1、第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法 练习题练习题 1、 请描述平稳时间序列的条件。 2、 单整变量的单位根检验为什么从 DF 检验发展到 ADF 检验？ 3、设, 10 ,sincostttxt其中，是相互独立的正态分布 N(0, 2 )随机变 量，是实数。试证：10 , txt为平稳过程。 4、 用图形及 LB Q法检验 1978-2002 年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下： 年份居民消费总额年份居民消费总额年份居民消费总额 19781759.119875961.2199526944.5 19792005.419887633.1199632152.3 19802317.1198
2、98523.5199734854.6 19812604.119909113.2199836921.1 19822867.9199110315.9199939334.4 19833182.5199212459.8200042895.6 19843674.5199315682.4200145898.1 19854589199420809.8200248534.5 19865175 5、 利用 4 中数据，用 ADF 法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。 6、 利用 4 中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。 7、 根据 6 中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。 8、
3、 用 Yule Walker 法和最小二乘法对 7 中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序 列模型估计，并比较估计结果。 9、 有如下 AR(2)随机过程： tttt XXX 21 06. 01 . 0 该过程是否是平稳过程？ 10、求 MA(3)模型 321 3 . 05 . 08 . 01 ttttt uuuuy的自协方差和自相关函数。 11、设动态数据,92. 0,82. 0,74. 0, 9 . 0, 7 . 0, 8 . 0 654321 xxxxxx,78. 0 7 x ,84. 0,72. 0,86. 0 1098 xxx求样本均值x，样本方差 0 ，样本自协方差 1 、
4、2 和样 本自相关函数 1 、 2 。 12、判断如下 ARMA 过程是否是平稳过程： 121 14. 01 . 07 . 0 ttttt xxx 13、以 t Q表示粮食产量， t A表示播种面积， t C表示化肥施用量，经检验，他们取对数后 都是 I（1）变量且相互之间存在 CI（1，1）关系。同时经过检验并剔除了不显著的变量（包 括滞后变量） ，得到如下粮食生产模型： tttttt CCAQQ 1432110 lnlnlnlnln 推导误差修正模型的表达式，并指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。 14 、 固 定 资 产 存 量 模 型 ttttt IIKK 132110 中 ，
5、经 检 验 ， ) 1 (),2(IIIK tt ，试写出由该 ADL 模型导出的误差修正模型的表达式。 15、以下是天津食品消费相关数据，试完成误差修正模型的建立 年份人均食物年支出人均年生活费收入职工生活费用定基价格指数 195092.28151.21 195197.92165.61.145 1952105182.41.16332 1953118.08198.481.254059 1954121.92203.641.275378 1955132.96211.681.275378 1956123.84206.281.272827 1957137.88225.481.295738 195813
6、8226.21.281485 1959145.08236.881.280203 1960143.04245.41.296846 1961155.42401.445984 1962144.24234.841.448875 1963132.72232.681.411205 1964136.2238.561.344878 1965141.12239.881.297807 1966132.84239.041.287425 1967139.2237.481.2797 1968140.76239.41.27842 1969133.56248.041.286091 1970144.6261.481.2745
7、16 1971151.2274.081.271967 1972163.2286.681.271967 19731652881.277055 1974170.52293.521.273224 1975170.16301.921.274497 1976177.36313.81.274497 1977181.56330.121.278321 1978200.4361.441.278321 1979219.6398.761.291104 1980260.76491.761.35695 1981271.085011.374591 1982290.28529.21.381464 1983318.48552
8、.721.388371 1984365.4671.161.413362 1985418.92811.81.598512 1986517.56988.441.707211 1987577.921094.641.823301 1988665.761231.82.131439 1989756.241374.62.44476 1990833.761522.22.518103 参考答案参考答案 1、如果时间序列 t X满足下列条件： 1）均值)( t XE与时间 t 无关的常数； 2）方差 2 )var( t X与时间 t 无关的常数； 3）协方差 kkttX X )cov(只与时期间隔 k 有关，与时
9、间 t 无关的常数。 则称该随机时间序列是平稳的。 2、 在使用 DF 检验时， 实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程 （AR(1)）生成的。但在实际检验中，时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的，或者 随机误差项并非是白噪声， 这样用 OLS 法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关， 导致 DF 检验无效。另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降） ， 则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。为了保证 DF 检验中随机误差项的白噪 声特性，Dicky 和 Fuller 对 DF 检验进行了扩充，形成了 ADF 检验。 3、E（ t x
