1、20212021年全国统一高考数学试卷年全国统一高考数学试卷( (新高考新高考) ) 一、 单项选择题一、 单项选择题 ( (本题共本题共8 8小题， 每小题小题， 每小题 5 5分， 共分， 共 4040分。在每小题给出的四个选项中， 只有一分。在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的) ) 1. 1. 【2021全国卷1】 复数 2-i 1-3i 在复平面内对应点所在的象限为 () A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【解析】【解析】 解： 2-i 1-3i = (2-i)(1+3i) (1-3i)(1+3i) = 2+6i-i-3i2
2、 12+(-3)2 = 5+5i 10 = 1 2 + 1 2 i， 在复平面内， 复数 2-i 1-3i 对应的点的坐标为 1 2 ，1 2 ， 位于第一象限 【答案】【答案】 A 2.2. 【2021全国卷2】 若全集U =1， 2， 3， 4， 5， 6， 集合A=1， 3， 6， B =2， 3， 4， 则AUB = () A. 3B. 1， 6C. 5， 6D. 1， 3 【解析】【解析】 解： 因为全集U =1， 2， 3， 4， 5， 6， 集合A=1， 3， 6， B =2， 3， 4， 所以UB =1， 5， 6， 故AUB =1， 6 【答案】【答案】 B 3.3. 【20
3、21全国卷3】 若抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为2， 则p= () A. 1B. 2C. 2 2D. 4 【解析】【解析】 解： 抛物线y2=2px(p0)的焦点 p 2 ， 0 到直线y=x+1的距离为2， 可得 p 2 +1 2 =2， 解得p=2 【答案】【答案】 B 第1页， 共13页第1页， 共13页 4.4. 【2021 全国卷 4】 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导 航系统中， 地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面， 轨迹高度为 36000km( 轨道高度是指卫星到地球表面的距离 )将地球看作是一个球心为 O， 半径r
4、为6400km 的球， 其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到的 一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为， 该卫星信号覆盖地球表面的表面积 S=2r2(1-cos)(单位： km2)， 则S占地球表面积的百分比约为 () A. 26%B. 34%C. 42%D. 50% 【解析】【解析】 解： 由题意， 作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图， 则OB =36000+6400=424000， 那么cos= 6400 42400 = 8 53 ； 卫星信号覆盖的地球表面面积S=2r2(1-cos)， 那么， S占地球表面积的百分比为 2r2(1-cos) 4
5、r2 = 45 106 42% 【答案】【答案】 C 5.5. 【2021全国卷5】 正四棱台的上、 下底面的边长分别为2， 4， 侧棱长为2， 则其体积为 () A. 20+12 3B. 28 2C. 56 3 D. 28 2 3 【解析】【解析】 解： 如图ABCD-A1B1C1D1为正四棱台， AB =2， A1B1=4， AA1=2 在等腰梯形A1B1BA中， 过A作AE A1B1， 可得A1E = 4-2 2 =1， AE =AA1 2-A 1E 2 =4-1 =3连接AC， A1C1， AC =4+4 =2 2， A1C1=16+16 =4 2， 过A作AG A1C1， A1G =
6、 4 2 -2 2 2 =2， AG =AA1 2-A 1G 2 =4-2 =2， 正四棱台的体积为： V= S上+S下+S上S下 3 h = 22+42+2242 3 2 = 28 2 3 【答案】【答案】 故选： D 第2页， 共13页第2页， 共13页 6.6. 【2021全国卷6】 某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2)， 则下列结论中不正确的是 () A. 越小， 该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大 B. 越小， 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 越小， 该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等 D. 越小， 该物理量在
