1、第第 7 节节函数的图像函数的图像 知识梳理 1.利用描点法作函数的图像 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小 值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图像 yf(x)的图像； yf(x)的图像 yf(x)的图像； yf(x)的图像 yf(x)的图像； yax(a0，且 a1)的图像 ylogax(a0，且 a1)的图像. (3)伸缩变换 (4)翻折变换 1.记住几个重要结论 (1)函数 yf(x
2、)与 yf(2ax)的图像关于直线 xa 对称. (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图像关于点(a，b)中心对称. (3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足： f(ax)f(ax)， 则函数 yf(x) 的图像关于直线 xa 对称. 2.图像的左右平移仅仅是相对于 x 而言，如果 x 的系数不是 1，常需把系数提出 来，再进行变换. 3.图像的上下平移仅仅是相对于 y 而言的，利用“上加下减”进行. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图像相同.() (2)函数 yaf(x)与 yf(
3、ax)(a0 且 a1)的图像相同.() (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图像关于原点对称.() (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图像关于直线 x1 对 称.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两者图 像不同，(1)错误. (2)中两函数当 a1 时，yaf(x)与 yf(ax)是由 yf(x)分别进行横坐标与纵坐标 伸缩变换得到，两图像不同，(2)错误. (3)yf(x)与 yf(x)的图像关于 x 轴对称，(3)错误. 2.(多选题)若函数 yaxb1(a0，且 a1
4、)的图像经过第一、三、四象限，则 下列选项中正确的有() A.a1B.0a1 C.b0D.b0 答案AD 解析因为函数 yaxb1(a0，且 a1)的图像经过第一、 三、四象限，所以其大致图像如图所示.由图像可知函数为增函 数，所以 a1，当 x0 时，y1b1b0，故选 AD. 3.在 2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液 中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映 血液中药物含量 Q 随时间 t 变化的图像是() 答案B 解析依题意知，在 2 h 内血液中药物含量 Q 持续增加，停止注射后，Q 呈指数 衰减，图像 B 适合. 4.(2019全
5、国卷)函数 f(x) sin xx cos xx2在，的图像大致为( ) 答案D 解析f(x) sin（x）x cos（x）（x）2f(x)， 且 x， ， f(x)为奇函数， 排除 A. 当 x时，f() 120，排除 B，C，只有 D 满足. 5.(2021长沙检测)已知图中的图像对应的函数为 yf(x)， 则图中的图像对应 的函数为() A.yf(|x|)B.yf(|x|) C.y|f(x)|D.y|f(x)| 答案B 解析观察函数图像可得，是由保留 y 轴左侧及 y 轴上的图像，然后将 y 轴 左侧图像翻折到右侧所得， 结合函数图像的对称变换可得变换后的函数的解析式 为 yf(|x|)
6、. 6.(2020重庆联考)已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 g(x) log2f(x)的定义域是_. 答案(2，8 解析当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x) 的图像知满足 f(x)0 时，x(2，8. 考点一作函数的图像 【例 1】作出下列函数的图像： (1)y 1 2 |x| ；(2)y|log2(x1)|； (3)yx22|x|1. 解(1)先作出 y 1 2 x 的图像， 保留 y 1 2 x 图像中 x0 的部分， 再作出 y 1 2 x 的 图像中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x| 的图像，如图实线部分. (2
7、)将函数 ylog2x 的图像向左平移一个单位， 再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上 去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图像，如图. (3)y x22x1，x0， x22x1，x0， 且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图 像，再根据对称性作出(，0)上的图像，得图像如图. 感悟升华1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数 时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出. 2.图像变换法： 若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、 翻折、 对称得到， 可利用图像变换作出， 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响. 【训练 1】分
