1、INNOVATIVE DESIGN 第七章 第1节空间点、直线、平面之间的位置关系 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.平面的基本事实与推论平面的基本事实与推论 (1)平面的基本事实平面的基本事实(也称为公理也称为公理) 基本事实基本事实1：经过经过_一一条直线上的条直线上的3个点，有且只有一个平面个点，有且只有一个平面.也可简单说成也可简单说成： _的的3点确定一个平面点确定一个平面. 基本事实基本事实2：如果一条直线上：如果一条直线上的的_在在一个平面内，那么这条直线在这个平面一个平面内
2、，那么这条直线在这个平面 内内. 基本事实基本事实3：如果两个不重合的平面：如果两个不重合的平面有有_公共公共点，那么它们有且只有一条过该点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线点的公共直线. (2)平面的基本事实的推论平面的基本事实的推论 推论推论1：经过一条直线与直线：经过一条直线与直线外外_，有且只有一个平面有且只有一个平面. 推论推论2：经过两：经过两条条_直线直线，有且只有一个平面有且只有一个平面. 推论推论3：经过两：经过两条条_直线直线，有且只有一个平面，有且只有一个平面. 不在不在 不共线不共线 两个点两个点 一个一个 一点一点 相相交交 平行平行 索引 2.空间点、直线、平
3、面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线直线与直线直线与平面直线与平面平面与平面平面与平面 平行平行 关系关系 图形图形 语言语言 符号符号 语言语言 abl 索引 相交相交 关系关系 图形图形 语言语言 符号符号 语言语言 abAmAl 独有独有 关系关系 图形图形 语言语言 符号符号 语言语言 a，b是异面直线是异面直线l 索引 (1)平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相互相_，用符号用符号 可表示为：如果可表示为：如果ab，ac，则则_. (2)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别等角定理：如果一个角的
4、两边与另一个角的两边分别对应对应_，并且并且 方向相同，那么这两个方向相同，那么这两个角角_. 3.平行直线的传递性、等角定理平行直线的传递性、等角定理 平行平行 b bc c 平行平行 相等相等 索引 4.直线与直线所成的角直线与直线所成的角 (1)一般地，如果一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中是空间中的两条异面直线，过空间中_，分别，分别 作与作与a，b_的直线的直线a，b，则，则a，b所成角的大小，称为异面直线所成角的大小，称为异面直线a 与与b所成角的大小所成角的大小. 任意一点任意一点 平行或重合平行或重合 索引 基本事实基本事实3的作用：其一可判定两个平面是否相交的
5、作用：其一可判定两个平面是否相交.只要两个平面有一个公共点，只要两个平面有一个公共点， 就可判定这两个平面必相交于过这点的公共直线；其二可以判定点在直线上就可判定这两个平面必相交于过这点的公共直线；其二可以判定点在直线上.若若 点是两个平面的公共点，线是两个平面的交线，则点在线上点是两个平面的公共点，线是两个平面的交线，则点在线上. 2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点 的直线互为异面直线的直线互为异面直线. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内两异面直线所成的
6、角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内 角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)两个平面两个平面，有一个公共点有一个公共点A，就说，就说，相交于过相交于过A点的任意一条直线点的任意一条直线. () (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. () (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. () (4)若直线若直线a不平行于平面不平行于平
7、面，且，且a ，则，则内的所有直线与内的所有直线与a异面异面. () 解析解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线，故错误点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于由于a不平行于平面不平行于平面，且，且a ，则，则a与平面与平面相交，故平面相交，故平面内有与内有与a相交的相交的 直线，故错误直线，故错误. 索引 2.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，
