程为 yp 2. 因为圆 C 与抛物线的准线相切， 所以 b3
2、2 p 2，且圆 C 过焦点 F. 又圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 bp 4. 所以 b3 2 p 2 p 4，求得 p2. 于是抛物线的方程为 x24y. (2)由抛物线方程 x24y 知，F(0，1) 易知直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 ykx1. 由 ykx1， x24y 消去 y 并整理，得 x24kx40， (4k)24(4)16k2160， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24. 对 yx 2 4 求导，得 yx 2，即直线 AP 的斜率 k APx1 2 ，则直线 AP 的方程为 yy1 x1 2
3、(xx1)，即 yx1 2 x1 4x 2 1. 同理可得直线 BP 的方程为 yx2 2 x1 4x 2 2.设 P(x0，y0)， 联立直线 AP 与 BP 的方程，可得 x0 x1x2 2 2k， y0 x1x2 4 1， 即 P(2k，1) |AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 1k2 （4k）2164(1k2)， 点 P 到直线 AB 的距离 d|2k 22| 1k2 2 1k2， 所以PAB 的面积 S1 24(1k 2)2 1k24(1k2)3 24， 当且仅当 k0 时等号成立 故PAB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y1. 感悟升华此类
4、问题一般分为探究条件、探究结论两种若探究条件，则可先假 设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则 应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论 【训练 1】(2020西安模拟)设中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点 1， 3 2 ， 且离心率为 3 2 ，F 为 E 的右焦点，P 为 E 上一点，PFx 轴，圆 F 的半径为 PF. (1)求椭圆 E 和圆 F 的方程； (2)若直线 l：yk(x 3)(k0)与圆 F 交于 A，B 两点，与椭圆 E 交于 C，D 两 点，其中 A，C 在第一象限，是否存在 k 使|AC|BD|？若存
5、在，求 l 的方程；若 不存在，说明理由 解(1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 椭圆的离心率 e 3 2 ，c a 3 2 ， a2b2c2，a2b， 将点 1， 3 2 代入椭圆的方程得 1 a2 3 4b21， 联立 a2b，解得 a2 且 b1. 椭圆 E 的方程为x 2 4 y21. F( 3，0)，PFx 轴，P 3，1 2 ， 圆 F 的半径为1 2，圆心为( 3，0)， 圆 F 的方程为(x 3)2y21 4. (2)不存在满足题意的 k，理由如下： 由 A，B 在圆上得|AF|BF|PF|1 2. 设点 C(x1，y1)，D(x2，y2) |
6、CF| （x1 3）2y212 3 2 x1， 同理|DF|2 3 2 x2. 若|AC|BD|，则|AC|BC|BD|BC|， 即|AB|CD|1， 4 3 2 (x1x2)1， 由 x2 4 y21， yk（x 3） ， 得(4k21)x28 3k2x12k240， x1x2 8 3k2 4k21，4 12k2 4k211， 得 12k212k23，无解，故不存在 题型二证明问题 【例 2】(2021长沙模拟)已知点 A(1， 3 2 )在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，O 为坐标原点，直线 l： x a2 3y 2b2 1 的斜率与直线 OA 的斜率乘积为1 4. (1
7、)求椭圆 C 的方程； (2)不经过点 A 的直线 y 3 2 xt(t0 且 tR)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，P 关于 原点的对称点为 R(与点 A 不重合)，直线 AQ，AR 与 y 轴分别交于两点 M，N， 求证：|AM|AN|. (1)解由题意知，kOAkl 3 2 2b2 3a2 b2 a2 1 4， 即 a24b2， 又 1 a2 3 4b21， 所以联立，解得 a2 b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)证明设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 R(x1，y1)， 由 y 3 2 xt， x2 4 y21， 得 x2 3txt210， 所以4t20
