相似三角形专题.docx

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资源描述

1、相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 相似三角形:相似三角形: 填空:填空: 1. 如果一个三角形的三边长为 5、12、13,与其相似的三角形的最长的边为 39, 那么较大的三角形的周长为 ,面积为 2. 如图,在ABC 中,DEBC,AD=2,AE=3,BD=4,则 AC= 3. 五边形 ABCDE五边形 ABCDE,A=120,B=130,C=105, D=85,则E= 4. 如图,在ABC 中,D、E 分别是 AC、AB 边上的点,AED=C,AB=6, AD=4,AC=5,则 AE= 5. 如图,ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原 点为位似

2、中心,将ABC 缩小,位似比为 1:2,则线段 AC 中点 P 变换后对应 点的坐标为 6. 从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比时,可以给人一种协调 的美感某女老师上身长约 61.80cm,下身长约 93.00cm,她要穿约 cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到 0.01cm) 7. 如图,ABC中,AB=AC,A=36,BD 平分ABC 交 AC 于点 D,点D 为 AC 的黄金分割点(ADCD),AC=6,则 CD= 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 8如图,已知 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 PAPB,若 S 表示 PA为一边 1 的正方形的面积,

3、S 表示长是 AB,宽是 PB 的矩形的面积,则 S 21 S (填“”“=”或“”) 2 9如图,ABC 中,P 为 AB 上一点,在下列四个条件中: ACP=B;APC=ACB;AC =APAB;ABCP=APCB,能满足2 APC 与ACB 相似的条件是( 10如图,在正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,点 F 在 BC 上,且 FC= BC图 中相似三角形共有()对 11如图,正方形 ABCD 的边长为 2,AE=EB,MN=1,线段 MN 的两端在 CB,CD 上滑动,当 CM= 角形相似 时,AED 与以 M,N,C 为顶点的三 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享

4、 12如图,C 是 AB 的黄金分割点,BG=AB,以 CA 为边的正方形的面积为 S , 1 以 BC、BG 为边的矩形的面积为 S ,则 S1S (填 22 “”“”“=”) 13如图,在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 的中点,MNAC 于点 N,则 MN 等于( 14在ABC 中,ACB=90,CDAB 于点 D,则下列说法正确的有 (填序号)ACBC=ABCD;AC =ADDB;BC =BDBA;22 CD =ADDB2 15如图,在 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,EF 交 AC 于点 G,则 的值是 16如图,在梯形ABCD 中,ADBC,

5、AC,BD 交于点 O,SAOD:SCOB=1: 9,则 SDOC:SBOC= 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 17如图,在ABC 中,BC=a若 D , E 分别是 AB,AC 的中点,则 D E =; 1111 若 D ,E 分别是 D B,E C 的中点,则 D E =若 D E 分别是 221122nn DB,EC 的中点,则 D E 的长是多少(n1,且 n 为整数,结果用含 a, n1n1nn n 的代数式表示)? 18如图,将ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60后,得到ABC,且 C为 BC 的 中点,则 CD:DB=( 19如图,在正方形网格中,点 A、B、C、D

6、 都是格点,点 E 是线段 AC 上任 意一点如果 AD=1,那么当 AE= 角形与ABC 相似 时,以点 A、D、E 为顶点的三 20如图,在直角三角形ABC 中(C=90),放置边长分别为3,4,x 的三个 正方形,则 x 的值为() 21如图, ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 上的点,且 DE=2AE,BF=2FC, 连接BE、AF交于点H,连接DF、CE交于点G,则= 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 22如图,ABC 是边长为 1 的等边三角形,取BC 边中点 E,作 EDAB 交 AC 于点 D,EFAC 交 AB 于点 F,得到四边形 EDAF,它的面积记做