8、E，F分别是分别是AB， AD的中点，则异面直线的中点，则异面直线B1C与与EF所成角的大小为所成角的大小为 () A.30 B.45 C.60 D.90 解析解析连接连接B1D1，D1C，则，则B1D1EF， 故故D1B1C或其补角为所求的角或其补角为所求的角. 又又B1D1B1CD1C， D1B1C60. C 索引 3.如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中，E，F，G，H分别是棱分别是棱AB， BC，CD，DA的中点，则的中点，则 (1)当当AC，BD满足条件满足条件_时，四边形时，四边形EFGH为菱形；为菱形； 解析解析(1)四边形四边形EFGH为菱形，为菱形， EFEH， ACB
9、D. ACBD 索引 3.如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中，E，F，G，H分别是棱分别是棱AB， BC，CD，DA的中点，则的中点，则 (2)当当AC，BD满足条件满足条件_时，时， 四边形四边形EFGH为正方形为正方形. 解析解析 四边形四边形EFGH为正方形，为正方形， EFEH且且EFEH， ACBD且且ACBD. ACBD且且 ACBD 索引 4(多选题多选题)(2020长沙质检长沙质检)是是一个平面，一个平面，m，n是两条直线，是两条直线，A是一个点，若是一个点，若 m ，n，且，且Am，A，则，则m，n的位置关系可能是的位置关系可能是 ( ) A垂直垂直 B相交相交 C异
10、面异面 D平行平行 解析解析依题意依题意，mA，n， m与与n可能异面、相交可能异面、相交(垂直是相交的特例垂直是相交的特例)，一定不平行一定不平行. ABC 索引 5.(2021日照质检日照质检)若若直线直线l1和和l2是异面直线，是异面直线，l1在平面在平面内，内，l2在平面在平面内，内，l是平面是平面 与平面与平面的交线，则下列命题正确的是的交线，则下列命题正确的是 () A.l与与l1，l2都不相交都不相交 B.l与与l1，l2都相交都相交 C.l至多与至多与l1，l2中的一条相交中的一条相交 D.l至少与至少与l1，l2中的一条相交中的一条相交 解析解析由于由于l与直线与直线l1，l
11、2分别共面，故直线分别共面，故直线l与与l1，l2要么都不相交，要么至少要么都不相交，要么至少 与与l1，l2中的一条相交中的一条相交.若若ll1，ll2，则，则l1l2，这与，这与l1，l2是异面直线矛盾是异面直线矛盾.故故l 至少与至少与l1，l2中的一条相交中的一条相交. D 索引 解析解析如图，连接如图，连接BE，因为，因为ABCD， 所以异面直线所以异面直线AE与与CD所成的角等于相交直线所成的角等于相交直线 AE与与AB所成的角，所成的角， 即即EAB.不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为2， 又由又由AB平面平面BCC1B1可得可得ABBE， C 考点分层突破 题型剖析考点聚
12、焦2 索引 1.(多选题多选题)如如图是正方体或四面体，图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四分别是所在棱的中点，则这四 个点共面的图是个点共面的图是 ( ) 解析解析对于对于A，PSQR，故，故P，Q，R，S四点共面；同理，四点共面；同理，B，C图中四点也图中四点也 共面；共面；D中四点不共面中四点不共面. 考点一平面的基本性质及应用 / 自主演练自主演练 ABC 索引 2.如图所示，平面如图所示，平面平面平面l，A，B，ABlD， C，C l，则平面，则平面ABC与平面与平面的交线是的交线是 () A.直线直线ACB.直线直线AB C.直线直线CDD.直线直线BC 解
13、析解析由题意知，由题意知，Dl，l，所以，所以D， 又因为又因为DAB，所以，所以D平面平面ABC， 所以点所以点D在平面在平面ABC与平面与平面的交线上的交线上. 又因为又因为C平面平面ABC，C， 所以点所以点C在平面在平面与平面与平面ABC的交线上，的交线上， 所以平面所以平面ABC平面平面CD. C 索引 3.在三棱锥在三棱锥ABCD的边的边AB，BC，CD，DA上分别取上分别取E，F，G，H四点，如果四点，如果 EFHGP，则点，则点P () A.一定在直线一定在直线BD上上 B.一定在直线一定在直线AC上上 C.在直线在直线AC或或BD上上 D.不在直线不在直线AC上，也不在直线上
