1、第 1 页 共 16 页 昌平区昌平区 20212021 届高三年级二模考试届高三年级二模考试 数学试卷数学试卷 2021.5 本试卷共本试卷共 6 页，共页，共 150 分分. 考试时长考试时长 120 分钟分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考试结束考试结束 后，将答题卡交回后，将答题卡交回. 第一部分第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）
2、已知集合 21 0 1 2A ， ， ， 2 |1Bx x，则AB （A） 1,0,1（B） 2, 1,1,2 （C） | 11xx （D） |11x xx或 （2）已知复数i(12i)z ，则z的共轭复数z的虚部为 （A）2（B）1（C）1（D）2 （3）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是 （A）24（B）36（C）54（D）108 （4）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为2，则其渐近线方程为 （A）yx （B）2yx （C）3yx （D）2yx （5）下列函数中，最小正周期为的奇函数是 （A） sin() 4 yx（B）sin|yx 第 2 页 共 16 页 （C）
3、 22 cossinyxx（D）sin cosyxx （6）过原点且倾斜角为45的直线被圆 22 40 xyy所截得的弦长为 （A）2 2（B）3（C）4 2（D）8 （7）已知，ab是非零向量，则“ab”是“|abab”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （8）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则. 例如周髀算经里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和 夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的. 二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨、
4、立夏、小满、芒种、夏至. 已知周髀算经中记录某年的冬至的晷影长为 13 尺，夏至的晷影长是 1.48 尺 , 按照上述规律，那么周髀算经中所记录的立夏立夏的晷影长应为 （A）3.4尺（B）4.36尺（C）5.32尺（D）21.64尺 （9）将函数( )sinf xx（0）的图象向右平移 6 个单位长度，所得图象经过点 2 (, 0) 3 ，则的最小值是 （A） 5 4 （B）2（C） 12 5 （D） 13 4 （10）已知棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B C D，M是 1 BB的中点，动点P在正方体内部或表面上，且/ /MP平面 1 ABD，则动点P的轨迹所形成区域的面积是 （
5、A） 2 2 （B）2（C）1（D）2 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）已知向量(1,1)a，(1, 1)b，则|2 | a+ b_. （12）在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为 _.（用数字作答） （13）在ABC中，2 7,a 2b ，60A，则c _； sin2 sin A C _. （14）已知抛物线C: 2 4yx与椭圆 22 22 1(0) xy Dab ab ：有一个公共焦点F，则点F的坐标是_; 若抛 物线的准线与椭圆交于,A B两点，O是坐标原点，且AOB是直角三角形，则椭圆D的离心率e _. （
6、15）下图是国家统计局发布的 2020 年 2 月至 2021 年 2 月全国居民消费价格涨跌幅折线图. 第 3 页 共 16 页 说明说明：1.在统计学中在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如例如2021年年 2 月与月与 2020 年年 2 月相月相 比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2020 年年 4 月与月与2020年年 3 月相比较月相比较.2. 100% 本本期期数数 - -同同期期数数 同同比比增增长长率率 = = 同同期期数数 ,100
7、% 本本期期数数 - -上上期期数数 环环比比增增长长率率 = = 上上期期数数 . 给出下列三个结论： 2020 年 11 月居民消费价格低于 2019 年同期； 2020 年 3 月至 7 月居民的消费价格持续增长； 2020 年 7 月的消费价格低于 2020 年 3 月的消费价格. 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16）（本小题 13 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S, * nN, 从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答： （）求数列 n a的通项公式； （）设等比数列 n b满足 24