8、别作出下列函数的图像： (1)ysin |x|；(2)y2x1 x1 . 解(1)当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图像完全相同，又 ysin|x|为偶函数， 图像关于 y 轴对称，其图像如图. (2)y2x1 x1 2 1 x1，故函数的图像可由 y 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向 上平移 2 个单位得到，如图所示. 考点二函数图像的辨识 1.(2020浙江卷)函数 yxcos xsin x 在区间，的图像大致为() 答案A 解析因为 f(x)xcos xsin x，则 f(x)xcos xsin xf(x)，又 x， ，所以 f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，
9、则 C，D 错误.且 x时，y cos sin 0，sin x0，有 f(x)0，排除 C.只有 A 适合. 3.已知函数 f(x) 3x，x1， log1 3 x，x1，则函数 yf(1x)的大致图像是( ) 答案D 解析法一先画出函数 f(x) 3x，x1， log1 3 x，x1的草图，令函数 f(x)的图像关于 y 轴 对称，得函数 f(x)的图像，再把所得的函数 f(x)的图像，向右平移 1 个单位， 得到函数 yf(1x)的图像(图略)，故选 D. 法二由已知函数 f(x)的解析式，得 yf(1x) 31 x，x0， log1 3 （1x） ，x0，故该函数 过点(0，3)，排除
10、A；过点(1，1)，排除 B；在(，0)上单调递增，排除 C.选 D. 4.函数 f(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的解析式可以是 () A.f(x)xsin x B.f(x)cos x x C.f(x)x x 2 x3 2 D.f(x)xcos x 答案D 解析从图像看，yf(x)应为奇函数，排除 C； 又 f 2 0，知 f(x)xsin x 不正确； 对于 B，f(x)cos x x ，得 f(x)xsin xcos x x2 ， 当 0 x 2时，f(x)bc0，则f（a） a ， f（b） b ，f（c） c 的大 小关系是() A.f（a） a f（b） b f（c） c B
11、.f（c） c f（b） b f（a） a C.f（b） b f（a） a f（c） c D.f（a） a f（c） c f（b） b (2)(2020北京卷)已知函数 f(x)2xx1，则不等式 f(x)0 的解集是() A.(1，1)B.(，1)(1，) C.(0，1)D.(，0)(1，) 答案(1)B(2)D 解析(1)由题意可得， f（a） a ， f（b） b ，f（c） c 分别看作函数 f(x)log2(x1)图像 上的点(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)与原点连线的斜率. 结合图像可知，当 abc0 时，f（a） a f（b） b f（c） c . (2)在同一平面
12、直角坐标系中画出 h(x)2x， g(x)x1 的图像如图.由图像得交点 坐标为(0，1)和(1，2). 又 f(x)0 等价于 2xx1， 结合图像，可得 x0 或 x1. 故 f(x)0 的解集为(，0)(1，).故选 D. 角度 3求参数的取值范围 【例 4】 (1)已知函数 f(x) 2 x，x2， （x1）3，x2. 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同 的实根，则实数 k 的取值范围是_. (2)已知函数 f(x)|x23x|， xR.若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 个互异的实数根， 则实数 a 的取值范围为_. 答案(1)(0，1)(2)(0，1)(9，) 解析(1
13、)画出分段函数 f(x)的图像如图所示，结合图像可以 看出，若 f(x)k 有两个不同的实根，也即函数 yf(x)的图 像与 yk 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1). (2)设 y1f(x)|x23x|，y2a|x1|. 在同一直角坐标系中作出 y1|x23x|， y2a|x1|的图像如图所示. 由图可知 f(x)a|x1|0 有 4 个互异的实数根等价于 y1|x23x|与 y2a|x1| 的图像有 4 个不同的交点，且 4 个交点的横坐标都小于 1， 所以 yx23x， ya（1x） (3x0， 3a3 2 0， 02（3a）0a0， 0a1)有两组不同解. 消去 y 得 x2
14、(3a)xa0 有两不等实根 x3、x4， a210a90， 又x3x4a32，x3x4a1， a9. 综上可知，0a9. 感悟升华1.利用函数的图像研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期 性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应 关系. 2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题， 方程 f(x)g(x)的根就是 函数 f(x)与 g(x)图像交点的横坐标； 不等式 f(x)g(x)的解集是函数 f(x)的图像位于 g(x)图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想. 【训练 2】 (1)设函数 f
15、(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x) g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_. (2)(2020徽州一中期中)已知奇函数 f(x)在 x0 时的图像如图所示，则不等式 xf(x)0 的解集为_. (3)(多选题)(2021淄博模拟)关于函数 f(x)|ln|2x|，下列描述正确的有() A.函数 f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数 yf(x)的图像关于直线 x2 对称 C.若 x1x2，但 f(x1)f(x2)，则 x1x24 D.函数 f(x)有且仅有两个零点 答案(1)1，)(2)(2，1)(1，2)(3)ABD 解析(1)如图作出函数 f(x)|