14、，也不在直线BD上上 解析解析如图所示，如图所示， 因为因为EF平面平面ABC， HG平面平面ACD，EFHGP， 所以所以P平面平面ABC，P平面平面ACD. 又因为平面又因为平面ABC平面平面ACDAC，所以，所以PAC. B 索引 1.证明点或线共面问题的两种方法：证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线首先由所给条件中的部分线(或点或点)确定一确定一 个平面，然后再证其余的线个平面，然后再证其余的线(或点或点)在这个平面内；在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，将所有条件分为两部分， 然后分别确定平面，再证两平面重合然后分别确定平面，再证两平面重合. 2.证明点
15、共线问题的两种方法：证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在先由两点确定一条直线，再证其他各点都在 这条直线上；这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线如某两个平面的交线)上上. 3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经 过该点过该点. 感悟升华 索引 【例例1】 (1)(多选题多选题)(2021广州六校联考广州六校联考)如如图，在正方体图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，M，N，P分别是分别是
16、C1D1，BC，A1D1 的中点，下列结论正确的是的中点，下列结论正确的是 ( ) A.AP与与CM是异面直线是异面直线B.AP，CM，DD1相交于一点相交于一点 C.MNBD1D.MN平面平面BB1D1D 解析解析连接连接MP，AC(图略图略)，因为，因为MPAC，MPAC， 所以所以AP与与CM是相交直线，是相交直线， 又面又面A1ADD1面面C1CDD1DD1， 所以所以AP，CM，DD1相交于一点，则相交于一点，则A不正确，不正确，B正确正确. 令令ACBDO，连接，连接OD1，ON. 因为因为M，N分别是分别是C1D1，BC的中点，的中点， 考点二空间两直线的位置关系 / 师生共研师
17、生共研 BD 索引 则四边形则四边形MNOD1为平行四边形，所以为平行四边形，所以MNOD1， 因为因为MN 平面平面BD1D，OD1平面平面BD1D， 所以所以MN平面平面BD1D，C不正确，不正确，D正确正确. 索引 【例例1】 (2)(2019全国全国卷卷)如如图，点图，点N为正方形为正方形ABCD的中心，的中心， ECD为正三角形，平面为正三角形，平面ECD平面平面ABCD，M是线段是线段ED的的 中点，则中点，则() A.BMEN，且直线，且直线BM，EN是相交直线是相交直线 B.BMEN，且直线，且直线BM，EN是相交直线是相交直线 C.BMEN，且直线，且直线BM，EN是异面直线
18、是异面直线 D.BMEN，且直线，且直线BM，EN是异面直线是异面直线 解析解析取取CD的中点的中点O，连接，连接ON，EO，因为，因为ECD为正三角形，为正三角形， 所以所以EOCD， 又平面又平面ECD平面平面ABCD，平面，平面ECD平面平面ABCDCD，EO平面平面ECD， 所以所以EO平面平面ABCD. B 索引 所以所以EN2EO2ON24，得，得EN2. 所以所以BMEN.连接连接BD，BE， 因为四边形因为四边形ABCD为正方形，所以为正方形，所以N为为BD的中点，的中点， 即即EN，MB均在平面均在平面BDE内，所以直线内，所以直线BM，EN是相交直线，故选是相交直线，故选B
19、. 索引 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异面直线的判异面直线的判 定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形梯形)中位线的性质、中位线的性质、 公理公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或 面面垂直的性质来解决面面垂直的性质来解决. 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)(2020河南名校联考河南名校联考)已已知空间三条直线知空间三条直线l，m，n，若，若
20、l与与m垂直，垂直，l 与与n垂直，则垂直，则 () A.m与与n异面异面B.m与与n相交相交 C.m与与n平行平行D.m与与n平行、相交、异面均有可能平行、相交、异面均有可能 解析解析因为因为ml，nl，结合长方体模型可知，结合长方体模型可知m与与n可以相交，也可以异面，可以相交，也可以异面， 还可以平行还可以平行. D 索引 【训练训练1】(2)(多选题多选题)(2021重庆质检重庆质检)四四棱锥棱锥PABCD的所有棱长都相等，的所有棱长都相等，M， N分别为分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是的中点，下列说法正确的是 ( ) A.MN与与PD是异面直线是异面直线B.MN平面平面PBC
