1、43.1对数的概念对数的概念 明学习目标明学习目标知结构体系知结构体系 课标课标 要求要求 1.了解对数、常用对数、自然了解对数、常用对数、自然 对数的概念对数的概念 2会进行对数式与指数式的会进行对数式与指数式的 互化；会求简单的对数值互化；会求简单的对数值 重点重点 难点难点 重点：对数的概念重点：对数的概念 难点：对数概念的理解与应用难点：对数概念的理解与应用. ( (一一) ) 对数的概念对数的概念 1对数的定义对数的定义 一般地，如果一般地，如果axN(a0，且，且a1)，那么数，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数，记的对数，记 作作 ，其中，其中a叫做对数的叫做对数的 ，N叫做
2、叫做 2常用对数与自然对数常用对数与自然对数 名称名称定义定义符号符号 常用对数常用对数以以10为底的对数叫做常用对数为底的对数叫做常用对数log10N记记为为_ 自然对数自然对数 以以e为底的对数叫做自然对数，为底的对数叫做自然对数， e是无理数，是无理数，e2.718 28 logeN记记为为_ xlogaN底数底数真数真数 lg N ln N (1)对数式对数式logaNb是由指数式是由指数式abN而来的两式底数相同，对数式中的真而来的两式底数相同，对数式中的真 数数N就是指数式中幂的值就是指数式中幂的值N，而对数式的值，而对数式的值b是指数式中的幂指数在指数式是指数式中的幂指数在指数式
3、ab N中，若已知中，若已知a，N的值，求幂指数的值，求幂指数b的值，便是对数运算的值，便是对数运算blogaN. (2)对数对数logaN只有在只有在a0，且，且a1，N0时才有意义理由如下：时才有意义理由如下： 若若a0，且，且N为某些数值时，为某些数值时，b不存在例如，因为式子不存在例如，因为式子(2)x3没有实数没有实数 根，所以根，所以log( 2)3不存在，为此，规定 不存在，为此，规定a不能小于不能小于0. 若若a0，且，且N0，则，则logaN不存在；若不存在；若a0，N0，则，则b有无数个值，不能有无数个值，不能 确定，为此，规定确定，为此，规定a0，且，且N0. 若若a1，
4、又，又N不为不为1，则，则b不存在，如不存在，如log12不存在；而不存在；而a1，N1时，时，b可可 以为任何实数，不能确定，为此，规定以为任何实数，不能确定，为此，规定a1. 即时小练即时小练 1以下对数式中，与指数式以下对数式中，与指数式5x6等价的是等价的是_ log56x；log5x6；log6x5；logx65. 答案答案： 2使对数使对数loga(2a1)有意义的有意义的a的取值范围为的取值范围为_ ( (二二) )对数与指数的关系、对数的性质对数与指数的关系、对数的性质 1对数与指数的关系对数与指数的关系 (1)若若a0，且，且a1，则，则axNlogaN . (2)对数恒等式
5、：对数恒等式：alogaN ；logaax (a0，且，且a1，N0) 2对数的性质对数的性质 (1)loga1 (a0，且，且a1) (2)logaa (a0，且，且a1) (3)零和负数零和负数 x Nx 0 1 没有对数没有对数 由此可知：由此可知： 开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； 弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键 即时小练即时小练 1若若log3(2x1)0，则，则x_. 解析解析：若若log3(2x1)0，则则2x11，即即x1. 答案答案：1 2若若lo
6、gx83，则，则x_. 解析解析：由指对互化知由指对互化知x38，所以所以x2. 答案答案：2 方法技巧方法技巧 1指数式与对数式互化的思路指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变， 写出对数式写出对数式 (2)对数式化为指数式：对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变， 写出指数式写出指数式 2指数式与对数式互化时应注意的问题指数式与对数式互化时应注意的问题 并非任意式子并非任意式子abN都可以直接化为对数式
7、都可以直接化为对数式，如如(3)29就不能直接写成就不能直接写成 log( 3)9 2，只有当只有当a0，且且a1时时，才有才有abNblogaN. 方法技巧方法技巧 对数式中求值的基本思想和方法对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想基本思想 在一定条件下求对数式的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程在一定条件下求对数式的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程 思想求解思想求解 (2)基本方法基本方法 将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题 利用幂的运算性质和指数的性质计算利用幂的运算性质和指数的性质计算 典例典例求下列各式中求
8、下列各式中x的值：的值： (1)log2(log5x)0； (2)log3(lg x)1； (3)x71log75. 方法技巧方法技巧 1利用对数性质求解的利用对数性质求解的2 2类问题的解法类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求的值，先求 logbc的值，再求的值，再求loga(logbc)的值的值 (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再后再 求解求解 2性质性质alogaNN与与logaabb的作用的作用 (1)
9、alogaNN的作用在于能把任意一个正实数转化为以的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式为底的指数形式 (2)logaabb的作用在于能把以的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数为底的指数转化为一个实数 对点训练对点训练 求下列各式中求下列各式中x的值的值 (1)log8log7(log2x)0； (2)log2log3(log2x)1. 解：解：(1)由由log8log7(log2x)0，得，得log7(log2x)1， 即即log2x7，x27. (2)由由log2log3(log2x)1，得，得log3(log2x)2， log2x9，x29. 2计算：计算：2log2
10、32log313log773ln 1_. 解析解析：原式原式32031300. 答案答案：0 注重实践应用注重实践应用 3分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音来描述声音 的大小；把声压的大小；把声压P0210 5帕作为参考声压把所要测量的声压 帕作为参考声压把所要测量的声压P与参考声压与参考声压 P0的比值取常用对数后乘以的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重得到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重 要的参数之一，单位是分贝要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在，分贝
11、值在60以下为无害区，以下为无害区，60110为过渡区，为过渡区， 110以上为有害区以上为有害区 (1)根据上述材料，列出分贝值根据上述材料，列出分贝值y与声压与声压P的函数关系式；的函数关系式； (2)某地声压某地声压P0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？帕，试问该地为以上所说的什么区？ (3)某电视台，现场录制节目时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量某电视台，现场录制节目时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量 到最响亮的一次音量达到了到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时电视台演播大厅的声压是多少分贝，试求此时电视台演播大厅的声压是多少？ 强化拓广探索强化拓广探索
12、 4对于任意实数对于任意实数x，符号，符号x表示表示x的整数部分，即的整数部分，即x是不超过是不超过x的最大整数在的最大整数在 实数轴实数轴R(箭头向右箭头向右)上上x是在点是在点x左侧的第一个整数点，当左侧的第一个整数点，当x是整数时是整数时x就是就是x. 这个函数这个函数x叫做叫做“取整函数取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用求，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用求 lg 1lg 2lg 3lg 10lg 11lg 12lg 2 019的值的值 解：解：根据定义根据定义，lg 1lg 2lg 3lg 90； lg 10lg 11lg 12lg 991； lg 100lg 101lg 102lg 9992， lg 1 000lg 1 001lg 1 002lg 2 0193. 所以所以lg 1lg 2lg 3lg 10lg 11lg 12lg 2 019 1(999)2(99999)3(2 019999)90290031 0204 950. ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