16、xa|与 g(x)x1 的图像， 观 察图像可知，当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x) g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，). (2)xf(x)0， 当 x(，2)(1，0)(1，2)时，f(x)0， 不等式 xf(x)0 的解集为(2，1)(1，2). (3)函数 f(x)|ln|2x|的图像如图所示， 由图可得， 函数 f(x)在区间(1，2)上单调递增，A 正确； 函数 yf(x)的图像关于直线 x2 对称，B 正确； 若 x1x2，但 f(x1)f(x2)，则 x1x2的值不一定等于 4，C 错误； 函数 f(x)有且仅有两个零点，D 正确. 函数图像的活用 直观想象是
17、发现和提出问题， 分析和解决问题的重要手段， 在数学研究的探索中， 通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比 比皆是， 并贯穿于数学研究过程的始终， 而数形结合思想是典型的直观想象范例. 一、根据函数图像确定函数解析式 【例 1】(2021长沙检测)已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，与图像最 契合的是() A.ysin(exe x) B.ysin(exe x) C.ycos(exe x) D.ycos(exe x) 答案D 解析由函数图像知，函数图像关于 y 轴对称， ysin(exe x)为奇函数，图像关于原点对称，B 不正确； 又1f(0)0，cos 0
18、1，故 A，C 不正确； 只有 ycos(exe x)满足图像特征.故选 D. 素养升华函数解析式与函数图像是函数的两种重要表示法，图像形象直观，解 析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化. 二、由图像特征研究函数性质求参数 【例 2】设函数 f(x) x24x，x4， log2x，x4， 若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递 增，则实数 a 的取值范围是() A.(，1B.1，4 C.4，)D.(，14，) 答案D 解析作出函数 f(x)的图像如图所示，由图像可知，要使 f(x) 在(a，a1)上单调递增， 需满足 a4 或 a12. 因此 a4 或 a1. 素养升华1.运用函数
19、图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含 义及其表示的内容，熟悉图像所能够表达的函数的性质. 2.图像形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不 等式的求解常与图像数形结合研究. A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020天津卷)函数 y 4x x21的图像大致为( ) 答案A 解析令 f(x) 4x x21，则 f(x)的定义域为 R，且 f(x) 4x x21f(x)，因此，函 数为奇函数，排除 C，D.当 x1 时，f(1)4 220，排除 B.故选 A. 2.(2021江南十校模拟)函数 f(x) xcos x 2x2 x在 2， 2 上的图像大致为()
20、 答案C 解析根据题意，有 f(x) xcos x 2x2 xf(x)，且定义域关于原点对称，则在 2， 2 上，f(x)为奇函数，其图像关于原点对称，排除 A，B； 又在区间 0， 2 上，x0，cos x0，2x0，2 x0，则 f(x)0，排除 D，只有 C 适 合. 3.若函数 f(x)axa x(a0 且 a1)在 R 上为减函数，则函数 yloga(|x|1)的图 像可能是() 答案D 解析由 f(x)在 R 上是减函数，知 0a1 时， yloga(x1)的图像由 ylogax 的图像向右平移一个单位得到.因此 D 正确. 4.下列函数中，其图像与函数 yln x 的图像关于直线
21、 x1 对称的是() A.yln(1x)B.yln(2x) C.yln(1x)D.yln(2x) 答案B 解析法一设所求函数图像上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线 x1 的对 称点的坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数 f(x)ln x 的图像上，所 以 yln(2x). 法二由题意知， 对称轴上的点(1， 0)在函数 yln x 的图像上也在所求函数的图 像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C，D，选 B. 5.(2021豫北名校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)32x， 则不等式 f(x)0 的解集为() A. 3 2， 3
22、 2B. ，3 2 3 2， C. ，3 2 0，3 2D. 3 2，0 3 2， 答案C 解析根据题意，f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x) 32x，可得其图像如图，且 f(0)0，f 3 2 f 3 2 0， 则不等式 f(x)0 的解集为 ，3 2 0，3 2 . 6.若函数 f(x) axb，x1， ln（xa） ，x1的图像如图所示，则 f(3) () A.1 2 B.5 4 C.1D.2 答案C 解析由图像知 ln（a1）0， ba3， 得 a2， b5. f(x) 2x5，x1， ln（x2） ，x1.故 f(3)561. 7.(多选题)(2021山东新高考模
