1、44.1 & 4.4.2对数函数的概念对数函数的图象和性质对数函数的概念对数函数的图象和性质 第一课时对数函数的概念及其图象和性质第一课时对数函数的概念及其图象和性质 明学习目标明学习目标知结构体系知结构体系 课标课标 要求要求 1.理解对数函数的概念理解对数函数的概念 2初步掌握对数函数的图象和初步掌握对数函数的图象和简简 单单性质性质 重点重点 难点难点 重点：对数函数的图象和性质重点：对数函数的图象和性质 难点：对数函数图象的应用难点：对数函数图象的应用. ( (一一) )对数函数的概念对数函数的概念 一般地，函一般地，函数数_叫叫做对数函数，其做对数函数，其中中_是是自变量，定自变量，
2、定 义域是义域是 (0，) ylogax(a0，且，且a1) x (1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如ylog2(x1)，y log2x2，ylog2x5等都不是对数函数，只有形如等都不是对数函数，只有形如ylogax(a0，且，且a1)的函数才的函数才 是对数函数是对数函数 (2)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函 数的函数值，因此对数函数的定义域是数的函数值，因此对数函数的定义域是(0，)，且对数函数的底数，且对数函数的底数a0，且，且 a
3、1. (3)判断一个函数是否是对数函数，不仅要看该函数中是否含有对数符号判断一个函数是否是对数函数，不仅要看该函数中是否含有对数符号 “log”，还要看是否符合对数函数的定义，即满足，还要看是否符合对数函数的定义，即满足ylogax(a0，且，且a1)的形式的形式 2若对数函数的图象过点若对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的，则此对数函数的解析解析式为式为_ 解析解析：设对数函数为设对数函数为ylogax(a0，且，且a1)， 2loga9，a3，解析式为解析式为ylog3x. 答案答案：ylog3x ( (二二) )对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 1对数函数对数函数ylo
4、gax(a0，且且a1)的图象与性质的图象与性质 a10a1 图象图象 a10a1 性质性质 定义定义域域_ 值域值域_ 过定点过定点过定点过定点 ，即，即x1时，时，y0 函数值的变化函数值的变化 当当0 x1时，时， 当当x1时，时， 当当0 x1时，时， 当当x1时时，_ 单调性单调性 在在(0，)上上是是 _ 在在(0，)上上是是 _ 续表续表 (0，) R (1,0) y0 y0 y0 y0 增函数增函数减函数减函数 对数函数图象与性质的记忆口诀对数函数图象与性质的记忆口诀 对数增减有思路，函数图象看底数，对数增减有思路，函数图象看底数， 底数要求大于底数要求大于0，但等于，但等于1
5、却不行；却不行； 底数若是大于底数若是大于1，图象从左往右增；，图象从左往右增； 底数底数0到到1之间，图象从左往右减；之间，图象从左往右减； 无论函数增和减，图象都过无论函数增和减，图象都过(1,0)点点 2反函数反函数 一般地，指数函数一般地，指数函数yax(a0，且，且a1)与对数函数与对数函数互互 为反函数它们的定义域与值域正好互换为反函数它们的定义域与值域正好互换 互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同 互为反函数的两个函数的图象关于直线互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称对称 ylogax(a0，且，且a1
6、) 即时小练即时小练 1函数函数yln x1的反函数的反函数为为() Ayex 1(x R)Byex 1(x R) Cyex 1(x 1) Dyex 1(x 1) 解析解析：yln x1化为化为y1ln x，将，将y1看作整体，求得看作整体，求得xey 1， ， 则其反函数为则其反函数为yex 1. 由于由于x0，则，则yln x1R，因，因而而yex 1(x R)，故选，故选B. 答案：答案：B 2函数函数f(x)log2(2xx2)的定义域为的定义域为_ 答案答案：(0,2) 3函数函数ylogax(a0，且，且a1)在在(0，)上是增函数吗？上是增函数吗？ 提示：提示：不一定当不一定当a
7、1时，函数时，函数ylogax在在(0，)上是增函数；当上是增函数；当0a1 时，函数时，函数ylogax在在(0，)上是减函数上是减函数 方法技巧方法技巧 判断一个函数是对数函数的方法判断一个函数是对数函数的方法 对点训练对点训练 1函数函数f(x)(a2a1)log(a 1)x是对数函数，则实数 是对数函数，则实数a_. 解析解析：由由a2a11，解得，解得a0或或1. 又又a10，且，且a11，a1. 答案答案：1 方法技巧方法技巧 1与对数函数值域相关的问题与对数函数值域相关的问题 (1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法；利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法；
8、(2)若底数中含有字母时，需要对底数分大于若底数中含有字母时，需要对底数分大于1，大于，大于0小于小于1两种情况讨论两种情况讨论 2求对数型函数定义域的原则求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负根指数为偶数时，被开方数非负 (3)对数的真数大于对数的真数大于0，底数大于，底数大于0且不为且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形 2求下列函数的定义域：求下列函数的定义域： 典例典例(1)函数函数ylg(x1)的图象大致是的图象大致是() 方法技巧方法