10、）=0)(sin)(costEtE k tkttkt tEkttEkttEkttEkt ttktktExxEr tktk cos sin)(sincos)(cos )(cos)(sin)(sin)(cos)(sin)(sin)(cos)(cos sincos)(sin)(cos)( 2 2 22 2 0 )var( rXt 所以10 , txt为平稳过程 4、居民消费总额时间序列图： 0 10000 20000 30000 40000 50000 78808284868890929496980002 X 序列图表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步 判断是非
11、平稳的。 居民消费总额时间序列相关图及相关系数、 LB Q统计量： 从图中可以看出，样本自相关系数是缓慢下降的，表明了该序列的非平稳性。滞后 12 期的 LB Q统计量计算值为 75.18，超过了显著性水平 5%时的临界值 21.03，因此进一步否定了该 时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为 0 的假设。 这样， 结论是 19782002 年间 居民消费总额时间序列是非平稳序列。 5、经过偿试，模型 3 取了 3 阶滞后： 3211 23. 078. 024. 106. 014.19585.894 ttttt XXXXTX （-1.37）(2.17)(-1.68)(5.17 )(-2.
12、33)（0.94） DW 值为 2.03，可见残差序列不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。 从 1t X的参数值看，其 t 统计量的绝对值小于临界值绝对值，不能拒绝存在单位根的 零假设。同时，由于时间 T 的 t 统计量也小于 ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在 趋势项的零假设。需进一步检验模型 2 。 经试验，模型 2 中滞后项取 3 阶： 3211 30. 095. 043. 101. 061.401 ttttt XXXXX （1.38）(0.33)(5.84)(-2.62)（1.14） DW 值为 2.01,模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从 1t X的
13、参数值看， 其 t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，常数项的 t 统计量 也小于 ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型 1。 经试验，模型 1 中滞后项取 3 阶： 3211 35. 002. 153. 101. 0 ttttt XXXXX （0.63）(6.35)(-2.77)(1.29) DW 值为 1.99，残差不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从 1t X的参数值看，其 t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 至此，可断定居民消费总额时间序列是非平稳的。 6、利用 ADF 检验，经过试算，发现居
14、民消费总额是 2 阶单整的，适当的检验模型为： 1 3 1 23 471. 0854. 0 ttt XXX （-3.87）（2.30） Correlogram-Q-Statistics 检验证明随机误差项已不存在自相关。从 1 2 t X的参数值看， 其 t 统计量绝对值 3.87 大于临界值的绝对值，所以拒绝零假设，认为居民消费总额的二阶 差分是平稳的时间序列，即居民消费总额是 2 阶单整的。 7、 居民消费总额经二阶差分后的新序列 X2 的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如 图所示： 417. 0 2 n （二阶差分后样本数 n 为 23） ， 偏自相关函数值的绝对值在 k2 后均小
15、于此值， 而自相关函数是拖尾的，可认定该序列是一个 2 阶自回归过程。 8、有如下 Yule Walker 方程： 23. 0 41. 0 141. 0 41. 01 1 2 1 解为：479. 0,606. 0 21 用 OLS 法回归的结果为： tttt XXX 21 2471. 02617. 02 (3.04)（-2.30） 348. 0 2 R. 2 R=0.313DW.=2.08 加入常数项,回归如下式 tttt XXX 21 2488. 02607. 0022.1112 （0.62）（2.94）（-2.32） 2 R=0.361. 2 R=0.291DW.=2.11 对三个模型的残
16、差进行检验，得到 Q 统计量如下： 模型1模型2模型3 KQ-StatProbQ-StatProbQ-StatProb 10.08410.7720.11480.7350.09070.763 20.08950.9560.11520.9440.10260.950 30.98920.8041.01260.7980.97490.807 41.01830.9071.06170.9001.00280.909 52.69850.7462.65120.7542.74790.739 62.70940.8442.65760.8502.76190.838 72.81690.9012.75480.9072.88180
17、.896 83.07680.9293.01780.9333.14430.925 93.86310.9203.84410.9213.91910.917 104.00390.9473.97910.9484.07160.944 114.14880.9654.11460.9664.22390.963 124.58530.9704.57310.9714.65690.968 可见，三个模型的残差序列都接近于白噪声。 9、 特征方程为： 3/10, 5 0)3 . 01)(2 . 01 ( 006. 01 . 01 21 2 zz zz zz 特征方程的根都在单位圆外，所以该过程是平稳的。 10、 152.