8、，即2t2， 又 t0，所以 t(2，0)(0，2)， x1x2 3t，x1x2t21. 法一要证明|AM|AN|，可转化为证明直线 AQ，AR 的斜率互为相反数， 即证明 kAQkAR0. 由题意知，kAQkAR y2 3 2 x21 y1 3 2 x11 （y2 3 2 ） （x11）（y1 3 2 ） （x21） （x11） （x21） （ 3 2 x2t 3 2 ） （x11）（ 3 2 x1t 3 2 ） （x21） （x11） （x21） 3x1x2t（x1x2） 3 （x11） （x21） 3（t21）t（ 3t） 3 （x11） （x21） 0， 所以|AM|AN|. 法二要证
9、明|AM|AN|，可转化为证明直线 AQ，AR 与 y 轴的交点 M，N 连线 的中点 S 的纵坐标为 3 2 ，即 AS 垂直平分 MN 即可 直线 AQ 与 AR 的方程分别为 lAQ：y 3 2 y2 3 2 x21 (x1)，lAR：y 3 2 y1 3 2 x11 (x1)， 分别令 x0，得 yM y2 3 2 x21 3 2 ，yN y1 3 2 x11 3 2 ， 所以 yMyN y2 3 2 x21 y1 3 2 x11 3 （ 3 2 x1t 3 2 ） （x21）（ 3 2 x2t 3 2 ） （x11） （x11） （x21） 3 3x 1x2t（x1x2） 3 （x1
10、1） （x21） 3 3（t 21）t（ 3t） 3 （x11） （x21） 3 3， ySyMyN 2 3 2 ，即 AS 垂直平分 MN. 所以|AM|AN|. 感悟升华圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定 点等 (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算 证明，但有时也会用反证法证明 【训练 2】(2020景德镇一模)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，C，D 是抛物线上 关于 y 轴对称的两点，点 E 是抛物线准线 l 与 y 轴的交点，
11、ECD 是面积为 4 的直角三角形 (1)求抛物线的方程； (2)若 A 为抛物线上第一象限的一动点， 过 F 作 AF 的垂线交准线 l 于点 B， 求证： 直线 AB 与抛物线相切 (1)解抛物线 x22py(p0)的准线方程为 yp 2， 不妨设点 C 位于第一象限， 由题意可得CDE 为等腰直角三角形，可得直线 EC 的斜率为 1，则直线 EC 的 方程为 yxp 2， 联立 x22py， yxp 2， 解得 xp， yp 2， 所以 C p，p 2 ，D p，p 2 ，E 0，p 2 ， SECD1 22pp4，解得 p2， 故抛物线的方程为 x24y. (2)证明由(1)得焦点 F
12、(0，1)，设 A(x0，y0)(x00，y00)， 则直线 AF 的斜率为y01 x0 ， 故直线 BF 的方程为 y x0 1y0 x1， 令 y1，得 x2（y01） x0 ，所以点 B 2（y01） x0 ，1 ， 则直线 AB 的斜率为 y01 x02（y01） x0 x0 x20 4 1 x202 x20 4 1 x0 2 ，由 yx 2 4 得 yx 2，即抛 物线在点 A 处的切线的斜率为x0 2 ，故直线 AB 与抛物线相切 1(2020郑州模拟)如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T(2，0)，与 y 轴正半轴相交于两 点 M，N(点 M 在点 N 的下方)，且|MN|3.
13、(1)求圆 C 的方程； (2)过点 M 任作一条直线与椭圆x 2 8 y 2 4 1 相交于两点 A， B， 连接 AN， BN， 求证： ANMBNM. (1)解设圆 C 的半径为 r(r0)，依题意，圆心 C 的坐标为(2，r) 因为|MN|3，所以 r2 3 2 2 2225 4 . 所以 r5 2，圆 C 的方程为(x2) 2 y5 2 2 25 4 . (2)证明把 x0 代入方程(x2)2 y5 2 2 25 4 ，解得 y1 或 y4，即点 M(0， 1)，N(0，4) 当 ABx 轴时，可知ANMBNM0. 当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 ykx1.