7、 S ,取 BE 边 1 中点E , 作E D FB交EF于点D , E F EF交AB于点F ,得到四边形E D FF , 11111 11111 它的面积记做 S 照此规律作下去,则 S= 22013 解答:解答: 1已知:如图所示,D 是 AC 上一点,BEAC,AE 分别交 BD,BC 于点 F,G, 1=2则证明 BF =FGEF2 2如图,梯形ABCD 中,ABCD,点F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延长线交于 点 G (1)求证:CDFBGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EFCD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm, 求 CD 的长 3已知:如图,在ABC

8、中,AB=AC,DEBC,点 F 在边 AC 上,DF 与 BE 相交于点 G,且EDF=ABE 求证:(1)DEFBDE;(2)DGDF=DBEF 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 4如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、CD 上的点, 连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G (1)求证:ABEDEF; (2)若正方形的边长为 4,求 BG 的长 5如图,M 为线段 AB 的中点,AE 与 BD 交于点 C,DME=A=B,且DM 交 AC 于 F,ME 交 BC 于 G写出图中的所有相似三角形,并选择一对加以证 明 6如图,在ABC中,C=90,BC=16

9、cm,AC=12cm,点P 从 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向 C 移动,点 Q 从 C 出发,以 1cm/s 的速度向 A 移动,若 P、 Q 分别从 B、C 同时出发,设运动时间为 ts,当为何值时,CPQ 与CBA 相似? 7如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB,他调整自 己的位置,设法使斜边 DF 保持水平,并且边 DE 与点 B 在同一直线上,已知纸 板的两条直角边 DE=40cm,EF=20cm,测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m, CD=8m,求树高 AB 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 8如图,在梯形 ABCD 中,

10、ADBC,P 是 AB 上一点,PEBC 交 CD 于点 E若 AD=2,BC= ,则点 P 在何处时,PE 把梯形 ABCD 分成两个相似的小梯形? 9如图,已知线段 AB,P 是 AB 的黄金分割点(AP BP ),点 O 是 AB 的 111 中点,P 是 P 关于点 O 的对称点求证:P B 是 P B 和 P P 的比例中项 2112 10如图,已知 DEBC,EFAB,设 SABC=S,SABC=S ,S=S ,请验证 1ECF2 11如图,在RtABC 中,B=90,AB=1,BC= ,以点C 为圆心,CB 为半 径的弧交 CA 于点 D;以点 A 为圆心,AD 为半径的弧交 A

11、B 于点 E (1)求 AE 的长度; (2)分别以点 A、E 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点 F(F 与 C 在 AB 两侧),连接 AF、EF,设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G,连接AG,试猜想EAG 的大小,并说明理由 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 12如图,在平面直角坐标系中,直线交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B试 在 y 轴上找一点 P,使AOP 与AOB 相似,你能找出几个这样的点(点 P 与点 B 不重合)?分别求出对应 AP 的长度 13如图,已知ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,点P 在 AC 上(与 点 A,C 不重合),

12、点 Q 在 BC 上 (1)CPQ 的边 PQ 上的高为 时,求CPQ 的周长; (2)当CPQ 的周长与四边形 PABQ的周长相等时,求 CP 的长 14阅读下面的短文,并解答下列问题: 我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全 相同,就把它们叫做相似体 如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之 比都等于相似比(a:b) 设 S、S分别表示这两个正方体的表面积,则 甲乙 又设 V、V分别表示这两个正方体的体积,则 甲乙 (1)下列几何体中,一定属于相似体的是(A) A两个球体 B两个锥体 C两个圆柱体 D两个长方体 (2)请归纳出相

13、似体的三条主要性质: 相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于; 相似体表面积的比等于 相似体体积比等于 ; (3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个 小朋友上幼儿园时身高为 1.1 米,体重为 18 千克,到了初三时,身高为 1.65 米,问他的体重是多少?(不考虑不同时期人体平均密度的变化) 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 15ABC中,C=90,A=60,AC=2cm长为1cm 的线段 MN 在ABC 的边AB上沿AB方向以 1cm/s的速度向点 B运动(运动前点M与点A重合)过 M,N 分别作 AB 的垂线交直角边于 P,Q 两点,线段 MN

