1、教材高考审题答题 解析几何热点问题 核心热点真题印证核心素养 直线方程、 定值问题 2019全国卷，19；2018全国卷， 19；2018北京，19 数学运算、 逻辑推理 椭圆方程、 定点问题 2020全国卷，20；2020全国卷， 20；2019北京，19；2017全国卷， 20 数学运算、 逻辑推理 直线与椭圆 2020北京，20；2019全国卷，19； 2018全国卷，20 数学运算、 逻辑推理 直线与抛物线 2020全国卷，19；2019全国卷， 21；2019北京，18；2018全国卷， 19 数学运算、 逻辑推理 求曲线方程及直线与圆锥曲线的综合问题 (选择性必修第一册练习 B 第
2、一题)根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两顶点坐标为(0，6)，且经过点(5，4)； (2)焦距是 12，离心率是 0.6，焦点在 x 轴上. 试题评析问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方 法都是利用曲线的几何性质. 【教材拓展】设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C 7 2p，0，AF 与 BC 相交于点 E，若|CF|2|AF|，且 ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为_ 答案6 解析 不妨设 A 在第一象限，易知抛物线的焦点 F 的坐标为 p 2，0， 又|CF|2|AF|且|CF| 7
3、 2p p 2|3p， |AB|AF|3 2p， 可得 A(p， 2p) 易知AEBFEC，|AE| |FE| |AB| |FC| 1 2， 故 SACE1 3S ACF1 33p 2p 1 2 2 2 p23 2， p26，p0，p 6. 探究提高1.解答本题的关键有两个： (1)利用抛物线的定义求出点 A 的坐标， (2) 根据AEBFEC 求出线段比， 进而得到面积比并利用条件“SACE3 2”求 解 2对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利 用平面几何的知识，能起到简化运算的作用 【链接高考】 (2020天津卷)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的
4、一个顶点为 A(0， 3)， 右焦点为 F，且|OA|OF|，其中 O 为原点 (1)求椭圆的方程； (2)已知点 C 满足 3OC OF ， 点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)， 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程 解(1)由已知可得 b3.记半焦距为 c，由|OF|OA|可得 cb3. 又由 a2b2c2，可得 a218. 所以椭圆的方程为x 2 18 y2 9 1. (2)因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，所以 ABCP. 依题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在 设直线 AB 的方程为 ykx3.由
5、方程组 ykx3， x2 18 y2 9 1， 消去 y，可得(2k21)x212kx0， 解得 x0 或 x 12k 2k21. 依题意，可得点 B 的坐标为 12k 2k21， 6k23 2k21 . 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0，3)， 所以点 P 的坐标为 6k 2k21， 3 2k21 . 由 3OC OF ，得点 C 的坐标为(1，0)， 故直线 CP 的斜率为 3 2k210 6k 2k211 3 2k26k1. 又因为 ABCP，所以 k 3 2k26k11， 整理得 2k23k10，解得 k1 2或 k1. 所以直线 AB 的方程为 y1 2x3 或
6、yx3. 圆锥曲线中的证明问题 【例题】(2019北京卷)已知抛物线 C：x22py(p0)经过点(2，1) (1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点， 过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M， N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经 过 y 轴上的两个定点 自主解答 (1)解由抛物线 C：x22py 经过点(2，1)得 p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y，其准线方程为 y1. (2)证明抛物线 C 的焦点为 F(0，1) 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 ykx1， x
7、24y 得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1 y1， 同理得 B 的横坐标 xBx2 y2. 设点 D(0，n)，则DA x1 y1，1n， DB x2 y2，1n， DA DB x1x2 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x1x2(n1) 24(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，3) 探究提高1.解决本题的关键是直径所对的圆周
8、角为直角，要证明直线经过 y 轴 上定点 D，只需满足DA DB 0，进而求解 类似的还有角的关系转化为斜率之间的关系， 线段的长度比转化为线段端点的坐 标之比 2解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推 理及运算，借助几何直观，达到证明的目的 【尝试训练】(2021重庆诊断)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，右 焦点为 F， 以原点 O 为圆心， 椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，过定点 P(2，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，连接 AF 并延长交 C