21、 C.MNACD.MNPB 解析解析如图所示，取如图所示，取PB的中点的中点H，连接，连接MH，HC， 由题意知，四边形由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且为平行四边形，且MNHC， 所以所以MN平面平面PBC，设四边形，设四边形MHCN确定平面确定平面， 又又D，故，故M，N，D共面，但共面，但P 平面平面，D MN， 因此因此MN与与PD是异面直线；故是异面直线；故A，B说法均正确说法均正确. 若若MNAC，由于，由于CHMN，则，则CHAC， 事实上事实上ACCHC，C说法不正确；说法不正确； 因为因为PCBC，H为为PB的中点，的中点， 所以所以CHPB，又，又CHMN， 所以所以
22、MNPB，D说法正确说法正确. ABD 索引 解析解析法一法一如图，连接如图，连接BD1，交，交DB1于于O，取，取AB的中点的中点M，连接，连接DM，OM. 易知易知O为为BD1的中点，的中点， 考点三异面直线所成的角 / 典例迁移典例迁移 C DB1 AB2AD2DD2 1 5. 索引 于是在于是在DMO中，由余弦定理，中，由余弦定理， 索引 法二法二以以D为坐标原点，为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴，轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示轴建立空间直角坐标系，如图所示. 索引 解析解析如图，过点如图，过点S作作SFOE，交，交AB于点于点F，连接，
23、连接CF， 则则CSF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线SC与与OE所成的角所成的角. D SE1 3BE. 又又OB3， 索引 SOOC，SOOC3， SOOF， OCOF， 在等腰在等腰SCF中，中， 索引 解析解析连接连接BC1，易证，易证BC1AD1，则，则A1BC1(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线A1B与与AD1所所 成的角成的角. 连接连接A1C1，由，由AB1，AA12， cosA1BC1A 1B 2 BC2 1 A1C2 1 2A1BBC1 4 5. 索引 解解设设AA1t，ABBC1， 解之得解之得t3，则，则AA13. 索引 1.综合法求异面直线所成角的步骤：
24、综合法求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线作：通过作平行线得到相交直线. (2)证：证明所作角为异面直线所成的角证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角或其补角). (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求 的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 2.向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值. 感悟升华 索引 A 解析解析如图所示，设平面如图所示，设平面CB1D1平面平面ABC
25、Dm1， 平面平面CB1D1，则，则m1m，又，又平面平面ABCD平面平面A1B1C1D1， 平面平面CB1D1平面平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1， B1D1m，同理可得，同理可得CD1n. 故故m，n所成角的大小与所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，所成角的大小相等， 即即CD1B1的大小的大小.又又B1CB1D1CD1(均为面对角线均为面对角线)， 索引 立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性 较强，培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养较强，培养学生直观想象和逻辑推
26、理等数学核心素养. 立体几何中的截面问题 索引 解析解析如图，依题意，平面如图，依题意，平面与棱与棱BA，BC，BB1所在直线所所在直线所 成角都相等，容易得到平面成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于符合题意，进而所有平行于 平面平面AB1C的平面均符合题意的平面均符合题意. 由对称性，知过正方体由对称性，知过正方体ABCDA1B1C1D1中心的截面面积应取中心的截面面积应取 最大值，此时截面为正六边形最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ. A 易知正六边形易知正六边形 EFGHIJ 的的边长为边长为 2 2 ，将该正六边形分成，将该正六边形分成 6 个边长为个边长为 2