14、运动的时间为 ts (1)若AMP 的面积为 y,写出 y 与 t 的函数关系式(写出自变量 t 的取值范 围); (2)线段 MN 运动过程中,四边形 MNQP 有可能成为矩形吗?若有可能,求 出此时 t 的值;若不可能,说明理由; (3)t 为何值时,以 C,P,Q 为顶点的三角形与ABC 相似? 16定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自 相似图形 探究: (1)如图甲,已知ABC 中C=90,你能把ABC 分割成 2 个与它自己相似的 小直角三角形吗?若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由 (2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点

15、, 则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形我们把DEF(图乙)第一 次顺次连接各边中点所进行的分割,称为 1 阶分割(如图 1);把 1 阶分割得出 的 4 个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为 2 阶分割(如 图 2)依次规则操作下去n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形 (n 为正整数),设此时小三角形的面积为 S N 若DEF 的面积为 10000,当 n 为何值时,2S 3?(请用计算器进行探 n 索,要求至少写出三次的尝试估算过程) 当 n1 时,请写出一个反映 S,S ,S之间关系的等式(不必证明) n1nn+1 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老

16、师共享 17如图,分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别 用 S ,S ,S 表示,则不难证明 S =S +S 123123 (1)如图,分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别 用 S ,S ,S 表示,那么 S ,S ,S 之间有什么关系;(不必证明) 123123 (2)如图,分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分 别用 S 、S 、S 表示,请你确定 S ,S ,S 之间的关系并加以证明; 123123 (3)若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用 S ,S ,S 表示,为使 S ,S

17、 ,S 之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形 123123 应满足什么条件证明你的结论; (4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论 18为了加强视力保护意识,欢欢想在书房里挂一张测试距离为 5m 的视力表, 但两面墙的距离只有 3m在一次课题学习课上,欢欢向全班同学征集“解决空 间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙两位同学设计方案新颖,构 思巧妙 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 (1)甲生的方案:如图,根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距离 为 3m 的小视力表如果大视力表中“E”的高是 3.5cm,那么小视力表中相应 “E

18、”的高是多少? (2)乙生的方案:使用平面镜来解决房间小的问题如图,若使墙面镜子能 呈现完整的视力表,由平面镜成像原理,作出了光路图,其中视力表 AB 的上、 下边沿 A,B 发出的光线经平面镜 MM的上下边沿反射后射人人眼 C 处如果 视力表的全长为 0.8m,请计算出镜长至少为多少米 19在直角边分别为5cm 和 12cm 的直角三角形中作菱形,使菱形的一个内角 恰好是三角形的一个角,其余顶点都在三角形的边上,求所作菱形的边长 20如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果,那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割 线”,类似地

19、给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为 S 的图形分成两 部分,这两部分的面积分别为S ,S ,如果,那么称直线l 为该图形的黄 12 金分割线 (1)研究小组猜想:在ABC 中,若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图 2) , 则直线 CD 是ABC 的黄金分割线你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E,再过 点 D 作直线 DFCE,交 AC 于点 F,连接 EF(如图 3),则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线请你说明理由 (4)如图4,点E是平行四边形ABC

20、D的边AB的黄金分割点,过点E作EFAD, 交 DC 于点 F,显然直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平 行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点 21如图,已知线段 ABCD,AD 与 BC 相交于点 K,E 是线段 AD 上一动点 (1)若 BK= KC,求的值; (2)连接 BE,若 BE 平分ABC,则当 AE= AD 时,猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明再探究:当 AE= AD 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 (n2),而其余条件不变时,线段 AB、BC、CD 三者之间

21、又有怎样的等量关 系?请直接写出你的结论,不必证明 22如图,已知ABC 是面积为的等边三角形,ABCADE,AB=2AD, BAD=45,AC 与 DE 相交于点 F,则AEF的面积等于 留根号) (结果保 23如图,已知ABCA B C ,相似比为 k(k1),且ABC 的三边长分别 111 为 a、b、c(abc),A B C 的三边长分别为 a 、b 、c 111111 (1)若 c=a ,求证:a=kc; 1 (2)若 c=a ,试给出符合条件的一对ABC 和A B C ,使得 a、b、c 和 a 、 11111 b 、c 都是正整数,并加以说明; 11 (3)若 b=a ,c=b