9、于 M，求证：PFMPFB. (1)解依题意可设圆 C 的方程为 x2y2b2， 圆 C 与直线 xy 20 相切， b | 2| 12121， a2c21，由c a 2 2 ，解得 a 2， 椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)证明依题意可知直线 l 斜率存在，设 l 的方程为 yk(x2)， 代入x 2 2 y21，整理得(12k2)x28k2x8k220， l 与椭圆有两个交点，0，即 2k210， 解得 k1，又因为 k0，故 k0 或 0k1)的左、右 顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB 8，P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一 交点为 C，PB 与 E 的
10、另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点 (1)解由题设得 A(a，0)，B(a，0)，G(0，1) 则AG (a，1)，GB (a，1) 由AG GB 8，得 a218， 解得 a3 或 a3(舍去) 所以椭圆 E 的方程为x 2 9 y21. (2)证明设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t) 若 t0，设直线 CD 的方程为 xmyn，由题意可知3nb0)， 由题意得 a2， c a 3 2 ，解得 c 3，所以 b 2a2c21， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)证明设 M(m，n)，则 D(m，0)，N(m，n)， 由题设
11、知 m2，且 n0. 直线 AM 的斜率 kAM n m2， 故直线 DE 的斜率 kDEm2 n ， 所以直线 DE 的方程为 ym2 n (xm)， 直线 BN 的方程为 y n 2m(x2) 联立 ym2 n （xm） ， y n 2m（x2） ， 解得点 E 的纵坐标 yEn（4m 2） 4m2n2 . 由点 M 在椭圆 C 上，得 4m24n2，所以 yE4 5n. 又 SBDE1 2|BD|y E|2 5|BD|n|， SBDN1 2|BD|n|， 所以BDE 与BDN 的面积之比为 45. 3(2021武汉模拟)已知 E：x24y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于
12、坐 标轴，l 与 E 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)若 m2，点 K 在椭圆 E 上，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，求KF1 KF2 的取 值范围 (2)若 l 过点 m，m 2 ，射线 OM 与椭圆 E 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四 边形？若能，求此时直线 l 的斜率；若不能，说明理由 解(1)若 m2，则椭圆 E：x 2 4 y21，两个焦点 F1( 3，0)，F2( 3，0)， 设 K(x，y)，则F1K (x 3，y)，F2K (x 3，y)， KF1 KF2 F1K F2K (x 3，y)(x 3，y)x2y233y21， 因为1y1， 所以K
13、F1 KF2 的取值范围是2，1 (2)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x214y21m2， x224y22m2 两式相减， 得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 14（y1y2） （y1y2） （x1x2） （x1x2）0， 即 14kOMkl0，故 kOMkl1 4. 设 P(xP，yP)，直线 l：yk(xm)m 2 (m0，k0)， 即 l：ykxkmm 2 (m0，k0)， 从而 OM：y 1 4kx，代入椭圆方程得，x 2 P 4m2k2 4k21， 将 yk(xm)m 2 与 y 1 4kx 联立，得 x M4k 2m2km 4k
14、21 ， 若四边形 OAPB 为平行四边形，则 M 是 OP 的中点，所以 2xMxP， 即 4 4k2m2km 4k21 2 4m2k2 4k21，整理得 12k 216k30，解得 k4 7 6 ，经检验满 足题意 所以当直线 l 的斜率 k4 7 6 时，四边形 OAPB 为平行四边形 4 (2021石家庄综合训练)已知椭圆C1： x2 a2 y2 b21(ab0)和圆C 2： x2y2r2(r0)， F1，F2分别为椭圆 C1的左、右焦点，点 B(0， 3)在椭圆 C1上，当直线 BF1与圆 C2相切时，r 3 2 . (1)求椭圆 C1的方程； (2)直线 l：ykxm(k0，m0)
15、与 x 轴交于点 Q，且与椭圆 C1和圆 C2都相切， 切点分别为 M， N， 记F1F2M 和QF2N 的面积分别为 S1和 S2， 求（mk）S2 S1 的 最小值 解(1)由题意可知 b 3. 设 F1(c，0)，则由 BF1与圆 C2相切时，r 3 2 ， 得bc a 3 2 ，即 ca 2. 将代入 a2b2c2解得 a2.所以椭圆 C1的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将 ykxm 代入x 2 4 y 2 3 1 得(4k23)x28kmx4m2120， 由直线 l 与椭圆 C1相切得0，即 m24k23，且 x1 4km 4k23， y1 3m 4k23. 则F1F2M 的面积 S11 2|F 1F2|y1 3m 4k23. 由直线 l 与圆 C2相切，设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON：y1 kx，与 ykx m 联立得 x2km k21， y2 m k21. 直线 l：ykxm(k0，m0)与 x 轴交于点 Q，则 Q m k ，0 . 则QF2N 的面积 S21 2|QF 2|y2 m（km） 2k（k21）. 从而（mk）S2 S1 m（km） （mk） 2k（k21） 3m 4k23 2k 3 2k2 3(当且仅当 k 3 2 时等号成 立)， 所以（mk）S2 S1 的最小值为 2 3.