27、 2 的正三角形的正三角形. 故其面积为故其面积为 6 3 4 2 2 2 3 3 4 . 索引 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；确定平面的条件； (2)三线共点的条件；三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理面面平行的性质定理. 思维升华 索引 A 解析解析延长延长AN，与，与CC1的延长线交于点的延长线交于点P，则，则P平面平面BB1C1C， 连接连接PM，与，与B1C1交于点交于点E，连接，连接NE，得到的四边形，得到的四边形AMEN是平是平 面面AMN截截“堑堵堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形，所
28、得截面图形， 索引 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 一、选择题一、选择题 1.(多选题多选题)(2021重庆一中月考重庆一中月考)下下列说法正确的是列说法正确的是 () A.梯形的四个顶点共面梯形的四个顶点共面 B.三条平行直线共面三条平行直线共面 C.有三个公共点的两个平面重合有三个公共点的两个平面重合 D.三条直线两两相交，可以确定三条直线两两相交，可以确定1个或个或3个平面个平面 解析解析因为梯形的两个底边相互平行，所以其四个顶点共面，故因为梯形的两个底边相互平行，所以其四个顶点共面，故A正确；正确； 例
29、如三棱柱的三条平行棱不共面，故例如三棱柱的三条平行棱不共面，故B错误；错误； C中的两个平面重合或相交，故中的两个平面重合或相交，故C错误；错误； 三条直线交于同一点时，可确定三条直线交于同一点时，可确定3个平面，三条直线不交于同一点时，只能确个平面，三条直线不交于同一点时，只能确 定一个平面，定一个平面，D正确正确. AD 0112131407080910110203040506索引 2.如图，已知三棱柱如图，已知三棱柱ABCABC的底面是正三角形，的底面是正三角形， 侧棱侧棱AA底面底面ABC，AB9，AA3，点，点P在四边在四边 形形ABBA内，且内，且P到到AA，AB的距离都等于的距离
30、都等于1， 若若D为为BC上靠近上靠近C的四等分点，过点的四等分点，过点P且与且与AD平行的平行的 直线交三棱柱直线交三棱柱ABCABC于点于点P，Q两点，则点两点，则点Q所在平面是所在平面是 () A.ACCA B.BCCB C.ABCD.ABBA 解析解析如下图所示，连接如下图所示，连接AP并延长交直线并延长交直线AB于点于点M， C 0112131407080910110203040506索引 由于点由于点P在四边形在四边形AABB内，且点内，且点P到到AA，AB的距离都等于的距离都等于1， 可知可知AAM45， 则则AAM为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且AMAA3AB， 所以，
31、点所以，点M在线段在线段AB上上. 连接连接DM，由于点，由于点P在线段在线段AM上，过点上，过点P作作PQAD交交DM于点于点Q， 则点则点Q即为所求，且点即为所求，且点Q在线段在线段DM上，因此，点上，因此，点Q在平面在平面ABC内内.故选故选C. 0112131407080910110203040506索引 3.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 () A.若直线若直线a，b异面，异面，b，c异面，则异面，则a，c异面异面 B.若直线若直线a，b相交，相交，b，c相交，则相交，则a，c相交相交 C.若若ab，则，则a，b
32、与与c所成的角相等所成的角相等 D.若若ab，bc，则，则ac 解析解析若直线若直线a，b异面，异面，b，c异面，则异面，则a，c相交、平行或异面；相交、平行或异面； 若若a，b相交，相交，b，c相交，则相交，则a，c相交、平行或异面；若相交、平行或异面；若ab，bc， 则则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确正确. C 0112131407080910110203040506索引 解析解析如图，取如图，取B1C1的中点的中点D1，连接，连接A1D1，则，则ADA1D1， 所以异面直线所以异面直线A1C与与AD所成的角就是所成的角