22、,是否存在ABC 和A B C 使得 k=2?请说明理由 11111 24在左图的方格纸中有一个 RtABC(A、B、C 三点均为格点),C=90 (1)请你画出将 RtABC 绕点 C 顺时针旋转 90后所得到的 RtABC,其中 A、B 的对应点分别是 A、B(不必写画法); (2)设(1)中 AB 的延长线与 AB相交于 D 点,方格纸中每一个小正方形的 边长为 1,试求 BD 的长(精确到 0.1) 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 25如图,已知:在 RtABC 中,ACB=90,sinB= , D 是 BC 上一点,DEAB, 垂足为 E,CD=DE,AC+CD=9求

23、BC 的长 26如图,在ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动设 BD=x, CE=y (1)如果BAC=30,DAE=105,试确定 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果BAC=,DAE=,当 , 满足怎样的关系时,(1)中 y 与 x 之 间的函数关系式还成立?试说明理由 27如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BECD 于 E,F 为 AE 上一点, 且BFE=C (1)求证:ABFEAD; (2)若 AB=5,AD=3,BAE=30,求 BF 的长 28如图,AB 与 CD 相交于 E,AE=EB,CE=ED,D 为线段 FB 的中点,CF 与

24、AB 交于点 G,若 CF=15cm,求 GF 之长 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 29如图,AFCE,垂足为点 O,AO=CO=2,EO=FO=1 (1)求证:点 F 为 BC 的中点; (2)求四边形 BEOF 的面积 30 E、F 为平行四边形 ABCD 的对角线 DB 上三等分点,连 AE 并延长交 DC 于 P,连 PF 并延长交 AB 于 Q,如图 (1)在备用图中,画出满足上述条件的图形,记为图,试用刻度尺在图、 中量得 AQ、BQ 的长度,估计 AQ、BQ 间的关系,并填入下表:(长度单位: cm) AQ 长度BQ 长度AQ、BQ 间的关系 由上表可猜测 AQ、

25、BQ 间的关系是 AQ=3QB; (2)上述(1)中的猜测 AQ、BQ 间的关系成立吗?为什么? (3)若将平行四边形ABCD 改为梯形(ABCD)其他条件不变,此时(1)中 猜测 AQ、BQ 间的关系是否成立?(不必说明理由) 31如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴负半轴上,点 B 的坐标是(0,2), 过点 B 作 BCAB 交 x 轴于点 C,过点 C 作 CDBC 交 y 轴于点 D,过点 D 作 DECD 交 x 轴于点 E,过点 E 作 EFDE 交 y 轴于点 F,若 EA=3AC (1)求证:CBAEDC; 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 (2)请写出点

26、 A,点 C 的坐标(解答过程可不写); (3)求出线段 EF 的长 32如图,在ABC 中,点 D,E,Q 分别在 AB,AC,BC 上,且 DEBC, AQ 交 DE 于点 P求证:; 如图,在ABC中,BAC=90,正方形DEFG 的四个顶点在ABC 的边 上,连结 AG,AF,分别交 DE 于 M,N 两点 (1)如图,若 AB=AC=1,直接写出 MN 的长; (2)如图,探究 DM,MN,EN 之间的关系,并说明理由 33如图,在平面直角坐标系中,已知 OA=12 厘米,OB=6 厘米点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动;点 Q 从点 B 开始沿

27、BO 边向 点 O 以 1 厘米/秒的速度移动如果 P、Q 同时出发,用 t(秒)表示移动的时 间(0t6),那么 (1)设POQ 的面积为 y,求 y 关于 t 的函数解析式; (2)当POQ 的面积最大时,将POQ 沿直线 PQ 翻折后得到PCQ,试判断 点 C 是否落在直线 AB 上,并说明理由; (3)当 t 为何值时,POQ 与AOB 相似 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 34已知ABC 是等腰直角三角形,A=90,D 是腰 AC 上的一个动点,过 C 作 CE 垂直于 BD 或 BD 的延长线,垂足为 E,如图 (1)若 BD 是 AC 的中线,求的值; (2)若 B

