1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 0 09 9 不不等式等式 1.(2019全国 1理 T4 文 T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是5-1 2 （ 5-1 2 0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽 喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-1 2 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖 子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 【答案
2、】B 【解析】设人体脖子下端至肚脐的长度为 x cm,则26 x 5-1 2 ,得 x42.07,又其腿 长为 105 cm,所以其身高约为 42.07+105+26=173.07(cm),接近 175 cm.故选 B. 2.(2019全国 2理 T6)若 ab,则( ) A.ln(a-b)0 B.3 a0 D.|a|b| 【答案】C 【解析】取 a=2,b=1,满足 ab.但 ln(a-b)=0,排除 A; 3 a=9,3b=3,3a3b,排除B;y=x3是增函数,ab,a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a|4,x-ay2,则( ) A.对任意实数 a,(2,1)A B.
3、对任意实数 a,(2,1)A C.当且仅当 a 4, 2-a 2, 化简得a 3 2, a 0. 即 a3 2. 所以当且仅当 a3 2时,(2,1)A,故选 D. 7.(2017全国 2理 T5 文 T7)设 x,y 满足约束条件 2x + 3y-3 0, 2x-3y + 3 0, y + 3 0, 则 z=2x+y 的最小值是( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 【答案】A 【解析】 画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数 z=2x+y 的几何意义,可得 z 在点 B(-6,-3) 处取得最小值,即 zmin=-12-3=-15,故选 A. 8.(2017全国 3文 T
4、5)设 x,y 满足约束条件 3x + 2y-6 0, x 0, y 0, 则 z=x-y 的取值范围是( ) A.-3,0 B.-3,2 C.0,2 D.0,3 【答案】B 【解析】 画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点 A(0,3)处取得最小 值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.故选 B. 4 9.(2017全国 1文 T7)设 x,y 满足约束条件 x + 3y 3, x-y 1, y 0, 则 z=x+y 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由
5、z=x+y 得 y=-x+z.作出直线 y=-x,并平移该直线,当直 线 y=-x+z 过点 A 时,目标函数取得最大值.由图知 A(3,0),故 zmax=3+0=3. 10.(2016北京理 T2)若 x,y 满足 2x-y 0, x + y 3, x 0, 则 2x+y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将 z=2x+y 变形为 y=-2x+z,这是斜率为-2,随 z 变化的 一族平行直线,如图,可知当 y=-2x+z 经过点 P 时,z 取最大值. 5 由2x-y = 0, x + y = 3,可得 P 点
6、坐标为(1,2),故 z max=21+2=4. 11.(2016天津理 T2)设变量 x,y 满足约束条件 x-y + 2 0, 2x + 3y-6 0, 3x + 2y-9 0, 则目标函数 z=2x+5y 的最小值为 ( ) A.-4 B.6 C.10 D.17 【答案】B 【解析】如图,作出变量 x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形 ABC 及其内部,点 A,B,C 的坐标依次为 (0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将 z=2x+5y 变形为 y=-2 5x+ z 5,可知当 y=- 2 5x+ z 5经过点 B 时,z 取最小值 6.故选 B. 12.(2016山东理
7、 T4 文 T4)若变量 x,y 满足 + 2, 2-3 9, 0, 则 x 2+y2的最大值是( ) A.4 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【解析】 如图,不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x 2+y2表示点(x,y) 到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC| 2=10,故选 C. 6 13.(2016浙江理 T3)在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影,由区域 -2 0, + 0, -3 + 4 0 中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则|