7、一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【解析】【解析】 解： 因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2)， 所以测量的结果的概率分布关于10对称， 且方差2越小， 则分布越集中， 对于A， 越小， 概率越集中在10左右， 则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概 率越大， 故选项A正确； 对于B， 不管取何值， 测量结果大于10的概率均为0.5， 故选项B 正确； 对于C， 由于概率分布关于10对称， 所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概 率， 故选项C 正确； 对于 D， 由于概率分布是集中在 10 附近的， (9.9,1
8、0.2) 分布在 10 附近的区域大于 (10 ,10.3)分布在10附近的区域， 故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率， 故选项D错误 【答案】【答案】 D 7.7. 【2021全国卷7】 已知a=log52， b=log83， c= 1 2 ， 则下列判断正确的是 () A. cbaB. bacC. acbD. abc 【解析】【解析】 解： log52log88 1 2= 1 2 ， acb 【答案】【答案】 C 8.8. 【2021全国卷8】 已知函数 f(x)的定义域为R， f(x+2)为偶函数， f(2x+1)为奇函数， 则 () A. f
9、- 1 2 =0B. f(-1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0 【解析】【解析】 解： 由题意， f(x+2)为偶函数， 可得 f(x+4)= f(-x)， f(2x+1)为奇函数， 可得 f(-2x+1)=-f(2x+1)， 令F(x)= f(2x+1)为奇函数， 可得F(0)= f(1)=0， f(-1)=-f(3)=-f(1)=0， 即 f(-x)=-f(x+2)， f(x+4)=-f(x+2)， 易知 f(x)的周期T =4， 其他选项的值不一定等于0 即 f(-1)=0， 【答案】【答案】 故选： B 第3页， 共13页第3页， 共13页 二、 多项选择题二、 多项选择题
10、( (本题共本题共4 4小题， 每小题小题， 每小题 5 5分， 共分， 共 2020分。在每小题给出的四个选项中， 有多项分。在每小题给出的四个选项中， 有多项 是符合题目要求的。全选对得是符合题目要求的。全选对得5 5分， 选对但不全得分， 选对但不全得2 2分， 有错误答案得分， 有错误答案得0 0分分) ) 9.9. 【2021全国卷9】（多选） 下列统计量中， 能度量样本x1， x2， ， xn的离散程度的有 () A. 样本x1， x2， ， xn的标准差B. 样本x1， x2， ， xn的中位数 C. 样本x1， x2， ， xn的极差D. 样本x1， x2， ， xn的平均数
11、【解析】【解析】 解： 中位数是反应数据的变化， 方差是反应数据与均值之间的偏离程度， 极差是用来表示统计资料中的变异量数， 反映的是最大值与最小值之间的差距， 平均数是反应数据的平均水平， 故能反应一组数据离散程度的是标准差， 极差 【答案】【答案】 AC 10.10.【2021全国卷10】（多选） 如图， 下列正方体中， O为底面的中点， P为所在棱的中点， M， N 为正方体的顶点， 则满足MN OP的是 () A.B. C.D. 【解析】【解析】 解： 对于A， 设正方体棱长为2， 设MN 与OP所成角为， 则tan= 1 1 2 4+4 = 2 2 ， 不满足MN OP， 故A错误；
12、 对于B， 如图， 作出平面直角坐标系， 设正方体棱长为2， 第4页， 共13页第4页， 共13页 则N(2， 0， 0)， M(0， 0， 2)， P(2， 0， 1)， O(1， 1， 0)， MN =(2， 0， -2)， OP =(1， -1， 1)， MN OP =0， 满足MN OP， 故B 正确； 对于C， 如图， 作出平面直角坐标系， 设正方体棱长为2， 则M(2， 2， 2)， N(0， 2， 0)， O(1， 1， 0)， P(0， 0， 1)， MN =(-2， 0， -2)， OP =(-1， -1， 1)， MN OP =0， 满足MN OP， 故C 正确； 对于D，
13、 如图， 作出平面直角坐标系， 设正方体棱长为2， 则M(0， 2， 2)， N(0， 0， 0)， P(2， 1， 2)， O(1， 1， 0)， MN =(0， -2， -2)， OP =(1， 0， 2)， MN OP =-4， 不满足MN OP， 故D错误 【答案】【答案】 故选： BC 11.11.【2021全国卷11】（多选） 已知直线l:ax+by-r2=0与圆C :x2+y2=r2， 点A(a,b)， 则下列说法正确的是 () A. 若点A在圆C 上， 则直线l与圆C 相切 B. 若点A在圆C 内， 则直线l与圆C 相离 C. 若点A在圆C 外， 则直线l与圆C 相离 D. 若