28、D 是ABC 的角平分线,求的值; (3)结合(1)、(2),试推断的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探 究的值能小于 吗?若能,求出满足条件的 D 点的位置;若不能,说明理由 35已知抛物线 y=ax +bx1 经过点 A(1,0)、B(m,0)(m0),且 与 y 轴交于点 C (1)求 a、b 的值(用含 m 的式子表示); (2)如图所示,M 过 A、B、C 三点,求阴影部分扇形的面积 S(用含 m 的 式子表示); (3)在 x 轴上方,若抛物线上存在点 P,使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似,求 m 的值 36如图,点 D,E 分别在ABC 的边 BC,BA 上

29、,四边形 CDEF 是等腰梯形, EFCDEF 与 AC 交于点 G,且BDE=A (1)试问:ABFG=CFCA 成立吗?说明理由; (2)若 BD=FC,求证:ABC 是等腰三角形 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 37如图,在ABCD 中,AE、BF 分别平分DAB 和ABC,交CD 于点 E、F, AE、BF 相交于点 M (1)试说明:AEBF; (2)判断线段 DF 与 CE 的大小关系,并予以说明 38如图、在ABCD 中,BAD、ABC 的平分线 AF、BG 分别与线段 CD 两侧的延长线(或线段 CD)相交于点 F、G,AF 与 BG 相交于点 E (1)在图中,

30、求证:AFBG,DF=CG; (2)在图中,仍有(1)中的 AFBG、DF=CG若 AB=10,AD=6,BG=4, 求 FG 和 AF 的长 39已知,如图,AD 为 RtABC 斜边 BC 上的高,点 E 为 DA 延长线上一点, 连接 BE,过点 C 作 CFBE 于点 F,交 AB、AD 于 M、N 两点 (1)若线段 AM、AN 的长是关于 x 的一元二次方程x 2mx+n mn+ m =0222 的两个实数根,求证:AM=AN; (2)若 AN=,DN= ,求 DE 的长; (3)若在(1)的条件下,SAMN:SABE=9:64,且线段 BF 与 EF 的长是关于 y 的一元二次方

31、程 5y 16ky+10k +5=0 的两个实数根,求 BC 的长22 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 40把两块全等的直角三角形 ABC 和 DEF 叠放在一起,使三角板 DEF 的锐角 顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中ABC=DEF=90,C=F=45, AB=DE=4,把三角板 ABC 固定不动,让三角板 DEF 绕点 O 旋转,设射线 DE 与射线 AB 相交于点 P,射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q (1)如图 1,当射线 DF 经过点 B,即点 Q 与点 B 重合时,易证APDCDQ此 时,APCQ=; (2)将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点

32、 O 沿逆时针方向旋转,设旋转角为 其中 090,问 APCQ 的值是否改变?说明你的理由; (3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为 y,求 y 与 x 的函数 关系式(图 2,图 3 供解题用) 41()如图1,点P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一直线过点P 分 别交 BA,BC 的延长线于点 Q,S,交 AD,CD 于点 R,T求证:PQPR=PSPT; ()如图2,图3,当点P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 或 DB 的延长线 上时,PQPR=PSPT是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明 理由(要求仅以图 2 为例进行证明或说明)

33、; ()如图 4,ABCD 为正方形,A,E,F,G 四点在同一条直线上,并且 AE=6cm, EF=4cm,试以()所得结论为依据,求线段 FG 的长度 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 42取一副三角板按图拼接,固定三角板 ADC,将三角板 ABC 绕点 A 依顺 时针方向旋转一个大小为 的角(045)得到ABC,如图所示 试问: (1)当 为多少度时,能使得图中 ABDC; (2)当旋转至图位置,此时又为多少度图中你能找出哪几对相似三角形, 并求其中一对的相似比; (3)连接BD,当045时,探寻DBC+CAC+BDC值的大小变化情 况,并给出你的证明 43如图 1,在直角梯

