1、第1页页 /共63页页 三角函数中三角函数中的最的最值值、取值范围取值范围及其它及其它 目目录录 第一节第一节 与三角函数的单调性相关与三角函数的单调性相关 第第二节二节 与平移相关与平移相关 第第三节三节 与对称轴、对称点相关与对称轴、对称点相关 第第四四节节 与与三角函数的三角函数的最值或最值点相关最值或最值点相关 第五节第五节 与三角函数的对称性、周期性及单调性相关与三角函数的对称性、周期性及单调性相关 第六节第六节 与单调性及零点、方程的解相关与单调性及零点、方程的解相关 第七节第七节 与极值相关与极值相关 第八节第八节 与集合相关与集合相关 第第九九节节 综合综合 第一节第一节 与三
2、角函数的单调性相关与三角函数的单调性相关 例 1(2012 新课标理新课标理 9)已知0，函数( )sin() 4 f xx =+在(, ) 2 上单调递减则的取值范围是 （ ） A 1 5 , 2 4 B 1 3 , 2 4 C 1 (0, 2 D(0,2 解法一：由于0 2 x ， 2444 x +由于函数( )sin() 4 f xx =+在 (, ) 2 上单调递减，所以 1 315 2242 (,)(,) 352442224 424 + + + ，选 A 解法二：由 3 22() 242 kxkkZ +得 252 () 44 kk xkZ +， 即函数( )sin() 4 f xx
3、=+在 252 ,() 44 kk kZ +单调递减，又函数( )sin() 4 f xx =+在 (, ) 2 上单调递减所以 252 (, ),() 244 kk kZ +，即 2 42 () 52 4 k kZ k + + ，解得 1 4 2 () 5 2 4 k kZ k + + ，取0k =，得 15 24 ，故选 A 解法三：因为函数( )sin() 4 f xx =+在(, ) 2 上单调递减所以2() 2 T ， 解得02， 在结合法一可得 15 24 ，故选 A 解法四：函数) 4 sin()( +=xxf的导数为) 4 cos()( +=xxf，要使函数) 4 sin()(
4、 +=xxf在 ), 2 ( 上单调递减，则有0) 4 cos()( += xxf恒成立，则 kxk2 2 3 4 2 2 +，即 kxk2 4 5 2 4 +，所以Zk k x k +， 2 4 2 4 ，当0=k时， 4 5 4 x， 又 x 2 ，所以有 4 5 , 24 ，解得 4 5 , 2 1 ，即 4 5 2 1 ，选 A. 小结 解法一：令ux=+，研究函数sinyu=的定义域D，则D 函数sinyu=的单调区间，从而回归到 最基础的函数上 解法二：研究函数sin()yx=+的单调区间F，则已知单调区间F 解法三：由于正、余弦函数的一个周期内含有各半个周期的增减区间，因此2T
5、(已知单调区间的长度) 解法四：利用导函数 练习 1(2005 年(全国卷)文理)(4)已知函数tanyx=在( 2 ， 2 )内是减函数，则 (A)01 (B)10 (C)0 (D)1 解析：由正切函数的性质，正切函数tanyx=在( 2 ， 2 )上是增函数，而tanyx=在( 2 ， 2 )内 是减函数，所以 0 () 22 = ，即10 .选 B 2已知函数2sin()yx=在, 3 4 上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A 3 (0, 2 B(0,2 C(0,1 D 3 (0, 4 解： 由22 22 kxk +， 令0k =得 22 x ， 由, 3 422 ， 得 3 (0,
6、 2 ， 选 A 3(江苏省启东中学江苏省启东中学 2007 高考高考数学数学模拟试卷模拟试卷)8已知 是正实数，函数( )2sinf xx=在 4 , 3 上 递增，那么( ) A 0 2 3 B0 0)在 22 , 33 上单调递增， 则的最大值为 . 解：由题意 2 223 32 , 2332 24 32 ，填 4 3 8 （ （2021安徽池州市安徽池州市高一期中）已知函数高一期中）已知函数 ( )()cos0 6 f xx = 在在 , 6 3 上单调递减，则上单调递减，则的取的取 值范围是（值范围是（ ） A( 0,1 B 1,2 C 7 1, 2 D 7 2, 2 解： 7 22
7、 66 22 6 kk kxkx + + ， 所以( )() cos0 6 f xx = 的单调减区间为 7 22 66 , kk + ， 所以 7 22 66 , 6 3 kk + ，所以 2 6 6 7 2 6 3 k k + + ，解得 121 7 6 2 k k + + ，且kZ， 2, 242 3 2. 42 k k + + kZ 第5页页 /共63页页 则 7 1 2 ，则的取值范围是 7 1, 2 ，故选：C. 9 （ （2021上海市市西中学高一期中）设上海市市西中学高一期中）设 0，若函数，若函数( )2sinf xx=在在, 3 4 上单调递增，则上单调递增，则的取的取 值
8、范围是值范围是_ 分析：根据正弦函数的单调性，求出函数 ( )2sinf xx= 的单增区间，由22 22 kxk + （kZ） ，可得： 22 22 kk x + ，所以 2 2 - 3 2 2 4 k k + + ，整理即可得解. 解：根据正弦函数的单调性，可得：22 22 kxk +（kZ） ， 所以： 22 22 kk x + ，解得： 2 2 - 3 2 2 4 k k + + ，整理可得： 3 6 2 28 k k + ，当0k =有解，解 得 3 0 2 .故答案为： 3 (0, 2 . 10 （ （2021湖北高一期中）若函数湖北高一期中）若函数 ( )2cos2(0) 3 f