8、AB|=( ) A.22 B.4 C.32 D.6 【答案】C 【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点 C,D 分别作直线 x+y-2=0 的垂线,垂足 分别为 A,B,则四边形 ABDC 为 矩形.又 D(2,-2),C(-1,1),所以 14.(2016浙江文T4)若平面区域 + -3 0, 2-3 0, -2 + 3 0 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间 的距离的最小值是( ) A.35 5 B.2 C.32 2 D.5 【答案】B 【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. 两平行直线的斜率为 1, 两平行直线与直线 x+y-3=0 垂直. 7 两
9、平行线间的最短距离是 AB 的长度. 由 + -3 = 0, -2 + 3 = 0,得 A(1,2), 由 + -3 = 0, 2-3 = 0, 得 B(2,1). |AB|=(1-2)2+ (2-1)2= 2,故选 B. 15.(2015浙江文 T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不 相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为 x,y,z,且 xq 【答案】B 【解析】因为 0f(ab),即 p0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】直线x a + y b=1 过点(1,1),
10、1 a + 1 b=1. 又 a,b 均大于 0,a+b=(a+b)(1 a + 1 b)=1+1+ b a + a b2+2 b a a b=2+2=4.故选 C. 18.(2015湖南文 T7)若实数 a,b 满足1 a + 2 b = ab,则 ab 的最小值为( ) A.2 B.2 C.22 D.4 【答案】C 【解析】由已知1 a + 2 b = ab,可知 a,b 同号,且均大于 0. 由ab = 1 a + 2 b2 2 ab,得 ab22. 即当且仅当1 a = 2 b,即 b=2a 时等号成立,故选 C. 19.(2015重庆文 T10)若不等式组 x + y-2 0, x
11、+ 2y-2 0, x-y + 2m 0 表示的平面区域为三角形,且其面积等于4 3,则 m 的值为 ( ) A.-3 B.1 C. 4 3 D.3 【答案】B 【解析】 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m0表示的平面区域为直线x-y+2m=0 下方的区域,且-2m-1.这时平面区域为三角形 ABC. 由x + y-2 = 0, x + 2y-2 = 0,解得 x = 2, y = 0,则 A(2,0). 9 由x + y-2 = 0, x-y + 2m = 0,解得 x = 1-m, y = 1 + m, 则 B(1-m,1+m). 同理 C(2-4m 3 , 2
12、+2m 3 ),M(-2m,0). 因为SABC=SABM-SACM=1 2(2+2m)*(1 + m)- 2+2m 3 + = (m+1)2 3 ,由已知得(m+1) 2 3 = 4 3,解得m=1(m=-30,c0.0 1 -c 1 -c0.又ab0, a -d b -c. a d 0, |x| 0, |x| 0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1) xy 的最小值为_. 【答案】9 2 18 【解析】(x+1)(2y+1) xy = 2xy+x+2y+1 xy =2xy+5 xy =2+ 5 xy. x+2y=4,422xy, 2xy4. 1 xy 1 2.2+ 5 xy2+ 5 2
13、= 9 2. 41.(2019天津理 T13)设 x0,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1) xy 的最小值为_. 【答案】43 【解析】(x+1)(2y+1) xy = 2xy+x+2y+1 xy =2xy+6 xy =2xy + 6 xy 22xy 6 xy=43. 当且仅当xy = 3 xy,即 xy=3 时等号成立. 42.(2019全国 2文 T13)若变量 x,y 满足约束条件 2x + 3y-6 0, x + y-3 0, y-2 0, 则 z=3x-y 的最大值是 . 【答案】9 【解析】画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y 表示直线 3x-y-z=0 的纵截距的相反
14、数,当直线 3x-y-z=0 过点 C(3,0)时,z 取得最大值 9. 43.(2018天津理 T13 文 T13)已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2 a+1 8b的最小值为_. 【答案】1 4 【解析】a-3b+6=0,a-3b=-6, 2 a+1 8b=2 a+2-3b22a2-3b =22a-3b=22-6=22 -3=1 4, 19 当且仅当a = -3b, a-3b + 6 = 0, 即a = -3, b = 1 时等号成立. 44.(2018江苏 T13)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,ABC=120,ABC 的平分线交 AC 于点 D,且 B
15、D=1,则 4a+c 的最小值为 . 【答案】9 【解析】由题意可知,SABC=SABD+SBCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得1 2acsin 120= 1 2a1sin 60+1 2c1sin 60,化简得 ac=a+c, 1 a + 1 c=1.因此 4a+c=(4a+c)( 1 a + 1 c)=5+ c a + 4a c 5+2c a 4a c =9, 当且仅当 c=2a=3 时取等号,故 4a+c 的最小值为 9. 45.(2018全国 1理 T13 文 T14)若 x,y 满足约束条件 x-2y-2 0, x-y + 1 0, y 0, 则 z=3x+2y 的最大值为 .
