1、第 1 页 共 8 页 阶段综合检测（二）阶段综合检测（二）一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 (时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分) 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分) 1设集合设集合 Ax|(x1)(x6)0，Bx|2x0，则，则 AB() Ax|x6Bx|1x2 Cx|x1Dx|2x0 x|x6，Bx|2x0 x|x2， ABx|xNBMN CM0， ，MN. 故选故选 A. 3已知已知 ab|a|，则以下不等式中恒成立的是，则以下不等式中恒成立的是() A|b|0 Cab0D|
2、a|b| 解析：解析：选选 A由条件由条件 ab|a|，知，知 a0.|a|a， aba.|b|0”是是“一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 恒成立恒成立”的的() A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 B由一元二次不等式由一元二次不等式 ax2bxc0 恒成立，知恒成立，知 a0 且且b24ac0 时，如时，如 x23x20，不一定恒成立故选，不一定恒成立故选 B. 5不等式组不等式组 x210， x23x0 的解集为的解集为() Ax|1x1Bx|0 x3 Cx|0 x1Dx|
3、1x3 解析：解析：选选 C由由 x210， x23x0， 得得 1x1， 0 x3， 所以所以 0 x1，即不等式组的解集为，即不等式组的解集为x|0 x0，y0，且，且 1 x3 1 y 1 2，则 ，则 xy 的最小值为的最小值为() A5B6 第 2 页 共 8 页 C7D8 解析：解析：选选 A法一：法一：由题意得，由题意得，xy(x3)y3 2 1 x3 1 y (x3)y3 2 2y x3 2 x 3 y 23 2y x3 2 x 3 y 1 2 2y x3 2 x3 y 15， 当且仅当当且仅当 2y x3 2 x 3 y 且且 1 x3 1 y 1 2， ， 即即 x1，y4
4、 时等号成立，时等号成立，xy 的最小值为的最小值为 5. 法二：法二：x0，y0，x10， 由由 1 x3 1 y 1 2得 得 y2x 6 x1 ， x y x 2x6 x1 x 2 x1 4 x1 x 2 4 x1 (x 1) 4 x1 12 x1 4 x1 15， 当且仅当当且仅当 x1 4 x1，即 ，即 x1 时，等号成立，时，等号成立， xy 的最小值为的最小值为 5. 7已知关于已知关于 x 的不等式的不等式 mx2mx10 恒成立，则恒成立，则 m 的取值范围为的取值范围为() Am|0m4Bm|0m4 解析：解析：选选 B因为关于因为关于 x 的不等式的不等式 mx2mx1
5、0 恒成立，分以下两种情况讨论：恒成立，分以下两种情况讨论： (1)当当 m0 时，可得时，可得 10，合乎题意；，合乎题意； (2)当当 m0 时，则有时，则有 m0， m24m0， 解得解得 0m4. 综上所述，实数综上所述，实数 m 的取值范围是的取值范围是m|0m4 8已知正数已知正数 x，y 满足满足 x1 y 2，则，则2 x 3y 的最小值是的最小值是() A.7 2 B5 C52 6D.5 2 6 2 解析：解析：选选 D由由 x1 y 2，得，得x 2 1 2y 1， 第 3 页 共 8 页 2 x 3y 2 x 3y x 2 1 2y 1 1 xy 3xy 2 3 2 5
6、2 1 xy 3xy 2 5 2 2 3 2 5 2 6 2 ， 当且仅当当且仅当 1 xy 3xy 2 ， x1 y 2， 即即 x2 64， y3 6 6 时，等号成立时，等号成立 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 9在在ABC 中，三边长分别为中，三边长分别为 a，b，c，且，且 abc4，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是() Aa2b4 Cab2c24Dabc4 解析：解析：选选 ABCA 选项，因为选项，因为 a，b，c 为三角形三边，所以为三角形三边，所以 abc，则，则 a2bab2abc 4，即，
7、即 a2bc，则，则 abababc2 abc4，当且仅，当且仅当当 abc 时，等号成立，因此时，等号成立，因此 abab4，故，故 B 正确；正确； C 选 项 ，选 项 ， a b2 c2a 2bc22abc 42 4 ， 当 且 仅 当， 当 且 仅 当 bc， a2bc， 即即 bc42， a2bc2 2 时，等号成立，此时时，等号成立，此时 bc4，故，故 C 正确；正确； D 选项，若选项，若 a1， bc2， 则能构成三角形，且满足则能构成三角形，且满足 abc4，但此时，但此时 abc54，即即 D 错误故选错误故选 A、B、C. 10设设 a1b1，b0，则下列不等式中恒成