14、点A在直线l上， 则直线l与圆C 相切 【解析】【解析】 解： 点A在圆C 上， a2+b2=r2， 圆心C(0,0)到直线l的距离为d= |0a+0b-r2| a2+b2 = |r2| a2+b2 =r， 直线与圆C 相切， 故A选项正确， 点A在圆C 内， a2+b2r， 第5页， 共13页第5页， 共13页 直线与圆C 相离， 故B 选项正确， 点A在圆C 外， a2+b2r2， 圆心C(0,0)到直线l的距离为d= |0a+0b-r2| a2+b2 = |r2| a2+b2 0,b0)的离心率e=2， 则该双曲线的 渐近线方程为y= 3x 【解析】【解析】 解： 双曲线的方程是 x2
15、a2 - y2 b2 =1(a0,b0)， 双曲线渐近线为y= b a x 又离心率为e= c a =2， 可得c=2a c2=4a2， 即a2+b2=4a2， 可得b=3a 由此可得双曲线渐近线为y= 3x 【答案】【答案】 y= 3x 第6页， 共13页第6页， 共13页 14.14.【2021全国卷14】 写出一个同时具有下列性质的函数 f(x):f(x)=x2 f(x1x2)= f(x1)f(x2)； 当x(0,+)时， f(x)0； f(x)是奇函数 【解析】【解析】 解： f(x)=x2时， f(x1x2)=(x1x2)2=x1 2x 2 2= f(x 1)f(x2)； 当x(0,
16、+)时， f(x)= 2x0； f(x)=2x是奇函数 【答案】【答案】 f(x)=x2 15.15.【2021全国卷15】 已知向量a +b +c =0 ， |a|=1， |b|=|c|=2， 则a b +b c +c a = - 9 2 【解析】【解析】 解： 由a +b +c =0 得a +b =-c 或a +c =-b 或b +c =-a ， (a +b )2 =(-c )2 或(a +c )2 =(-b )2 或(b +c )2 =(-a )2， 又|a |=1， |b|=|c|=2， 5+2a b =4， 5+2a c =4， 8+2b c =1， a b =- 1 2 ， a c
17、 =- 1 2 ， b c =- 7 2 ， a b +a c +b c =- 9 2 【答案】【答案】 - 9 2 16.16.【2021全国卷16】 已知函数 f(x)=|ex-1|， x10， 函数 f(x)的图象在 点A(x1， f(x1)和点B(x2， f(x2)的两条切线互相垂直， 且分别交y轴于M， N 两点， 则 |AM| |BN| 的取值范围是(0,1) 【解析】【解析】 解： 当x0时， f(x)=ex-1， 导数为 f(x)=ex， 可得在点B(x2， ex_2-1)处的斜率为k2=ex_2， 令x=0， 可得y=ex_2-1-x2ex_2， 即N(0,ex_2-1-x2
18、ex_2)， 由 f(x)的图象在A， B 处的切线相互垂直， 可得k1k2=-ex_1ex_2=-1， 即为x1+x2=0， x10， 所以 |AM| |BN| = 1+e2x1(-x1) 1+e2x2x2 = 1+e-2x2 1+e2x2 = 1 ex2 (0,1) 【答案】【答案】 (0,1) 第7页， 共13页第7页， 共13页 四、 解答题四、 解答题( (本题共本题共6 6小题， 共小题， 共9090分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。把答案填分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。把答案填 在答题卡上在答题卡上) ) 17.17.【2021全国卷17】 记Sn是公
19、差不为0的等差数列an的前n项和， 若a3=S5， a2a4=S4 (1)求数列an的通项公式an； (2)求使Snan成立的n的最小值 【解析】【解析】 (1)数列Sn是公差d不为0的等差数列an的前n项和， 若a3=S5， a2a4=S4 根据等差数列的性质， a3=S5=5a3， 故a3=0， 根据a2a4=S4可得(a3-d)(a3+d)=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)， 整理得-d2=-2d， 可得d=2(d=0不合题意)， 故an=a3+(n-3)d=2n-6 (2)an=2n-6， a1=-4， Sn=-4n+ n(n-1) 2 2=n2-5n， Snan， 即