16、【答案】6 【解析】作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界). 由 z=3x+2y,得 y=-3 2x+ 1 2z, 作直线 y=-3 2x 并向上平移, 显然 l 过点 B(2,0)时,z 取最大值,zmax=32+0=6. 46.(2018全国 2理 T14 文 T14)若 x,y 满足约束条件 x + 2y-5 0, x-2y + 3 0, x-5 0. 则 z=x+y 的最大值为 . 【答案】9 【解析】由题意,作出可行域如图.要使 z=x+y 取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9. 20 47.(2018全国 3文 T15)若变量 x,y 满足约束条件 2x + y +
17、 3 0, x-2y + 4 0, x-2 0, 则 z=x+1 3y 的最大值是 . 【答案】3 【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示. 又 z=x+1 3yy=-3x+3z, 当过点 B(2,3)时,zmax=2+1 33=3. 48.(2018北京理 T12 文 T13)若 x,y 满足 x+1y2x,则 2y-x 的最小值是 . 【答案】3 【解析】由条件得 + 1 , 2, + 1 2, 即 + 1 , 2, 1. 作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示. 由 + 1 = , = 2, 得 A(1,2). 令 z=2y-x,即 y=1 2x+ 1 2z. 平移直线 y=1 2
18、x,当直线过 A(1,2)时, 1 2z 最小, zmin=22-1=3. 21 49.(2018浙江T12)若 x,y 满足约束条件 - 0, 2 + 6, + 2, 则 z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 . 【答案】-2 8 【解析】画出可行域,如图阴影部分所示. 由 z=x+3y,可知 y=-1 3x+ 3. 由题意可知,当目标函数的图象经过点 B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点 C 时,z 取得最小值. 由, = x, 2 + = 6,得 = 2, = 2,即 B(2,2), 此时 z最大=2+32=8, 由2 + = 6, + = 2, 得 = 4, = -2,即 C
19、(4,-2), 此时 z最小=4+3(-2)=-2. 50.(2017全国 3理 T13)若 x,y 满足约束条件 - 0, + -2 0, 0, 则 z=3x-4y 的最小值为 . 【答案】-1 【解析】画出不等式组表示的可行域,如图,由 z=3x-4y,得 y=3 4x- 1 4z,平移直线 y= 3 4x,易知经过 A(1,1)时,z 有 最小值,zmin=31-41=-1. 22 51.(2017全国 1理 T14)设 x,y 满足约束条件 + 2 1, 2 + -1, - 0, 则 z=3x-2y 的最小值为 . 【答案】-5 【解析】不等式组 + 2 1, 2 + -1, - 0
20、表示的平面区域如图所示. 由 z=3x-2y,得 y=3 2x- 2. 数形结合知当直线 y=3 2x- 2过图中 点 A 时,纵截距最大. 由2 + = -1, + 2 = 1, 解得 A 点坐标为(-1,1), 此时 z 取得最小值为 3(-1)-21=-5. 52.(2017江苏T10)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费 用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 . 【答案】30 【解析】 一年的总运费与总存储费用之和为 4x+600 x 6=4(x + 900 x )42900=240,当且仅当 x=
21、900 x ,即 x=30 时等号成立. 53.(2017天津理 T12 文 T13)若 a,bR,ab0,则a 4+4b4+1 ab 的最小值为 . 【答案】4 23 【解析】a,bR,且 ab0, a 4+4b4+1 ab 4a2b2+1 ab =4ab+ 1 ab4, 当且仅当 a2= 2b2, 4ab = 1 ab, 即 a2= 2 2 , b2= 2 4 时取等号. 54.(2017山东文 T12)若直线x a + y b=1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】直线x a + y b=1 过点(1,2), 1 a + 2 b=1. a0,b