33、就是A1C与与A1D1所成的角，所成的角， 即即CA1D1(或其补角或其补角).连接连接D1C. 易得易得A1D1C为直角三角形，为直角三角形， CA1D160. C 0112131407080910110203040506索引 5.(多选题多选题)下下图中，图中，G，N，M，H分别是正三棱柱分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱两底面为正三角形的直棱柱)的的 顶点或所在棱的中点，则表示直线顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有是异面直线的图形有 ( ) 解析解析图图A中，直线中，直线GHMN； 图图B中，中，G，H，N三点共面，但三点共面，但M 平面平面GHN，N GH
34、，因此直线，因此直线GH与与MN 异面；异面； 图图C中，连接中，连接MG，GMHN，因此，因此GH与与MN共面；共面； 图图D中，中，G，M，N共面，但共面，但H 平面平面GMN，G MN， 因此因此GH与与MN异面异面. BD 0112131407080910110203040506索引 解析解析设四面体设四面体ABCD的棱长为的棱长为2，取，取CD的中点的中点N，连接，连接MN，BN， M是棱是棱AD的中点，的中点， MNAC， BMN(或其补角或其补角)是异面直线是异面直线BM与与AC所成的角所成的角. C 0112131407080910110203040506索引 二、填空题二、填
35、空题 7.如如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且上，且ABCD，则直线，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_. 解析解析因为因为ABCD，由图可以看出，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外平行于正方体左右两个侧面，与另外 四个侧面相交四个侧面相交. 4 0112131407080910110203040506索引 8.如图，已知圆柱的轴截面如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，是正方形，C是圆柱下底面弧是圆柱下底面弧 AB的中点，的中点，C1是圆柱上底面弧是圆
36、柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线AC1 与与BC所成角的正切值为所成角的正切值为_. 解析解析取圆柱下底面弧取圆柱下底面弧AB的另一中点的另一中点D，连接，连接C1D，AD， 因为因为C是圆柱下底面弧是圆柱下底面弧AB的中点，的中点， 所以所以ADBC， 所以直线所以直线AC1与与AD所成角等于异面直线所成角等于异面直线AC1与与BC所成角所成角. 因为因为C1是圆柱上底面弧是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以的中点，所以C1D圆柱下底面，圆柱下底面， 所以所以C1DAD， 0112131407080910110203040506索引 9.如图是正四面体的平面展开图，如
37、图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为分别为DE，BE， EF，EC的中点，在这个正四面体中，的中点，在这个正四面体中，GH与与EF平行；平行； BD与与MN为异面直线；为异面直线；GH与与MN成成60角；角； DE与与MN垂直垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是以上四个命题中，正确命题的序号是_. 解析解析还原成正四面体还原成正四面体ADEF，其中，其中H与与N重合，重合，A，B，C三点重合三点重合. 易知易知GH与与EF异面，异面，BD与与MN异面异面. 又又GMH为等边三角形，为等边三角形， GH与与MN成成60角，角， 易证易证DEAF，MNAF， MNDE. 因此正确的序
38、号是因此正确的序号是. 0112131407080910110203040506索引 三、解答题三、解答题 10.在在正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中， (1)求异面直线求异面直线AC与与A1D所成角的大小；所成角的大小； 解解如图，连接如图，连接B1C，AB1，由，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知是正方体，易知A1DB1C， 从而从而B1C与与AC所成的角就是异面直线所成的角就是异面直线AC与与A1D所成的角所成的角. 在在AB1C中，中，AB1ACB1C， 所以所以B1CA60. 故异面直线故异面直线A1D与与AC所成的角为所成的角为60. 011213140708091