14、联立方程 ykx1， x2 8 y 2 4 1 消去 y 得(12k2)x24kx60. 设直线 AB 交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 x1x2 4k 12k2，x 1x2 6 12k2. 所 以 kAN kBN y14 x1 y24 x2 kx13 x1 kx23 x2 2kx1x23（x1x2） x1x2 1 x1x2 12k 12k2 12k 12k20. 所以ANMBNM. 综合知ANMBNM. 2(2021北京西城区模拟)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 C(0，1)，离心 率为 3 2 ，O 为坐标原点 (1)求椭圆 E 的方程； (2
15、)设 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，D 为椭圆 E 上一点(不在坐标轴上)，直 线 CD 交 x 轴于点 P，Q 为直线 AD 上一点，且OP OQ 4，求证：C，B，Q 三 点共线 (1)解由题意，得 b1，c a 3 2 . 又 a2b2c2， 所以 a2，c 3. 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y21. (2)证明A(2，0)，B(2，0) 设 D(x0，y0)(x0y00)，则x 2 0 4 y201. 因为 C(0，1)，所以直线 CD 的方程为 yy01 x0 x1， 令 y0，得 x x0 1y0，故点 P 的坐标为 x0 1y0，0. 设 Q(xQ，yQ)，由OP O
16、Q 4，得 xQ4（1y0） x0 (显然 xQ2) 直线 AD 的方程为 y y0 x02(x2)， 将 xQ代入直线 AD 的方程，得 yQy0（44y02x0） x0（x02） ， 即 Q 4（1y0） x0 ，y0（44y02x0） x0（x02）. 显然直线 BQ 的斜率存在， 且 kBQ yQ xQ2 y0（44y02x0） （x02） （44y02x0） 2y02y20 x0y0 4x202x0y04y0 2y02y20 x0y0 4y202x0y04y0 1 2. 又直线 BC 的斜率 kBC1 2， 所以 kBCkBQ，即 C，B，Q 三点共线 3(2021济南模拟)已知平面
17、上一动点 A 的坐标为(2t2，2t) (1)求点 A 的轨迹 E 的方程； (2)点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为2 t . 证明直线 AB 过定点，并求出定点坐标 分别以 A，B 为圆心作与直线 x2 相切的圆，两圆公共弦的中点为 H，在 平面内是否存在定点 P， 使得|PH|为定值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 解(1)设动点 A 的坐标为(x，y)，因为 A 的坐标为(2t2，2t)， 所以 x2t2， y2t，消去参数 t 得 y 22x，即轨迹 E 的方程为 y22x. (2)因为点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为2 t ， 所以点 B 的坐标为 2 t2，
18、 2 t ， 当 t1 时，直线 AB 的方程为 x2； 当 t1 时，直线 AB 的斜率为 kAByByA xBxA t 1t2， 所以直线 AB 的方程为 y2t t 1t2(x2t 2)， 整理得 y t 1t2(x2) 所以直线 AB 过定点(2，0) 法一因为点 A 的坐标为(2t2，2t)，且圆 A 与直线 x2 相切， 所以圆 A 的方程为(xxA)2(yyA)2(xA2)2， 同理圆 B 的方程为(xxB)2(yyB)2(xB2)2， 两圆方程相减得 2(xBxA)x2(yByA)yy2Ay2B4xA4xB， 将 A(2t2，2t)，B 2 t2， 2 t 代入并整理得 y t
19、1 t (x1)， 由可知当 t1 时直线 AB 的方程为 y t 1t2(x2)， 由题意知 H 是两条直线的交点， 所以两个方程相乘得 y2(x2)(x1)， 整理得 x1 2 2 y29 4， 即点 H 的轨迹是以 1 2，0为圆心，3 2为半径的圆， 所以存在点 P 1 2，0，满足|HP|3 2. 法二由题意知直线 x2 为圆 A 与圆 B 的公切线，设切点分别为 E，F，两 圆的公共弦交公切线 x2 于点 G，则由切割线定理知 G 为 EF 的中点，所以 点 G 的横坐标为 xG2，点 G 的纵坐标为 yGyEyF 2 yAyB 2 1 t t， 即 G 2，1 t t ， 因为公共弦必与两圆的圆心的连线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为 1 kAB t21 t ， 故公共弦所在直线的方程为 y 1 t t t 21 t (x2)， 整理得 y t1 t (x1)， 所以公共弦恒过 S(1，0) 由平面几何的知识可知， 公共弦的中点就是公共弦与两圆心连线的交点， 记直线 AB 所过的定点为 R， 则 R，S，公共弦的中点 H 构成以 H 为直角顶点的直角三角形， 即点 H 在以 RS 为直径的圆上， 所以存在 RS 的中点 P 1 2，0，满足|HP|3 2.
