1、第 1 页 共 8 页 阶段综合检测（三）阶段综合检测（三）函数的概念与性质函数的概念与性质 (时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分) 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分) 1函数函数 f(x) 2x2 1x (2x1)0的定义域为的定义域为() A. ，1 2B. 1 2， ，1 C. 1 2， ，1 2D. ，1 2 1 2， ，1 解析解析： 选选 D由题意知由题意知 1x0， 2x10， 解得解得 x1Ba0，则，则x0，F(x)F(x)x24x；当；当 x0 时，时，F(x)0， F(x) x24
2、x，x0， 0，x0， x24x，x0， 根据所得解析式知：根据所得解析式知： 函数函数 f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(，2)，(2，)，单调递增区间为，单调递增区间为2,2 (2)当当 x20 时，时，F(x2)03； 当当 x20 时，时，F(x2)x44x23， 1x23，即有，即有 3x1 或或 1 x 3， 不等式的解集为不等式的解集为x| 3x1 或或 1 x 3. 20(12 分分)由于人们响应了政府的防控号召，由于人们响应了政府的防控号召，2020 年的疫情得到了有效的控制，生产年的疫情得到了有效的控制，生产 生活基本恢复常态，某赏花园区投资了生活基本恢复常态，某赏
3、花园区投资了 30 万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为 30 天，园区从某月天，园区从某月 1 号至号至 30 号开放，每天的旅游人数号开放，每天的旅游人数 f(x)与第与第 x 天近似地满足天近似地满足 f(x)88 x(千 千 人人)，且游客人均消费，且游客人均消费 g(x)近似地满足近似地满足 g(x)143|x22|(元元)，1x30，xN N*. (1)求该园区第求该园区第 x 天的旅游收入天的旅游收入 p(x) (单位：千元单位：千元)的函数关系式；的函数关系式； (2)记记(1)中中 p(x)的最小值为的最小值为 m，若以若以 0.3m
4、(千元千元)作为资金全部用于回收投资成本作为资金全部用于回收投资成本，试问试问 该园区能否收回投资成本？该园区能否收回投资成本？ 解：解：(1)p(x)f(x)g(x) 88 x (143|x22|) 8x968 x 976，1x22，xN*， 8x1 320 x 1 312，22x30，xN*. 第 7 页 共 8 页 (2)当当 1x22 时，时，p(x)8x968 x 976 28x968 x 9761 152， 当且仅当当且仅当 8x968 x ，即，即 x11 时取等号，此时时取等号，此时 p(x)最小值为最小值为 1 152； 当当 22x30 时，时，p(x)8x1 320 x
5、1 312 是减函数，是减函数， 当当 x30 时，时，p(x)min8301 320 30 1 3121 116. 因为因为 1 1161 152，所以，所以 m1 116， 所以所以 mp(30)1 116 千元，千元，0.3m33.48 万元万元30 万元，能收回投资成本万元，能收回投资成本 21(12 分分)已知函数已知函数 f(x)x 2 ax4 x 为奇函数为奇函数 (1)求实数求实数 a 的值；的值； (2)求证：求证：f(x)在区间在区间2，)上是增函数；上是增函数； (3)若对任意的若对任意的 x1，x22,4，都有，都有 f(x1)f(x2)m22m2，求实数，求实数 m
6、的取值范围的取值范围 解：解：(1)由由 f(x)为奇函数，定义域为为奇函数，定义域为(，0)(0，)，可得，可得 f(1)f(1)， 即即(1a4)(1a4)，解得，解得 a0， 此时此时 f(x)x4 x， ，对任意对任意 x(，0)(0，)，f(x)x4 x f(x)，满足满足 f(x) 为奇函数为奇函数 (2)证明：对任意证明：对任意 x1，x22，)，x1x2， 则则 f(x1)f(x2)x1 4 x1 x2 4 x2 (x1x2)4 x2 x1 x1x2 x1 x2 x1x24 x1x2 . 由由 2x1x2，可得，可得 x1x24，x1x20，则，则 f(x1)f(x2)0，则，
7、则 f(x1)f(x2)， 所以所以 f(x)在区间在区间2，)上是增函数上是增函数 (3)由由 f(x)在区间在区间2，)上是增函数，上是增函数， 可得对任意可得对任意 x1，x22,4，f(x1)f(x2)f(4)f(2)1， 则则 m22m21，解得，解得 m1 或或 m3，即实数，即实数 m 的取值范围是的取值范围是(，13， ) 22(12 分分)设函数设函数 g(x) x1，函数函数 h(x) 1 x3， ，x(3，a，其中其中 a 为常数且为常数且 a0， 令函数令函数 f(x)g(x)h(x) (1)求函数求函数 f(x)的表达式，并求其定义域的表达式，并求其定义域 (2)当当
8、 a1 4时，求函数 时，求函数 f(x)的值域的值域 第 8 页 共 8 页 (3)是否存在自然数是否存在自然数 a，使得函数使得函数 f(x)的值域恰为的值域恰为 1 3， ，1 2 ？若存在？若存在，试写出所有满足条件试写出所有满足条件 的自然数的自然数 a 所构成的集合；若不存在，试说明理由所构成的集合；若不存在，试说明理由. 解：解：(1)f(x) x1 x3 ，其定义域为，其定义域为0，a (2)当当 a1 4时，令 时，令 t x1，则，则 t 1，3 2 ，且，且 x(t1)2，所以，所以 yf(t) t t1 23 t t22t4，所以 ，所以 y 1 t24 t .因为因为
9、 yt24 t 在在 1，3 2 上单调递减，所以上单调递减，所以 f(t) t t22t4在 在 1，3 2 上递增，即此时上递增，即此时 f(x)的值域为的值域为 1 3， ， 6 13 . (3)令令 t x1， 则则 t1,1 a 且且 x(t1)2， 所以所以 y 1 t24 t .因为因为 yt24 t 在在1,2 上单调递减上单调递减，在在2，)上单调递增上单调递增，所以所以 y t t22t4在 在1,2上单调递增上单调递增，在在2,1 a 上单调递减上单调递减 当当 t2 时，时， t t22t4的最大值为 的最大值为1 2， ， 所以所以 a1，又，又 1t2 时，时，1 3 t t22t4， ， 又又 f(x)的值域恰为的值域恰为 1 3， ，1 2 ， 所以由所以由 t t22t4 1 3，解得 ，解得 t1 或或 t4， 即即 f(x)的值域恰为的值域恰为 1 3， ，1 2 时，时，1 a40a9， ， 故所求故所求 a 的取值集合为的取值集合为1,2,3,4,5,6,7,8,9