34、形 ABCD 中,ADBC,顶点 D,C 分别在 AM,BN 上 运动(点 D 不与 A 重合,点 C 不与 B 重合),E 是 AB 上的动点(点 E 不与 A, B 重合),在运动过程中始终保持 DECE,且 AD+DE=AB=a (1)求证:ADEBEC; 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 (2)当点 E 为 AB 边的中点时(如图 2),求证:AD+BC=CD;DE,CE 分别平分ADC,BCD; (3)设 AE=m,请探究:BEC 的周长是否与 m 值有关,若有关请用含 m 的 代数式表示BEC 的周长;若无关请说明理由 44如图,ABC中,BAC=90,AB=AC=1,

35、点 D 是 BC 上一个动点(不与 B、C 重合),在 AC 上取 E 点,使ADE=45 度 (1)求证:ABDDCE; (2)设 BD=x,AE=y,求 y 关于 x 的函数关系式; (3)当:ADE 是等腰三角形时,求 AE 的长 45等腰ABC,AB=AC=8,BAC=120,P 为 BC 的中点,小慧拿着含 30 角的透明三角板,使 30角的顶点落在点 P,三角板绕 P 点旋转 (1)如图 a,当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证:BPECFP; (2)操作:将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交 BA 的延 长线、边 AC 于点 E、F 探究

36、1:BPE 与CFP 还相似吗?(只需写出结论) 探究 2:连接 EF,BPE 与PFE 是否相似?请说明理由; 设 EF=m,EPF 的面积为 S,试用 m 的代数式表示 S 46如图:在平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 上的一点求证: 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 47(1)如图 1 所示,在等边ABC 中,点 D 是 AB 边上的动点,以 CD 为一 边,向上作等边EDC,连接 AE,求证:AEBC; (2)如图 2 所示,将(1)中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形, 所作EDC 相似于ABC,请问仍有 AEBC?证明你的结论 48如图,ABC 内

37、接于O,直径 CDAB,垂足为 E,弦 BF 交 CD 于点 M, 交 AC 于点 N,且 BF=AC,连接 AD、AM 求证:(1)ACMBCM; (2)ADBE=DEBC; (3)BM =MNMF 49操作:在ABC 中,AC=BC=2,C=90,将一块等腰直角三角板的直角 顶点放在斜边 AB 的中点 P 处,将三角板绕点 P 旋转,三角板的两直角边分别交 射线 AC、CB 于 D、E 两点图 1,2,3 是旋转三角板得到的图形中的 3 种情 况 研究: (1)三角板绕点 P 旋转,观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系,并结合图 2 加以证明; (2)三角板绕点 P 旋转,PBE

38、是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况 (即写出PBE 为等腰三角形时 CE 的长);若不能,请说明理由; 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 (3)若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处,且 AM:MB=1:3,和 前面一样操作,试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系?并结合图 4 加以证 明 50如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F 分别是 OA、OB 的中点 (1)求证:ADEBCF; (2)若 AD=4cm,AB=8cm,求 CF 的长 51如图,在直角梯形 ABCD 中,ABDC,ABC=90,AB=2DC,对角线 ACBD,垂

39、足为 F,过点 F 作 EFAB,交 AD 于点 E,CF=4cm (1)求证:四边形 ABFE 是等腰梯形; (2)求 AE 的长 52如图,用三个全等的菱形 ABGH、BCFG、CDEF 拼成平行四边形 ADEH, 连接 AE 与 BG、CF 分别交于 P、Q, (1)若 AB=6,求线段 BP 的长; (2)观察图形,是否有三角形与ACQ全等?并证明你的结论 相似三角形 75 题(含解析)-朱韬老师共享 53已知点 E、F 在ABC 的边 AB 所在的直线上,且 AE=BF,FHEGAC, FH、EG 分别交边 BC 所在的直线于点 H、G (1)如图 1,如果点 E、F 在边 AB 上