18、 0/ 131. 0/ 126. 0/ 1 3, 0 3 . 0 26. 0)8 . 0()3 . 0(5 . 0)( 25. 0)3 . 0(5 . 0)8 . 0(5 . 08 . 0)( 98. 1)3 . 0(5 . 0)8 . 0(1 )1 ( 3 . 0, 5 . 0, 8 . 0 033 022 011 0 22 33 222 3122 222 322111 2222222 3 2 2 2 10 321 r r r krk uu uuu uuu uuu 11、 10 1 808. 0 10 1 t t xx 10 1 2 0 004976. 0)( 10 1 t t xx 9 1
19、 11 0026784. 0)( 10 1 t tt xxxx 8 1 22 0009712. 0)( 10 1 t tt xxxx 538. 0/ 011 195. 0/ 022 12、 121 14. 01 . 07 . 0 ttttt xxx ARMA 模型的平稳性取决于 AR 部分的平稳性。对于 AR 部分，特征方程为： 5, 2 01 . 07 . 01 21 2 zz zz 特征方程的根都在单位圆外，所以该 AR 过程是平稳的，可知 ARMA 过程也是平稳的。 13、 tttttt tt ttttttttt CAQCA C CCAAAQQQQ )ln 1 ln 11 )(ln1 (
20、lnln ln)( )ln(lnln)ln(lnln) 1(lnlnln 1 1 43 1 1 2 1 0 1132 143 1312121101 短期播种面积变化 1%，将引起粮食产量变化 2 %；短期化肥施用量变化 1%，将引起粮食产 量变化 3 %；-（1- 1 ）的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。 14、 ttttt IIKK 132011 ，令 ttt DKK 11 ，则 )( )()( 132012 1121320113201 ttt tttttttttttt IDI DIIIDIIDDD 即 ttttttt IKKIKK )()()( 1320211211 15、 （1） 、
21、初步分析 首先， 将人均食品支出和人均年生活费收入消除物价变动的影响， 得到实际人均年食品支出 C 和实际人均年生活费收入 Y；然后对 C 和 Y 分别取对数，记 c=lnC,y=lnY （2） 、单整的单位跟检验 容易验证 lnC 与 lnGDP 是一阶单整的，它们适合的检验模型如下： 1 2 736. 0 tt cc （-4.723） DW=2.03 2 2 1 2 1 2 070. 0173. 0425. 0 tttt yyyy （-2.332） DW=1.89 在 5%的显著性水平下，上述两方程的 ADF 检验临界值分别为-1.95 与-1.95。 （3） 、协整检验 首先，建立 c
22、与 y 的回归模型 tt yc912. 0077. 0 （-1.15）(75.61) 2 R=0.993DW=1.18 残差项的稳定性检验： 1 598. 0 tt ee （-4.03） 2 R0.294DW=1.97 这里的 t 检验值小于 5%显著性水平下的 ADF 临界值-1.95，说明 c 与 y 是（1，1）阶协整的， 误差修正项 11 )912. 0077. 0( tt ycECM （4） 、建立误差修正模型 以 c 的差分c为被解释变量，以c的各阶滞后，y 的差分y及其各阶滞后和误差修正项 为解释变量，利用 OLS 法进行估计并剔除不显著的解释变量，得误差修正模型： tttt ECMyc 1 641. 0777. 0 2 R=0.716DW=1.933 由协整检验可知， 食品消费与收入之间具有长期均衡关系； 模型中误差修正项的系数达到了 -0.641，说明收入与食品消费之间的长期均衡机制对消费的变化具有强烈的制约作用。