8、 ba， 37 ba，求数列 nn ab的前n项和 n T. 条件： 1 3a ； 条件： 1 2 nn aa ； 条件： 2 4S . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 第 4 页 共 16 页 （17）（本小题 13 分） 某大学为了解学生对 A，B 两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的学生中随机抽取了 50 人， 分别对这两本图书进行评分反馈，满分为 100 分，得到的相应数据整理如下表. 规定：学生对图书的“评价指数”如下表. 分数50,70)70,90)90,100 评价指数123 （）从 A，B 两本图书都阅读过的学生中任选 1 人，试估计其对 A 图
9、书“评价指数”为 2 的概率； （）从对 B 图书“评价指数”为 1 的学生中任选 3 人进一步访谈，设X为 3 人中评分在50,60)内的人数，求随 机变量X的分布列及数学期望； （）试估计学生更喜好 A, B 哪一本图书，并简述理由. 18. (本小题 14 分) 如图，在直四棱柱 1 1 11 ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形，ADDB ， 1 1 1 2 AAADAB. （）求证： 1 ADBD； （）求二面角 1 ABCA的大小； （）在线段 1 BD上是否存在点M， 使得 1 DMA BC 平面?若存在， 求 1 1 D M D B 的值；若不存在，说明理由. 分数5
10、0,60)60,70)70,80)80,90)90,100 A 图书频数2282018 B 图书频数210101216 第 5 页 共 16 页 19. (本小题 15 分) 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 过点 (0,1)P ,且离心率为 3 2 . （）求椭圆C的标准方程； （）设直线: l ykxm与椭圆 C 有两个不同的交点,A B，当| | |PAPB 时，求实数 k 的取值范围. 20(本小题 15 分) 已知函数 2 ( )e1 x f xax. () 求曲线( )yf x在点(0, (0)f处的切线方程； () 若( )2f x 对于任意的0,1x都成立，
11、求实数a的取值范围. 21（本小题 15 分） 对于有限数列 n a，nN，3N， * NN，定义：对于任意的kN， * kN，有 （1） * 123 ( ) | k S kaaaa； （2）对于cR，记 123 ( ) | k L kacacacac. 对于 * kN，若存在非零常数c，使得 * ( )( )L kS k，则称常数c为数列 n a的k阶系数. （）设数列 n a的通项公式为( 2)n n a ，计算 *(4) S，并判断2是否为数列的4阶系数； （II）设数列 n a的通项公式为339 n an，且数列 n a的m阶系数为3，求m的值； （III）设数列 n a为等差数列，满
12、足1，2均为数列 n a的m阶系数，且 *( ) 507S m ，求m的最大值. 第 6 页 共 16 页 参考答案参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 . 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） 答案BCBADACBBA 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. （ 11）10（12）80（13）6 ; 7 3 （14）(1,0)； 51 2 （15） 注注：第第（13）和和（14）题第一空题第一空 3 分分,第二空第二空 2 分分. 第第（15）题全部选对得
13、题全部选对得 5 分分，不选或有错选得不选或有错选得 0 分分，其他其他 得得 3 分分. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16）（本小题 13 分） 解：解：(不能选择不能选择作为已知条件作为已知条件) 选择选择作为已知条件作为已知条件.2 分 因为 1 3a ， 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是以 1 3a 为首项，公差2d的等差数列. 所以25 n an.6 分 选择选择作为已知条件作为已知条件.2 分 因为 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是以 1 a为首项，公
14、差为2d 的等差数列. 因为 2 4S ， 所以 12 4aa . 所以 1 24ad . 所以 1 3a . 第 7 页 共 16 页 所以25 n an.6 分 （）设等比数列 n b的公比为q，则 24 3ba， 37 9ba， 3 2 3 b q b ， 所以 2 1 3 1 3 b b q . 所以等比数列 n b的通项公式为 11 1 3 nn n bb q . 所以 1 253. n nn abn 所以 1122nnn abababT 1212nn aaabbb -1 1253331 n n 325 13 213 n nn 2 1 431 2 n nn.13 分 （17）（本小题
15、 13 分） 解：（）由评分频数分布表可知，对 A 图书评分的学生中，“评价指数为 2”的学生所占的频率为 8+2014 = 5025 ， 所以从 A， B 两本图书都阅读过的学生中任选 1 人， 估计其对 A 图书“评价指数”为 2 的概率为 14 25 .4 分 （）由题意，所以X的所有可能值为0,1,2. 03 210 3 12 C C126 (0) C2211 P X ， 12 210 3 12 C C9 (1) C22 P X ， 21 210 3 12 . C C1 (2) C22 P X 所以X的分布列为 X012 P 6 11 9 22 1 22 所以X的数学期望为 6911