40、,那么 EG+FH=AC; (2)如图 2,如果点 E 在边 AB 上,点 F 在 AB 的延长线上,那么线段 EG、FH、 AC 的长度关系是 (3)如图 3,如果点 E 在 AB 的反向延长线上,点 F 在 AB 的延长线上,那么 线段 EG、FH、AC 的长度关系是 对(1)(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明 相似三角形 75 题(含解析)-解析 解析:解析: 填空:填空: 1解:设较大三角形的其他两边长为 a,b 由相似三角形的对应边比相等 解得:a=15,b=36, 则较大三角形的周长为 90,面积为 270 故较大三角形的周长为 90,面积为 270 2解:DEBC,

41、AD=2,AE=3,BD=4, E=540ABCD=100, 故答案为:100 4解:在AED 和ACB 中, A=A,AED=C, AEDACB , , AE= 故答案为: 相似三角形 75 题(含解析)-解析 5解:如图,A(2,2),C(6,4),点 P 的坐标为(4,3), 以原点为位似中心将ABC 缩小位似比为 1:2, 线段 AC 的中点 P 变换后的对应点的坐标为(2, )或(2, ) 故答案为:(2, )或(2, ) 6解:设她要穿约 xcm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果根据题意, = 7解:点 D 为 AC 的黄金分割点(ADCD), AC CD=ACAD=6(33)=9

42、3 故答案为 93 2 又S 表示PA为一边的正方形的面积,S 表示长是AB,宽是PB的矩形的面积, 12 S =PA ,S =PBAB,S =S 2 1212 故答案为:= 9解:A=AACP=B,APC=ACB 时都相似; AC =APABAC:AB=AP:AC2 相似; 此两个对应边的夹角不是A,所以不相似 所以能满足APC 与ACB 相似的条件是 相似三角形 75 题(含解析)-解析 10解:图中相似三角形共有 3 对理由如下: 四边形 ABCD 是正方形,D=C=90,AD=DC=CB, DE=CE,FC= BC,DE:CF=AD:EC=2:1, ADEECF,AE:EF=AD:EC

43、,DAE=CEF,AE:EF=AD:DE, 即 AD:AE=DE:EF, DAE+AED=90,CEF+AED=90, AEF=90,D=AEF,ADEAEF,AEFADEECF, 即ADEECF,ADEAEF,AEFECF 11. 解:设 CM 的长为 x 在 RtMNC 中 MN=1,NC= RtAEDRtCMN 时, 则 解得 x=(不合题意,舍去), RtAEDRtCNM 时, 则 即 , 解得 x=或(不合题意,舍去), 综上所述,当 CM= 故答案为: 或 时,AED 与以 M,N,C 为顶点的三角形相似 或 相似三角形 75 题(含解析)-解析 12解:由题意得:= 即:S =S

44、 =1 12 13解:连接 AM, AB=AC,点 M 为 BC 中点, AMCM(三线合一),BM=CM, AB=AC=5,BC=6, BM=CM=3, 在 RtABM 中,AB=5,BM=3, 根据勾股定理得:AM= 2 , 22 故错误,正确 故答案为: 相似三角形 75 题(含解析)-解析 15 , 解解:在ABC 中、BC=a,若 D 、E 分别是 AB、AC 的中点,根据中位线 11 11 a, a, 221122 332233 根据以上可得:若 Dn、En 分别是 DB、EC 的中点,则 DnEn= n1n1 a,即 D E 的长是a nn 18 B=CAB=30, 相似三角形