22、0,2a+b=(2a+b)(1 a + 2 b)=4+( b a + 4a b )4+2b a 4a b =8. 当且仅当 b=2a 时“=”成立. 55.(2016全国 3理 T13)若 x,y 满足约束条件 - + 1 0, -2 0, + 2-2 0, 则 z=x+y 的最大值为_. 【答案】3 2 【解析】作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 因为 z=x+y,所以 y=-x+z.作直线 y=-x 并平移,由图知,当直线经过点 A(1, 1 2)时,直线在 y 轴上的截距最大, 即 z 取得最大值. 故 zmax=1+1 2 = 3 2. 56.(2016全国 2文 T14)若
23、 x,y 满足约束条件 - + 1 0, + -3 0, -3 0, 则 z=x-2y 的最小值为 . 【答案】-5 【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. 24 由 z=x-2y,得 y=1 2x- 1 2z,故当直线 y= 1 2x- 1 2z 过点 A 时,-1 2z 最大,z 最小. 由- + 1 = 0, = 3, 得 A(3,4), 所以 z 的最小值为 3-24=-5. 57.(2016全国 3文 T13)设 x,y 满足约束条件 2- + 1 0, -2-1 0, 1, 则 z=2x+3y-5 的最小值为 . 【答案】-10 【解析】满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其
24、中 A(1,0),B(-1,-1),C(1,3). z=2x+3y-5,y=-2 3 + 5+ 3 . 作直线 y=-2 3x,并在可行域内移动, 当直线经过点 B 时,直线在 y 轴上的 截距最小,即 z 最小. 故 zmin=2(-1)+3(-1)-5=-10. 58.(2016全国 1理 T16 文 T16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产 品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 25 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产
25、品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙 材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000 【解析】设生产产品 A x 件,生产产品 B y 件, 由题意得 1.5x + 0.5y 150, x + 0.3y 90, 5x + 3y 600, x,yN, 即 3x + y 300, 10x + 3y 900, 5x + 3y 600, x,yN. 目标函数 z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示), 作直线 y=-7 3x,当直 线过 5x+3y=60
26、0 与 10x+3y=900 的交点时,z 取最大值, 由5x + 3y = 600, 10x + 3y = 900,解得 x = 60, y = 100, 所以 zmax=2 10060+900100=216 000. 59.(2015全国 2理 T14)若 x,y 满足约束条件 - + 1 0, -2 0, + 2-2 0, 则 z=x+y 的最大值为_. 【答案】3 2 【解析】由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示. 由可行域可知,目标函数 z=x+y 过点 B 取得最大值. 联立-2 = 0, + 2-2 = 0,得 B(1, 1 2). zmax=1 2+1= 3 2. 26
27、60.(2015全国 2文 T14)若 x,y 满足约束条件 + -5 0, 2-1 0, -2 + 1 0, 则 z=2x+y 的最大值为 . 【答案】8 【解析】如图所示,可行域为阴影部分. 由可行域可知,目标函数 z=2x+y 过点 B 取得最大值. 联立 + -5 = 0, -2 + 1 = 0,解得 = 3, = 2, 则 B(3,2),故 zmax=6+2=8. 61.(2015全国 1文 T15)若 x,y 满足约束条件 + -2 0, -2 + 1 0, 2- + 2 0, 则 z=3x+y 的最大值为 . 【答案】4 【解析】画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由