8、立的是，则下列不等式中恒成立的是() A.1 a 1 b Cab2Da2b2 解析：解析：选选 CD对于对于 A，若，若 a2，b1 2，此时满足 ，此时满足 a1b1，但，但1 a 1 b，故 ，故 A 错误错误； 对于对于 B，若，若 a2，b1 2，此时满足 ，此时满足 a1b1，但，但1 a1b1 可得可得 a1b2，故，故 C 正确；正确； 对于对于 D，由，由 a1b1 可得可得 a21b2，故，故 D 正确正确 11下列函数中，最小值是下列函数中，最小值是 2 的是的是() Aym 4 m2(m 2)Byx22 1 x22 Cyx2 1 x2 Dyx 2 2 x 第 4 页 共
9、8 页 解析：解析：选选 AC对于对于 A，因为，因为 m20，所以，所以 ym 4 m2 m2 4 m2 22 m2 4 m2 22，当且仅当，当且仅当 m2 4 m2，即 ，即 m0 时，等号成立，所以该函时，等号成立，所以该函 数的最小值是数的最小值是 2，故，故 A 正确；正确； 对于对于 B，yx22 1 x22 2x22 1 x22 2，当且仅当，当且仅当 x22 1 x22， ， 即即 x21 时，等号成立，显然时，等号成立，显然 x21 不可能成立，故不可能成立，故 B 不符合题意；不符合题意； 对于对于 C，yx2 1 x2 2x2 1 x2 2，当且仅当，当且仅当 x2 1
10、 x2，即 ，即 x1 时，等号成立，所以时，等号成立，所以 该函数的最小值是该函数的最小值是 2，故，故 C 正确；正确； 对于对于 D，当，当 x0 时，时，yx 2 2 x0(a0)的解集是的解集是x|x1xx2(x1x2)， 则则() Ax1x22Bx1x24D1x1x20(a0) 的 解 集 是的 解 集 是 x|x1xx2(x1x2)， a0，x1，x2是一元二次方程是一元二次方程 ax22ax13a0 的两根的两根x1x22，x1x21 3a a 1 a 34. 由由 x2x14，可得，可得1x1x2b，a1 ab 1 b同时成立，则 同时成立，则 ab 应满足的条件是应满足的条
11、件是_ 解析：解析：因为因为 a1 ab 1 b，所以 ，所以 a1 a b1 b a b ab1 ab 0. 又又 ab，即，即 ab0，所以，所以ab 1 ab 0，从而，从而 ab(ab1)0，所以，所以 ab0. 答案：答案：ab0 14当当 xx|0 x0 时恒成立，则实数时恒成立，则实数 m 的取值范围是的取值范围是 _ 解析：解析：因为当因为当 xx|0 x0 恒成立，所以恒成立，所以 3m2x6 x在 在 x x|0 x2时恒成立，由时恒成立，由 2x6 x 22x6 x 4 3，当且仅当，当且仅当 2x6 x即 即 x 3x|0 x2时时， 第 5 页 共 8 页 等号成立，
12、所以等号成立，所以 3m4 3，即，即 m4 3 3 ，所以，所以 m 的取值范围是的取值范围是 m|m 4 3 3. 答案：答案： m|m 4 3 3 15规定规定：“ ”表示一种运算表示一种运算，即即 a b abab(a，b 为正实数为正实数)若若 1 k3，则则 k 的值为的值为_，此时函数，此时函数 yk x x 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：由题意得由题意得 1 k k1k3，即，即 k k20， 解得解得 k1 或或 k2(舍去舍去)，所以，所以 k1，故，故 k 的值为的值为 1. 又又 y1 x x xx1 x 1 x 1 x 123， 当且仅当当且仅当 x 1 x，即
13、 ，即 x1 时取等号，时取等号， 故函数故函数 yk x x 的最小值为的最小值为 3. 答案：答案：13 16某商品进货价每件某商品进货价每件 50 元元，据市场调查据市场调查，当销售价格当销售价格(每件每件 x 元元)在在 50 x80 时时，每每 天售出的件数天售出的件数 P 105 x40 2，则销售价格每件应定为 ，则销售价格每件应定为_元时取得最大利润，最大利润元时取得最大利润，最大利润 是是_元元 解析：解析：设每天获得利润为设每天获得利润为 y 元，元， 则则 y(x50)P10 5 x 50 x40 2 ， 设设 x50t， 则则 00，试比较，试比较 a 与与1 a的大小
14、 的大小 解：解：a1 a a 2 1 a a 1 a1 a . 因为因为 a0，所以当，所以当 a1 时，时， a 1 a1 a 0，有，有 a1 a； ； 当当 a1 时，时， a 1 a1 a 0，有，有 a1 a； ； 第 6 页 共 8 页 当当 0a1 时，时， a 1 a1 a 0，有，有 a1 时，时，a1 a； ； 当当 a1 时，时，a1 a；当 ；当 0a1 时，时，a0，Bx|x22x30 (1)求集合求集合 AB； (2)若不等式若不等式 2x2axb0 x|2x0 x|3x1， 故故 ABx|2x1 (2)因为因为 2x2axb0 的解集为的解集为 Bx|3x1，