16、()012 1122222 E X . 10 分 第 8 页 共 16 页 （）设学生对 A 图书的“评价指数”为，对 B 图书的“评价指数”为由题意，从阅读过两本图书的学生中 任取一位，估计的分布列分别为 123 P 2 25 14 25 9 25 所以 214957 ( )123 25252525 E . 估计的分布列分别为 123 P 6 25 11 25 8 25 所以 611852 ( )123 25252525 E . 因为( )( )EE，所以学生更喜好图书 A. 13 分 （18）（本小题 14 分） 解：（I）证明：在直四棱柱 1111 ABCDA B C D中， 1 DDA
17、BCD 底面， 因为ADABCD底面， 所以 1 DDAD. 2 分 因为ADBD， 1 BDDDD， 所以 1 ADBDD 平面. 因为 11 BDBDD 平面， 所以 1 ADBD. 4 分 （）因为 1 DDABCD 平面，且ADDB，所以 1 ,DA DB DD两两垂直. 如图建立空间直角坐标系Dxyz，则0,0,0D，1,0,0A， 第 9 页 共 16 页 0,3,0B， 1, 3,0C ， 1 1,0,1A， 1 0,0,1.D 设平面 1 A BC的法向量为, ,x y zm. 1,0,0CB ， 1 2,3,1CA ， 由 1 0, 0. CB CA m m 可得 0, 23
18、0. x xyz 令1y ，解得3z ， 所以 ,1,30m. 因为 1 DDABCD 平面， 所以平面ABCD的一个法向量为0,0,1n =. 所以 3 cos, 2 m n m n mn . 由题可知二面角 1 ABCA为锐角， 所以二面角 1 ABCA的大小为30. 10 分 () 设 11 ,0,1D MD B . 因为 1111 33DMDDD MDDD B （0，0,1） （0,-1）= （0,1- ）， 由（II）知平面 1 A BC的一个法向量为 ,1,30m， 因为 1 DMA BC 平面，可得/DM m. 所以 3 13 1- =.解得 1 0,1 4 . 所以，在线段 1
19、 BD上存在点M使得 1 DMA BC 平面， 1 1 D M D B 的值是 1 4 . 第 10 页 共 16 页 14 分 19. (本小题 15 分) 解：（）依题意得 2 1b . 由 222, 3 , 2 cab c a 解得 2 4a 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （）解法 1：（1）当0k 时，显然成立. （2）当0k 时， 0m 时，显然不成立. 当0m ，即0mk 时， 由 22 , 440 ykxm xy 得 222 (41)8440kxmkxm. 因为直线 l 与椭圆 C 的有两个交点， 所以 2222 6416(41)(1)0m kkm . 即
20、 22 410km .（*）. 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 8 41 mk xx k . 所以 2 1212 22 82 ()22 4141 k mm yyk xxmm kk 所以线段 AB 的中点 22 4 , 41 41 mkm M kk 直线 MP 的斜率 2 2 2 1 41 41 4 4 41 MP m mk k k mk mk k ， 由PAPB，得MPAB. 所以 2 41 1 4 MP mk kkk mk 第 11 页 共 16 页 解得 2 41 3 . k m 将 2 41 3 k m 代入到（*）中，得 22 2 (41) 410
21、9 k k ， 即 22 (41)(84) 0 9 kk ， 所以 2 840k 解得22k，且0k 综上所述，实数 k 的取值范围是(2,2)15 分 解法解法 2：由 22 , 440 ykxm xy 得 222 (41)8440kxmkxm. 因为直线 l 与椭圆 C 的有两个交点， 所以 2222 6416(41)(1)0m kkm 即 22 410km （1）. 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy则 12 2 8 41 mk k xx . 由PAPB得， 2222 1122 (1)(1)xyxy. 即 12121212 ()()()(2)0 xxxxyyyy. 即
22、12121212 ()()() ()(22)0 xxxxk xxk xxm. 从而 2 1212 ()(1)()2 (1)0 xxkxxk m. 由 12 xx得 2 12 (1)()2 (1)0kxxk m. 所以 2 2 8(1) 2 (1)0 41 mk k k m k . 即 2 (341)0kmk. 解得 2 41 0 3 k km 或. 将 2 41 3 k m 代入到（1）中，得 22 2 (41) 410 9 k k ， 第 12 页 共 16 页 即 22 (41)(84) 0 9 kk ， 所以 2 840k 解得22k 所以实数 k 的取值范围是(2,2) 15 分 20
23、. (本小题 15 分) 解：（）( )e2 x f xax， 所以切线的斜率(0)1kf. 因为 0 (0)e12f ， 所以切线的方程2yx.5 分 （）解法 1：由已知，对于任意的0,1x， 2 e12 x ax 都成立， 即对于任意的0,1x， 2 e1 x ax都成立. 当0 x 时， 2 e1 x ax显然成立. 当0 x 时，对于任意的(0,1x， 2 e1 x a x 都成立. 设 2 e1 ( ) x g x x ，则 min ( )ag x. 而 2 43 e2 (e1)(2)e2 ( ) xxx xxx g x xx . 设( )(2)e2 x h xx，则( )(1)e