23、拟)对于函数 f(x)lg(|x2|1)，下列说法正确的 是() A.f(x2)是偶函数 B.f(x2)是奇函数 C.f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数 D.f(x)没有最小值 答案AC 解析f(x2)lg(|x|1)为偶函数，A 正确，B 错误.作出 f(x)的 图像如图所示，可知 f(x)在(，2)上是减函数，在(2，) 上是增函数；由图像可知函数存在最小值 0，C 正确，D 错误. 8.若函数 yf(x)的图像的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图像所对应的函数解 析式可以是() A.yf 2x1 2B.yf(2x1) C.yf 1 2x 1 2D.yf 1 2
24、x1 答案B 解析函数 f(x)的图像先整体往右平移 1 个单位，得到 yf(x1)的图像，再将 所有点的横坐标变为原来的1 2，得到 yf(2x1)的图像. 二、填空题 9.若函数 yf(x)的图像过点(1， 1)， 则函数 yf(4x)的图像一定经过点_. 答案(3，1) 解析由于函数 yf(4x)的图像可以看作 yf(x)的图像先关于 y 轴对称，再向 右平移 4 个单位长度得到.点(1，1)关于 y 轴对称的点为(1，1)，再将此点向右 平移 4 个单位长度为(3，1).所以函数 yf(4x)的图像过定点(3，1). 10.在平面直角坐标系 xOy 中， 若直线 y2a 与函数 y|x
25、a|1 的图像只有一个 交点，则 a 的值为_. 答案1 2 解析函数 y|xa|1 的大致图像如图所示， 若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图像只有一个交点， 只需 2a1，可得 a1 2. 11.使 log2(x)x1 成立的 x 的取值范围是_. 答案(1，0) 解析在同一直角坐标系内作出 ylog2(x)，yx1 的图像，知满足条件的 x (1，0). 12.已知函数 f(x)在 R 上单调且其部分图像如图所示，若不等式 2f(xt)4 的解集为(1，2)，则实数 t 的值为_. 答案1 解析由图像可知不等式2f(xt)4， 即 f(3)f(xt)f(0). 又 yf(x)在 R
26、 上单调递减， 0 xt3，不等式解集为(t，3t). 依题意，得 t1. B 级能力提升 13.若直角坐标系内 A，B 两点满足：(1)点 A，B 都在 f(x)的图像上；(2)点 A，B 关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和谐点对” ，(A，B)与(B，A) 可看作一个“和谐点对”.已知函数 f(x) x22x（x0） ， 2 ex （x0） ， 则 f(x)的“和谐点对” 有() A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 答案B 解析作出函数 yx22x(x0)的图像关于原点对称的图像(如 图中的虚线部分)， 看它与函数 y2 ex(x0)的图像的交点个数即 可，观
27、察图像可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2 个. 14.(2020潍坊质检)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，f(x 2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x2.若直线 yxa 与函数 f(x)的图像在0，2内 恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是() A.0B.0 或1 2 C.1 4或 1 2 D.0 或1 4 答案D 解析因为 f(x2)f(x)，所以函数 f(x)的周期为 2，如图所示： 由图知，直线 yxa 与函数 f(x)的图像在区间0，2内恰有两个不同的公共点 时，直线 yxa 经过点(1，1)或与曲线 f(x)x2(0 x1)相
28、切于点 A，则 11 a，或方程 x2xa 只有一个实数根.所以 a0 或14a0，即 a0 或 a 1 4. 15.(多选题)(2021日照模拟)设 f(x)是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实 数 x1，x2，使得 f x1x2 2f（x 1）f（x2） 2 ，则称函数 f(x)具有性质 P.那么下列 函数中，具有性质 P 的函数为() A.f(x) 1 x，x0， 0，x0 B.f(x)|x21| C.f(x)x3xD.f(x)2|x| 答案ABC 解析对于 A，在函数 f(x)的图像上取 A(1，1)，B(0，0)，C(1，1)，有 f(0) f（1）f（1） 2 成立，故 A
29、 正确； 对于 B，在函数 f(x)的图像上取 A( 2，1)，B(0，1)，C( 2，1)，有 f(0) f（ 2）f（ 2） 2 成立，故 B 正确； 对于 C，在函数 f(x)的图像上取 A(1，2)，B(0，0)，C(1，2)，有 f(0) f（1）f（1） 2 成立，故 C 正确； 对于 D，因为 f(x)2|x|，f（x1）f（x2） 2 2 |x1|2|x2| 2 2|x1|2|x2|2 |x1|x2| 22| x1x2 2 | f x1x2 2，又 x1x2，所以 f x1x2 2f（x 1）f（x2） 2 恒成立，故 D 错误.故选 ABC. 16.已知函数 f(x)|log3x|，实数 m，n 满足 0mn，且 f(m)f(n)，若 f(x)在m2，n 上的最大值为 2，则n m_. 答案9 解析如图， 作出函数 f(x)|log3x|的图像， 观察可知 0m1n 且 mn1. 若 f(x)在m2，n上的最大值为 2， 从图像分析应有 f(m2)2， log3m22，m21 9. 从而 m1 3，n3，故 n m9.