15、所以所以3 和和 1 为方程为方程 2x2axb0 的两个根的两个根 所以有所以有 2 3 23ab0， 212ab0， 解得解得 a4， b6. 19(12 分分)已知已知 a，b，c 为互不相等的正数为互不相等的正数，且且 abc1，求证求证： a b c1 a 1 b 1 c. 证明：证明：法一：法一：a，b，c 为互不相等的正数，且为互不相等的正数，且 abc1， a b c 1 bc 1 ca 1 ababc2 a2bc ab2c a b c. 故原不等式成立故原不等式成立 20(12 分分)已知已知 a0，b0，且，且(ab) ab1. (1)求求 1 a3 1 b3的最小值 的最
16、小值； (2)是否存在是否存在 a，b，使得使得 1 2a 1 3b的值为 的值为 6 3 ？并说明理由并说明理由 解解：a0，b0，且且(ab) ab1， ab 1 ab， ， 又又 ab2 ab(当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号)， 1 ab 2 ab，ab1 2. 第 7 页 共 8 页 (1) 1 a3 1 b3 2 1 a3 1 b3 2 ab ab 4 2， 当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号 (2)不存在不存在理由理由：a0，b0， 1 2a 1 3b 2 1 2a 1 3b 2 6ab 2 3 3 ，当且仅当当且仅当 ab 时时 取等号取等号 6 3 2 3 3
17、，不存在不存在 a，b，使得，使得 1 2a 1 3b的值为 的值为 6 3 . 21(12 分分)某工厂生产商品某工厂生产商品 M，若每件定价，若每件定价 80 元，则每年可销售元，则每年可销售 80 万件，税务部门万件，税务部门 对市场销售的商品要征收附加税为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确对市场销售的商品要征收附加税为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确 定征收的税率据市场调查，若政府对商品定征收的税率据市场调查，若政府对商品 M 征收的税率为征收的税率为 P%(即每百元征收即每百元征收 P 元元)时，时， 每年的销售量减少每年的销售量减少 10P 万件，据此，问
18、：万件，据此，问： (1)若税务部门对商品若税务部门对商品 M 每年所收税金不少于每年所收税金不少于 96 万元，求万元，求 P 的取值范围；的取值范围； (2)在所收税金不少于在所收税金不少于 96 万元的前提下万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定应如何确定 P 值；值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定 P 值值 解：解：税率为税率为 P%时，销售量为时，销售量为(8010P)万件，万件， 即销售额为即销售额为 y180(8010P)， 税金为税金为 y280(8010P)P%， 其中其中 0P8.
19、 (1)由由 80 8010P P%96， 0P8， 解得解得 2P6. 故故 P 的取值范围为的取值范围为P|2P6 (2)y180(8010P)(2P6)， 当当 P2 时，时，y1取最大值，为取最大值，为 4 800 万元万元 (3)0P8， y280(8010P)P%8(P4)2128， 当当 P4 时，国家所得税收金额最高为时，国家所得税收金额最高为 128 万元万元 22(12 分分)设设 yax2(1a)xa2. (1)若不等式若不等式 y2 对一切实数对一切实数 x 恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)解关于解关于 x 的不等式的不等式 ax2(1
20、a)xa20， 1a 24a20， 解得解得 a1 3. 所以实数所以实数 a 的取值范围是的取值范围是 a|a 1 3. (2)不等式不等式 ax2(1a)xa2a1 等价于等价于 ax2(1a)x10. 当当 a0 时，不等式可化为时，不等式可化为 x1，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为x|x0 时，不等式可化为时，不等式可化为(ax1)(x1)0，此时，此时1 a 1，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为 x| 1 ax1； 当当 a0 时，不等式可化为时，不等式可化为(ax1)(x1)0， 当当 a1 时，时，1 a 1，不等式的解集为，不等式的解集为x|x1； 当当1a1，不等式的解集为 ，不等式的解集为 x|x1 a； 当当 a1 时，时，1 a1，不等式的解集为 ，不等式的解集为 x|x1 . 综上所述综上所述，当当 a1 时时，不等式的解集为不等式的解集为 x|x1 ；当当 a1 时时，不等式的不等式的 解集为解集为x|x1；当；当1a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x|x1 a；当；当 a0 时，不等式时，不等式 的解集为的解集为 x|x0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x| 1 ax1.