20、n2-5n2n-6， 整理可得n2-7n+60， 当n6或nan成立， 故n的最小正值为7 【答案】【答案】 （1） an=2n-6;(2)7 18.18.【2021全国卷18】 在ABC 中， 角A， B， C 所对的边长为a， b， c， b=a+1， c=a+2 (1)若2sinC =3sinA， 求ABC 的面积； (2)是否存在正整数a， 使得ABC 为钝角三角形？若存在， 求出a的值； 若不存在， 说明 理由 【解析】【解析】 (1)2sinC =3sinA， 根据正弦定理可得2c=3a， b=a+1， c=a+2， a=4， b=5， c=6， 在ABC 中， 运用余弦定理可得c
21、osC = a2+b2-c2 2ab = 42+52-62 245 = 1 8 ， sin2C +cos2C =1， sinC =1-cos2C =1- 1 8 2 = 3 7 8 ， SABC= 1 2 absinC = 1 2 45 3 7 8 = 15 7 4 (2)cba， ABC 为钝角三角形时， 角C 必为钝角， cosC = a2+b2-c2 2ab = a2+(a+1)2-(a+2)2 2a(a+1) 0， a2-2a-30， 0ac， 即a+a+1a+2， 即a1， 1a3， a为正整数， a=2 【答案】【答案】 （1）15 7 4 ;(2)a=2 第8页， 共13页第8页
22、， 共13页 19.19.【2021全国卷19】 在四棱锥Q-ABCD中， 底面ABCD是正方形， 若AD=2， QD=QA=5， QC =3 (1)求证： 平面QAD平面ABCD； (2)求二面角B -QD-A的平面角的余弦值 【解析】【解析】 (1)证明： QCD中， CD=AD=2， QD=5， QC =3， 所以CD2+QD2=QC2， 所以CDQD； 又CDAD， ADQD=D， AD平面QAD， QD平面QAD， 所以CD平面QAD； 又CD平面ABCD， 所以平面QAD平面ABCD (2)解： 取AD的中点O， 在平面ABCD内作OxAD， 以OD为y轴， OQ为z轴， 建立空间
23、直角坐标系O-xyz， 如图所示： 则O(0， 0， 0)， B(2， -1， 0)， D(0， 1， 0)， Q(0， 0， 2)， 因为Ox平面ADQ， 所以平面ADQ的一个法向量为 =(1， 0， 0)， 设平面BDQ的一个法向量为 =(x， y， z)， 由BD =(-2， 2， 0)， DQ =(0， -1， 2)， 得 BD =0 DQ =0 ， 即 -2x+2y=0 -y+2z=0 ， 令z=1， 得y=2， x=2， 所以 =(2， 2， 1)； 所以cos= | |= 2+0+0 14+4+1 = 2 3 ， 所以二面角B -QD-A的平面角的余弦值为 2 3 【答案】【答案
24、】 （1） 见解析； (2) 2 3 第9页， 共13页第9页， 共13页 20.20. 【2021全国卷20】 已知椭圆C 的方程为 x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)， 右焦点为F( 2， 0)， 且离心率为 6 3 (1)求椭圆C 的方程； (2)设M， N 是椭圆C 上的两点， 直线MN 与曲线x2+y2=b2(x0)相切 证明： M， N， F 三点共线的充要条件是|MN|=3 【解析】【解析】 (1)解： 由题意可得， 椭圆的离心率 c a = 6 3 ， 又c=2， 所以a=3， 则b2=a2-c2=1， 故椭圆的标准方程为 x2 3 +y2=1； (2)证明： 先证明必
25、要性， 若M， N， F 三点共线时， 设直线MN 的方程为x=my+2， 则圆心O(0,0)到直线MN 的距离为d= 2 m2+1 =1， 解得m2=1， 联立方程组 x=my+2 x2 3 +y2=1 ， 可得(m2+3)y2+2 2my-1=0， 即4y2+2 2my-1=0， 所以|MN|=1+m2 8m2+16 4 =2 24 4 =3； 所以必要性成立； 下面证明充分性， 当|MN|=3 时， 设直线MN 的方程为x=ty+m， 此时圆心O(0,0)到直线MN 的距离d= |m| t2+1 =1， 则m2-t2=1， 联立方程组 x=ty+m x2 3 +y2=1 ， 可得(t2+
26、3)y2+2tmy+m2-3=0， 则=4t2m2-4(t2+3)(m2-3)=12(t2-m2+3)=24， 因为|MN|=1+t2 24 t2+3 =3， 所以t2=1， m2=2， 因为直线MN 与曲线x2+y2=b2(x0)相切， 所以m0， 则m=2， 则直线MN 的方程为x=ty+2 恒过焦点F( 2,0)， 故M， N， F 三点共线， 所以充分性得证 综上所述， M， N， F 三点共线的充要条件是|MN|=3 第10页， 共13页第10页， 共13页 21.21.【2021全国卷21】 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来， 设一个这种微生物为第0代， 经过一次 繁殖后