9、技巧 1根据对数函数图象判断底数大小的方法根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线作直线y1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象 限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小 2函数图象的变换规律函数图象的变换规律 (1)一般地，函数一般地，函数yf(xa)b(a，b为实数为实数)的图象是由函数的图象是由函数yf(x)的图象沿的图象沿 x轴向左或向右平移轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移轴向上
10、或向下平移|b|个单位长度得个单位长度得 到的到的 (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的 对点训练对点训练 1图中曲线分别表示图中曲线分别表示ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象，则的图象，则a，b，c， d的大小关系是的大小关系是 ( ) AabdcBbacd Cdcab Dcdab 解析解析：由由题图知，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向题图知，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x轴靠近，轴靠近， 可知可知0cd1ab，故选，故选D. 答案：答案：D 2已知函数已知函数yloga(xc)(
11、a，c为常数，其中为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结的图象如图，则下列结 论成立的论成立的是是 () Aa1，c1Ba1,0c1 C0a1，c1 D0a1,0c1 解析解析：由由图可知，图可知，yloga(xc)的图象是由的图象是由ylogax的图象向左平移的图象向左平移c个单位而个单位而 得到的，其中得到的，其中0c1，再根据单调性易知，再根据单调性易知0a1. 答案：答案：D 3.若函数若函数f(x)loga(xm)1(a0，且，且a1)恒过定点恒过定点(2，n)，则，则mn的值为的值为 _ 解解析析：由题意得由题意得 mn0. 答答案案：0 一、在典题训练中内化学科素养一、在典
12、题训练中内化学科素养 高考在本节考查的重点是对数函数定义域，对数函数的图象及应用通过本高考在本节考查的重点是对数函数定义域，对数函数的图象及应用通过本 节的学习，可进一步体会函数图象是研究函数性质的重要工具考查的核心素养节的学习，可进一步体会函数图象是研究函数性质的重要工具考查的核心素养 是数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等是数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等 1(2018全国卷全国卷)下列函数中，其图象与函数下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线的图象关于直线x1对称对称 的是的是 () Ayln(1x)Byln(2x) Cyln(1x) Dyln(2x) 3.如图，函
13、数如图，函数f(x)的图象为折线的图象为折线ACB，则不等式，则不等式f(x)log2(x1)的解集是的解集是() Ax|1x0 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 内化素养内化素养 直观想象直观想象根据图象特征，探讨图象的性质根据图象特征，探讨图象的性质 逻辑推理逻辑推理 当底数为参数时，注意分类讨论当底数为参数时，注意分类讨论a 的取值的取值 5(2020全国卷全国卷)若若2x2y3 x 3 y， ，则则() Aln(yx1)0 Bln(yx1)0 Cln|xy|0 Dln|xy|0 7(2018全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)log2(x2a)若若f(3)1，则，则a_. 解
14、析解析：f(x)log2(x2a)且且f(3)1， 1log2(9a)，9a2，a7. 答案答案：7 内化素养内化素养/ /数学运算数学运算 求与对数函数有关的定义域、值域及对数式的化简问题，解决此类问题不求与对数函数有关的定义域、值域及对数式的化简问题，解决此类问题不 要忽略自变量要忽略自变量x0. 2已知已知a0且且a1，函数，函数yax与与yloga(x)的图象可能的图象可能是是() 解解析：析：首先函数首先函数yax与与ylogax互为反函数，其图象关于直线互为反函数，其图象关于直线yx对称，且对称，且 单调性相同；其次函数单调性相同；其次函数yloga(x)与与ylogax的图象关于
15、的图象关于y轴对称，其单调性轴对称，其单调性 相反相反A、C两个图中的图象只关于直线两个图中的图象只关于直线yx对称，从而排除对称，从而排除A、C；D图中图中 的单调性错误，又可排除的单调性错误，又可排除D，故选，故选B. 答案：答案：B 4某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物， 已知该动物的繁殖数量已知该动物的繁殖数量y(只只)与引入时间与引入时间x(年年)的关系为的关系为yalog2(x1)，若该，若该 动物在引入一年后的数量为动物在引入一年后的数量为100只，则只，则7年后它们发展到年后它们
16、发展到 () A300只只 B400只只 C600只只 D700只只 解析：解析：将将x1，y100代入代入yalog2(x1)得，得，100alog2(11)，解得，解得a 100，所，所以以x7时，时，y100log2(71)300. 答案：答案：A 强化拓广探索强化拓广探索 5如果函数如果函数f(x)对任意的正实数对任意的正实数a，b，都有，都有f(ab)f(a)f(b)，则这样的函数，则这样的函数f(x) 可以是可以是_(写出一个即可写出一个即可) 解析解析：由题意，函数由题意，函数f(x)对任意的正实数对任意的正实数a，b，都有，都有f(ab)f(a)f(b)，可考虑，可考虑 对数函数对数函数f(x)lg x，满足，满足f(ab)lg(ab)lg alg bf(a)f(b)，故答案为，故答案为f(x) lg x. ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