24、xh xx. 由(0,1x，得( )0h x 在区间(0,1上恒成立， 所以函数( )h x在区间(0,1上是减函数，且(0)0h. 所以( )0h x 在区间(0,1上恒成立. 所以函数( )g x在区间(0,1上是减函数. 所以当1x 时， min ( )(1)e 1g xg . 所以实数a的取值范围是(,e 1.15 分 解法 2： 设( )( )e2 x g xf xax，则( )e2 x g xa. 第 13 页 共 16 页 （1）当0a时，( )0g x ，函数( )g x在区间0,1上是增函数. 当0 x时， min ( )1 0g x ， 所以( )0g x 在区间0,1上恒
25、成立. 所以函数( )f x在区间0,1上是增函数. 所以 min ( )(0)2f xf. 即( )2f x 对于任意的0,1x都成立. （2）当0a 时，令( )0g x ，即e2 x a，解得ln2xa. 当 1 0 2 a时，ln20a，则( )0g x. 从而函数( )g x在区间0,1上是增函数. 当0 x时， min ( )1 0g x ， 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )f x在区间0,1上是增函数. 所以 min ( )(0)2f xf. 即( )2f x 对于任意的0,1x都成立. 当 1e 22 a时，0ln21a. 当x变化时，( ), ( )
26、g x g x的变化情况如下表： x(0,ln2 )aln2a(ln2 ,1)a ( )g x 0+ ( )g x 极小值 所以当ln2xa时， ln2 min ( )e2 ln22 (1 ln2 )0 a g xaaaa. 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )f x在区间0,1上是增函数. 所以 min ( )(0)2f xf. 即( )2f x 对于任意的0,1x都成立. 当 e 2 a时，ln21a. 第 14 页 共 16 页 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )g x在区间0,1上是减函数. 因为(0)10, (1)e20gga ， 所以
27、0 0,1x （），使 0 ( )0g x，即 0 ( )0f x. 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化情况如下表： x0 0 (0,)x 0 x 0 (,1)x1 ( )fx +0 ( )f x 2极大值e1a 当(1)e12fa ，即e 1a时，( )2f x 对于任意0,1x 都成立. 所以 e e 1 2 a . 综上所述，实数a的取值范围是(,e 1.15 分 21. (本小题 15 分) 解：（I）因数列 n a通项公式为( 2)n n a ，所以数列| n a为等比数列，且|2n n a. 得 * 1234 (4)| | 30Saaaa. 数列 n a通项公式为( 2)
28、n n a ，所以当2c 时， 1234 (4) |2|2|2|2|Laaaa 1234 (2)(2)(2)(2)aaaa 1234 | 2 | 2 | 2 | 2aaaa * 1234 |(4)aaaaS. 所以2是数列 n a的4阶系数.4 分 （II）因为数列 n a的m阶系数为3，所以当3c 时，存在m，使 * ( )( )L mSm成立. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，则 3 (1) 39 2 n n n Sn . 令0 n a ，则13n . 第 15 页 共 16 页 所以， 3 (1) 39,13 2*( ) 3 (1) 39468,14. 2 n n nn Sn n
29、 n nn ， 设等差数列3 n a 的前n项和为 n T，3342 n an , 则 3 (1) 42 2 n n n Tn . 令30 n a ，则14n . 所以， 3 (1) 42,13, 2 ( ) 3 (1) 42546,14. 2 n n nn L n n n nn 当13m 时， * ( )( )L mSm， 当14m时， * ( )( )L mSm， 则 3 (1)3 (1) 3946842546 22 m mm m mm ，解得26m .11 分 （III）设数列 n a为等差数列，满足1，2均为数列 n a的m阶系数， *( ) 507S m ， 则存在 * kN ，使1
30、23 | m aaaa 123 |1|1|1|1| m aaaa 123 |2|2|2|2| 507 m aaaa成立. 设数列 n a的公差为d，构造函数 ( )|2|3|507f xxdxdxdxmd. 由已知得()|2|(1)| 507 mmmmm f adaadadamd 121 | 5070 mmm aaaa . 所以，函数( )f x至少有三个零点 m ad，1 m ad，2 m ad. 由函数( )f x的图象与性质，可知m为偶数，且满足 21(1) 22 (1) ()0 2 mmm mm dadadadd md f ， 得 2 3 507. 4 d m d ， 所以 2 34 507m，解得26m. 第 16 页 共 16 页 构造等差数列 n a为：37, 34, 33,38. 可知当26m 时命题成立，即m的最大值为26.15 分