39、0110203040506索引 10.在在正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中， (2)若若E，F分别为分别为AB，AD的中点，求异面直线的中点，求异面直线A1C1与与EF所成角的大小所成角的大小. 解解连接连接BD，在正方体，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，ACBD，ACA1C1， 因为因为E，F分别为分别为AB，AD的中点，的中点， 所以所以EFBD，所以，所以EFAC. 所以所以EFA1C1. 故异面直线故异面直线A1C1与与EF所成的角为所成的角为90. 0112131407080910110203040506索引 11.(2020全国全国卷卷)如如图，在长方体图，在长方
40、体ABCDA1B1C1D1中，中， 点点E，F分别在棱分别在棱DD1，BB1上，且上，且2DEED1，BF2FB1.证明：证明： (1)当当ABBC时，时，EFAC； 证明证明如图，连接如图，连接BD，B1D1.因为因为ABBC， 所以四边形所以四边形ABCD为正方形，故为正方形，故ACBD. 又因为又因为BB1平面平面ABCD，于是，于是ACBB1. 又又BDBB1B， 所以所以AC平面平面BB1D1D. 由于由于EF平面平面BB1D1D， 所以所以EFAC. 0112131407080910110203040506索引 11.(2020全国全国卷卷)如如图，在长方体图，在长方体ABCDA1
41、B1C1D1中，点中，点E， F分别在棱分别在棱DD1，BB1上，且上，且2DEED1，BF2FB1.证明：证明： (2)点点C1在平面在平面AEF内内. 因为因为 ED12 3DD1， ，AG2 3AA1， ，DD1綊綊 AA1， 证明证明如图，在棱如图，在棱AA1上取点上取点G，使得，使得AG2GA1， 连接连接GD1，FC1，FG. 所以所以ED1綊綊AG，于是四边形，于是四边形ED1GA为平行四边形，故为平行四边形，故AEGD1. 所以所以B1FGA1是平行四边形，是平行四边形， 所以所以FG綊綊A1B1， 所以所以FG綊綊C1D1，四边形，四边形FGD1C1为平行四边形，故为平行四边
42、形，故GD1FC1. 于是于是AEFC1.所以所以A，E，F，C1四点共面，即点四点共面，即点C1在平面在平面AEF内内. B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 ACD 因此因此E，F，G，H共面，共面，A项正确；项正确； 0112131407080910110203040506索引 假设假设FG平面平面ADC成立，因为平面成立，因为平面ABC平面平面DACAC， 因为因为FG平面平面ABC，PFG， 所以所以P平面平面ABC，同理，同理P平面平面ADC， 因为平面因为平面ABC平面平面ADCAC， 所以所以PAC，所以，所以P，A，C三点共线，因此
43、三点共线，因此C正确；正确； 0112131407080910110203040506索引 13.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点O是底面是底面ABCD的中心，过的中心，过O点作一条直线点作一条直线l 与与A1D平行，设直线平行，设直线l与直线与直线OC1的夹角为的夹角为，则，则cos _. 解析解析如图所示，设正方体的表面如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为的中心为P，容易证明，容易证明OPA1D， 所以直线所以直线l即为直线即为直线OP，角，角即即POC1. 设正方体的棱长为设正方体的棱长为2，则，则 0112131407080910110203040506索引
44、 14.如图，在四棱锥如图，在四棱锥OABCD中，底面中，底面ABCD是边长为是边长为2的的 正方形，正方形，OA底面底面ABCD，OA2，M为为OA的中点的中点. (1)求四棱锥求四棱锥OABCD的体积；的体积； 解解由已知可求得正方形由已知可求得正方形ABCD的面积的面积S4， 0112131407080910110203040506索引 14.如图，在四棱锥如图，在四棱锥OABCD中，底面中，底面ABCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形，OA底面底面 ABCD，OA2，M为为OA的中点的中点. (2)求异面直线求异面直线OC与与MD所成角的正切值所成角的正切值. 解解如图，连接如图，连接AC，设线段，设线段AC的中点为的中点为E，连接，连接ME，DE， 又又M为为OA中点，中点，MEOC， DEM为直角三角形，且为直角三角形，且DEM90， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