27、为第 1代， 再经过一次繁殖后为第 2代， ， 该微生物每代繁殖的个数是相互独 立的且有相同的分布列， 设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， P(X =i)=pi(i=0， 1， 2， 3) (1)已知p0=0.4， p1=0.3， p2=0.2， p3=0.1， 求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率， p是关于x的方程： p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根， 求证： 当E(X)1时， p=1， 当E(X)1时， p1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义 【解析】【解析】 ()解： 由题意， P0=0.4， P1=0.3， P2
28、=0.2， P3=0.1， 故E(X)=00.4+10.3+20.2+30.1=1； ()证明： 由题意可知， p0+p1+p2+p3=1， 则E(X)=p1+2p2+3p3， 所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x， 变形为p0-(1-p1)x+p2x2+p3x3=0， 所以p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0， 即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0， 即(x-1)p3x2+(p2+p3)x-p0=0， 令 f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0， 若p30时， 则 f(x)的对称轴为x=- p2+p3 2p3 1时， f(1)0， f(0
29、)0， 所以 f(x)=0的正实根0 x01， 原方程的最小正 实根p=x01； ()解： 当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时， 这种微生物经过多代繁殖 后临近灭绝； 当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时， 这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁 殖的可能 第11页， 共13页第11页， 共13页 22.22. 【2021全国卷22】 已知函数 f(x)=(x-1)ex-ax2+b (1)讨论 f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个， 证明： f(x)恰有一个零点 1 2 2a； 0a0时， f(x)0， 当x0时， f(x)0时， 令 f(x)=0， 可得x=0或x=ln
30、(2a)， (i)当0a0或x0， 当ln(2a)x0时， f(x) 1 2 时， 当xln(2a)时， f(x)0， 当0 xln(2a)时， f(x)0， f(x)在(-,0)， (ln(2a)， +)上单调递增， 在(0， ln(2a)上单调递减 综上所述： 当a0 时， f(x) 在(-,0)上单调递减； 在(0,+)上 单调递增； 当0a 1 2 时， f(x) 在 (- ,0) 和 (ln(2a)， +) 上单调递增； 在 (0， ln(2a) 上单调递 减 (2)证明： 若选， 由 ()知， f(x) 在(-,0)上单调递增， (0， ln(2a) 单调递减， (ln (2a)，
31、 +) 上 f(x) 单调递增 注意到 f - b a = - b a -1 e- b a2a-10 f(x) 在 - b a ,0 上有一个零点； f(ln(2a)=(ln(2a)-1)2a-aln22a+b2aln(2a)-2a-aln22a+2a=aln(2a)(2 -ln(2a)， 由 1 2 a e2 2 得00， 当x0 时， f(x) f(ln(2a)0， 此时 f(x) 无零点 综上： f(x) 在R 上仅有一个零点 若选， 则由()知： f(x)在(-， ln(2a) 上单调递增， 在(ln(2a)， 0)上单调递减， 在 (0,+) 上单调递增 f(ln(2a)=(ln(2
32、a)-1)2a-aln22a+b2aln(2a)-2a-aln22a+2a=aln(2a)(2- 第12页， 共13页第12页， 共13页 ln(2a)， 0a 1 2 ， ln(2a)0， aln(2a)(2-ln(2a)0， f(ln(2a)0， 当x0 时， f(x) f(ln(2a)0 时， f(x) 单调递增， 注意到 f(0)=b-12a-10， 取c=2(1-b)+2， b2a2 1， 又易证ecc+1， f(c)=(c-1)ec-ac2+b(c-1)(c+1)-ac2+b=(1-a)c2+b-1 1 2 c2+b-1 =1-b+1+b-1=10， f(x)在(0,c)上有唯一零点， 即 f(x)在(0,+)上有唯一零点 综上： f(x) 在R 上有唯一零点 第13页， 共13页第13页， 共13页
