1、33幂函数幂函数 (一一)幂函数的概念幂函数的概念 1幂函数的定义幂函数的定义 一般地，函数一般地，函数 叫做幂函数，其中叫做幂函数，其中x是自变量，是自变量，是常数是常数 2幂函数的特征幂函数的特征 (1)x的系数为的系数为1； (2)x的底数是自变量；的底数是自变量； (3)x的指数为常数的指数为常数 yx 即时小练即时小练 1下列所给的函数中是幂函数的下列所给的函数中是幂函数的为为 ( ) Ay2x5Byx31Cyx 3 Dy3x 答案：答案：C 答案：答案：A (二二)幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质 1五个常见幂函数的图象五个常见幂函数的图象 2五个常见幂函数的性质五个常见幂函数
2、的性质 RRR 0，) (，0)(0，) 奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇 增增 增增 减减 增增增增 减减 减减 (1,1) 一般幂函数的性质一般幂函数的性质 (1)所有的幂函数在所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点上都有定义，并且图象都过点(1,1) (2)0时，幂函数的图象过原点，并且在区间时，幂函数的图象过原点，并且在区间0，)上是增函数上是增函数 (3)0时，幂函数在区间时，幂函数在区间(0，)上是减函数在第一象限内，当上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向从右边趋向 原点时，图象在原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴正半轴，当轴正半轴，当x趋于趋于时，图
3、象在时，图象在x轴上方无限轴上方无限 地逼近地逼近x轴正半轴轴正半轴 (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不 过第四象限过第四象限 (5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点除任何两个幂函数的图象最多有三个公共点除(1,1)，(0,0)，(1,1)，(1，1) 外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点 即时小练即时小练 1判断正误判断正误 (1)当当x(0,1)时，时，x2x3.() (2)幂函数幂函数yx的图象有可能经过的图象有可能经过(1，1)()
4、 (3)yx 与与yx 的定义域相同的定义域相同() (4)若若yx在在(0，)上为增函数，则上为增函数，则0.() 答案：答案：(1)(2) (3)(4) 答案：答案：A 解析解析(1)因为因为f(x)ax2a 1 b1是幂函数，是幂函数， 所以所以a1，b10， 即即a1，b1， 则则ab2. (2)设设f(x)x， f(4)16，416，解得，解得2， f(4)(4)216. 答案答案(1)A(2)16 方法技巧方法技巧 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是yx(为常数为常数)的形的形 式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式反过来，
5、若一个函数是幂式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式反过来，若一个函数是幂 函数，则该函数也必符合函数，则该函数也必符合yx(为常数为常数)的形式，这是我们解决某些问题的的形式，这是我们解决某些问题的 一个隐含条件一个隐含条件 对点训练对点训练 1在函数在函数yx 2， ，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数中，幂函数的个数为为 ( ) A0 B1 C2 D3 解析解析：根根据幂函数定义可知，只有据幂函数定义可知，只有yx 2是幂函数，所以选 是幂函数，所以选B. 答答案：案：B 2若若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则是幂函数，则m_. 解析：解析：因为因为f(x)是幂函数
6、，所以是幂函数，所以m24m41， 即即m24m50，解得，解得m5或或m1. 答案：答案：5或或1 答案答案(1)B(2)C 答案：答案：C 2 如图所示，曲线如图所示，曲线C1与与C2分别是函数分别是函数yxm和和yxn在第一象在第一象 限内的图象，则下列结论正确的是限内的图象，则下列结论正确的是 ( ) Anm0Bmnm0 Dmn0 解析：解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0.由曲线由曲线C1，C2 的图象可知的图象可知nm，故选，故选A. 答案：答案：A 方法技巧方法技巧比较幂值大小的两种基本方法比较幂值大小的两种基本方法 直接法
7、直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性 来比较来比较 转化法转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数， 再运用单调性比较大小再运用单调性比较大小 方法技巧方法技巧 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合、转化与化
8、归思想等 对点训练对点训练 已知幂函已知幂函数数 (mN*，且，且m2)为奇函数，且在区间为奇函数，且在区间(0，)上是减上是减 函数函数 (1)求求f(x)； (2)比较比较f(2 021)与与f(2)的大小的大小 又又mN*，m1或或2. 当当m1时，时，f(x)x 3，为奇函数； ，为奇函数； 当当m2时，时，f(x)x 1，为奇函数 ，为奇函数 故故f(x)x 3或 或f(x)x 1. (2)由题知由题知f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在(0，)上是减函数，上是减函数， f(2 021)f(2 021)， f(2)f(2)，且，且f(2 021)f(2)， f(2 021)f(2)
9、一、在典题训练中内化学科素养一、在典题训练中内化学科素养 高考对本节考查的重点是幂函数的图象与性质，常以选择、填空题的形式出高考对本节考查的重点是幂函数的图象与性质，常以选择、填空题的形式出 现，考查的核心素养是直观想象、数学运算与逻辑推理现，考查的核心素养是直观想象、数学运算与逻辑推理 1函数函数yx 的图象的图象是是 () 答案：答案：B 内化素养内化素养 答案：答案：A 内化素养内化素养 二、在导向训练中品悟核心价值二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维发展理性思维 1已知幂函数已知幂函数f(x)(a1)xn的图象过点的图象过点(2,8)，且，且f(b2)f(12b)，则，则b的取值
10、的取值 范围范围是是 ( ) A(0,1)B(1,2) C(，1) D(1，) 答案：答案：C 注重实践应用注重实践应用 3有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送 方根据加密密钥把明文转为密文方根据加密密钥把明文转为密文(加密加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明，接收方根据加密密钥把密文转为明 文文(解密解密)现在已知加密密钥为现在已知加密密钥为yx(为常数为常数)，如，如“4”通过加密后得到密文通过加密后得到密文 “2”若接收方接到密文若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是，则解密后得到的明
11、文是_ 答案：答案：9 4某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的 收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根 成正比已知投资成正比已知投资1万元时，两类产品的收益分别为万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和万元和0.5万元万元 (1)分别写出两类产品的收益与投资额分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式的函数关系式 (2)该家庭现有该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资 获得最大收益，最大收益是多少万元？获得最大收益，最大收益是多少万元？ “四翼四翼”检测评价检测评价“四翼四翼”检测评价检测评价 ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