28、-2 + 1 = 0, + -2 = 0 解得 = 1, = 1, 即点 A 的坐标为(1,1). 由 z=3x+y,得 y=-3x+z. 27 作出直线 l0:y=-3x,并平移, 当直线经过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,即 z 最大.所以 zmax=31+1=4. 62.(2015重庆文 T14)设 a,b0,a+b=5,则a + 1 + b + 3的最大值为_. 【答案】32 【解析】 因为a,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x1,y3),于是a + 1 + b + 3 = x + y,而(x + y) 2=x+y+2x
29、yx+y+(x+y)=18,所以x + y32. 此时 x=y,即 a+1=b+3,结合 a+b=5 可得 a=3.5,b=1.5,故当 a=3.5,b=1.5 时,a + 1 + b + 3的最大值为 32. 63.(2015江苏理 T7)不等式2x 2-x4 的解集为 . 【答案】x|-1x2(或(-1,2) 【解析】 2x 2-x4,即2x2-x22,所以 x2-x2,即 x2-x-20,解得-1x2,故不等式的解集为x|-1x0 的解集为 .(用区间表示) 【答案】(-4,1) 【解析】不等式可化为 x 2+3x-40,解得-4x1. 65.(2015全国 1理 T15)若 x,y 满
30、足约束条件 -1 0, - 0, + -4 0, 则 的最大值为 . 【答案】3 【解析】 画出约束条件对应的平面区域(如图),点 A 为(1,3),要使 最大,则 -0 -0最大,即过点(x,y),(0,0)两点 的直线斜率最大,由图形知当该直线过点 A 时,( ) = 3-0 1-0=3. 28 66.(2014安徽文 T13)不等式组 x + y-2 0, x + 2y-4 0, x + 3y-2 0 表示的平面区域的面积为 . 【答案】4 【解析】画出可行域,如图阴影区域ABC(包括边界),易得 B(2,0),C(0,2),D(4,0), 由x + 3y-2 = 0, x + 2y-4
31、 = 0,解得 A(8,-2), SABC=SCBD+SABD=1 222+ 1 222=4. 67.(2014江苏理 T10)已知函数 f(x)=x 2+mx-1,若对于任意 xm,m+1,都有 f(x)0 成立,则实数 m 的取 值范围是 . 【答案】-2 2 m0 【解析】根据题意, 得f(m) = m 2 + m2-1 0, f(m + 1) = (m + 1)2+ m(m + 1)-1 0, m 2 1 2, 2m2+ 3m 0. - 2 2 2 2 , - 3 2 0. 解得-2 2 m0. 68.(2014湖南文 T13)若关于 x 的不等式|ax-2|3 的解集 为,x|- 5
32、 3 1 3-,则 a= . 【答案】-3 【解析】 由|ax-2|3,得-1ax5.若 a0,显然不符合题意,当 a0 时,解得5 ax- 1 a,故- 1 a = 1 3, 5 a=- 5 3,解得 a=-3. 69.(2013广东理 T9)不等式 x 2+x-20 的解集为 . 29 【答案】x|-2x1 【解析】x 2+x-20 即(x+2)(x-1)0, 解得-2x1,故原不等式的解集为x|-2x1. 70.(2013全国 1文 T14)设 x,y 满足约束条件 1 3, -1 - 0,则 z=2x-y 的最大值为 . 【答案】3 【解析】画出可行域如图所示. 画出直线 2x-y=0
33、,并平移,当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大值,且最大 值为 z=23-3=3. 71.(2012全国理 T14)设 x,y 满足约束条件 - -1, + 3, 0, 0, 则 z=x-2y 的取值范围为 . 【答案】-3,3 【解析】 作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线 l0:x-2y=0,在可行域内平移知过点 A 时,z=x-2y 取得 最大值,过点 B 时,z=x-2y 取得最小值. 由- + 1 = 0, + -3 = 0,得 B 点坐标为(1,2), 由 = 0, + -3 = 0,得 A 点坐标为(3,0). zmax=3-20=3,zmin=1-22=-3. z-3,3. 30 72.(2011全国文 T14)若变量 x,y 满足约束条件3 2 + 9, 6 - 9, 则 z=x+2y 的最小值为 . 【答案】-6 【解析】由约束条件作出可行域如图所示,知 z=x+2y 在点 A 处取得最小值. 由2 + = 3, - = 9, 解得 = 4, = -5. zmin=4-10=-6.