45、75 题(含解析)-解析 BC=2CD,BC=BC=4CD,CD:DB=1:3 19 解解:根据题意得:AD=1,AB=3,AC= 当 AE=2或时,以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似故答 案为:2或 解解:在 RtABC 中(C=90),放置边长分别 3,4,x 的三个正方形, 答: CEFOMEPFN,OE:PN=OM:PF, EF=x,MO=3,PN=4, OE=x3,PF=x4, (x3)(x4)=12,即 x 4x3x+12=12,2 21 解解:DE=2AE,BF=2FC, 答: BF=2AE,ED=2CF, 即有AHEFHB,CFGEGD, 则= ,同理= SBFH=

46、SABF= S ABCD, 相似三角形 75 题(含解析)-解析 故 S 四边形EHFG=SBCESBFHSCFG= SABCD S ABCD= S ABCD 故答案为: 22 解解:ABC 是边长为 1 的等边三角形, 1 2 n1 n 2012 2013 解答: 解答:BF 是 FG,EF 的比例中项 答: 证明:BEAC, 1=E, =,即 BF =FGEF, 2 2 解(1)证明:梯形 ABCD,ABCD, 答: CDF=G,DCF=GBF,(2 分) CDFBGF(3 分) (2)解:由(1)CDFBGF, 相似三角形 75 题(含解析)-解析 解证明:(1)AB=AC, 答: AB

47、C=ACB, DEBC, (2)由DEFBDE,得 2 , 2 4 解(1)证明:ABCD 为正方形, 答: AD=AB=DC=BC,A=D=90, AE=ED, , , 相似三角形 75 题(含解析)-解析 , , 解解:图中的相似三角形有:AMFBGM,DMGDBM,EMFEAM 答: (3 分) AFM=DME+E(外角定理), DME=A=B(已知), CP 和 CA 是对应边时,CPQCAB, 所以,=, 综上所述,当 t=4.8 秒或秒时,CPQ 与CBA 相似 7 解 解:在DEF 和DBC 中, DEFDBC, =, 相似三角形 75 题(含解析)-解析 AB=AC+BC=1.

48、5+4=5.5m, 即树高 5.5m 8 解解:PE 把梯形 ABCD 分成两个相似的小梯形, 答: 梯形 ADEP梯形 PECB, , 解证明:设 AB=2, 111 1 1 1 21 12 2 P B =(3) =146,P BP P =(1)(24)=1422 1212 2 1212 P B 是 P B 和 P P 的比例中项 1212 10 答: 四边形 DBFE 是平行四边形, 相似三角形 75 题(含解析)-解析 即 11 以点 C 为圆心,CB 为半径的弧交 CA 于点 D;以点 A 为圆心,AD 为半 径的弧交 AB 于点 E 解解:当 x=0 时,y=1, 答: 当 y=0

49、时,x=2, AOB=AOP=90,当OA:OB=OP:OA 时,AOP与AOB 相似, 2:1=OP:2, 解得 OP=4, 若AOPAOB,则 AP= 相似三角形 75 题(含解析)-解析 13 解解:(1)AB=5,BC=3,AC=4, 答: BC +AC =AB ,222 AB=5,BC=3,AC=4, CQ= ,CP=1,PQ= , CPQ 的周长 CQ+CP+PQ= +1+ =3; 相似三角形 75 题(含解析)-解析 答: (2)相似比相似比的平方相似比的立方;(每空(2 分),共 6 分) 解得 x= 15 解解:(1)当点 P 在 AC 上时,AM=t,PM=AMtan60=

50、t 2 当点 P 在 BC 上时,PM=BMtan30=(4t) 2 (2)AC=2,AB=4BN=ABAMMN=4t1=3t QN=BNtan30=(3t) 由条件知,若四边形 MNQP 为矩形,需 PM=QN,即t=(3t), t= 当 t= s 时,四边形 MNQP 为矩形 (3)由(2)知,当 t= s 时,四边形 MNQP 为矩形,此时 PQAB, 除此之外,当CPQ=B=30时,QPCABC,此时=tan30= =cos60= ,AP=2AM=2tCP=22t (3t) 当s 或 s 时,以 C,P,Q 为顶点的三角形与ABC 相似 相似三角形 75 题(含解析)-解析 16 解解

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