9、 xx = 在区间在区间 , 6 2 内単调递减内単调递减.则则的最大值的最大值 为（为（ ） A 2 3 B 3 4 C 4 3 D 3 2 解： ( )2cos22cos 2(0) 33 f xxx = 当 , 6 2 x 且0时，2 3333 x ， 因为余弦函数 cosyx= 的单调递减区间为() 2,2kkkZ+ ， 所以，() ,2,2 333 kkkZ + ，所以， 2 33 2 3 k k + ，解得 () 4 612 3 kkkZ+ +，由 4 261 3 kk+，可得 1 12 k ，kZ且0，0k =， 4 1 3 .因此， 的最大值为 4 3 .故选：C 11 （ （2
10、020浙江高三其他模拟）若函数浙江高三其他模拟）若函数 ( )()2sin0 3 f xx =+ 在区间在区间, 4 4 上单调递增，则上单调递增，则 的的 取值范围是（取值范围是（ ） A 10 0, 3 B 2 0, 3 C 2 10 , 33 D 10 , 3 + 解：考虑函数函数( )() 2sin0 3 f xx =+ ， 令22, 232 kxkkZ +， 5 22,0 66 kxkkZ +， 252 , 66 kk xkZ +， 函数( )() 2sin0 3 f xx =+ 在区间, 4 4 上单调递增， 则 25 64 , 2 64 k kZ k + ，解得 10 8 3 ,
11、 2 8 3 k kZ k + ，所以 k=0，又0，所以 2 0, 3 故选：B 12 （ （2019重庆市广益中学校）已知重庆市广益中学校）已知0，函数，函数 ( )sin() 3 f xx =+在区间在区间(, ) 2 内单调递减，则内单调递减，则的取的取 值范围为（值范围为（ ） A 1 5 , 2 4 B 1 7 , 2 6 C 1 7 , 3 6 D 1 5 , 3 4 解：(, ),0 2 x , 1 (,) 3233 xx +. 函数( )sin() 3 f xx =+在(, ) 2 上单调递减， 2 T =，解得2. 函数( )sin() 3 f xx =+的减区间满足： 3
12、 22, 232 kxkkZ +， 当0k =时，则有 232 3 32 x + + ，解得 17 36 .综上： 17 36 .故选：C. 13 （ （2013 届浙江省桐乡市高三模拟考试（届浙江省桐乡市高三模拟考试（2 月）理）已知函数月）理）已知函数 sin()(0) 3 yx=+在在 , 4 2 上是减函上是减函 数，则数，则的取值范围（的取值范围（ ） A 1 0, 3 B 1 2 , 3 3 C 2 7 , 3 3 D 7 26 , 33 解析：x , 4 2 ，0，x+ 3 4 + 3 , 2 + 3 函数 f(x)=sin(x+ 3 )在 , 4 2 上单调递减，周期 T= 2
13、 2 ，解得 4, f(x)=sin(x+ 3 )的减区间满足： 2 +2kx+ 3 3 2 +2k，kZ,取 k=0，得 4 + 3 2 , 2 + 3 3 2 ，解之得 2 3 7 3 ，故选 C. 14 （ （2020台州市书生中学）已知函数台州市书生中学）已知函数 ( )fx是是R上的增函数，且上的增函数，且 第7页页 /共63页页 (sin)( cos )( sin)(cos )ffff+，其中，其中是锐角，并且使得是锐角，并且使得( )sin 4 g xx =+ 在在 , 2 上单调递减，则上单调递减，则的取值范围是的取值范围是 A 5 , 4 4 B 5 , 4 2 C 1 ,
14、2 4 D 1 5 , 2 4 解：构造函数( )( )()F xf xfx=，因为函数( )f x是R上的增函数，所以( )F x也是增函数，而 (sin)(cos)FF，所以sincos，那么(,) 4 2 ，以及根据周期 21 222 =，解 得02，又因为 3 (,)(,) 24422 +，解得 15 24 ，综上可得 5 44 ，故选 A. 15 （ （2021北京海淀区北京海淀区北大附中高一期中）若函数北大附中高一期中）若函数 ()sin0 3 yx =+ 在区间在区间 , 3 2 上单调递减，则上单调递减，则 的取值范围是 的取值范围是_ 解：令 3 22() 232 kxkkZ
15、 +，则 272 , 66 kk xkZ +， 函数( )sin(0) 3 f xx =+ 在区间 3 ， 2 上单调递减， 所以 2 63 72 62 k k + + ，解得 17 64 23 kk+， 又因 17 64 23 kk+，所以 11 0 12 k，即0k =，所以 17 23 ，可得的取值范围是 1 7 , 2 3 故答案为： 1 7 , 2 3 第第二节二节 与平移相关与平移相关 1平移后与原图像重合平移后与原图像重合 思路一：平移长度即为原函数周期的整数倍 思路二：平移前的函数( )f x=平移后的函数( )g x 例 1(2010 辽宁文数辽宁文数)（6）设0，函数sin
16、()2 3 yx =+的图像向右平移 4 3 个单位后与原图像重 合，则的最小值是 （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 3 2 （D） 3 分析一：将( )yf x=的图像向右平移 4 3 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 4 3 是此函数 周期的整数倍。 解法一：因为函数sin()2 3 yx =+的图像向右平移 4 3 个单位后与原图像重合，所以 4 3 是已知函数 周期的整数倍，即 24 () 3 kkZ =，所以 3 2 k=，因为0，所以1k ，取1k =，选 C 解法二：函数sin()2 3 yx =+的图像向右平移 4 3 个单位后得 44 sin ()2sin(
17、)2 3333 yxx =+=+，令 4 2 3 k =，所以 3 () 2 k kZ=，从而选 C 练习练习 1(2011 全国全国 II 理理)（5）设函数( )cos(0)f xx=，将( )yf x=的图像向右平移 3 个单位长度后，所 得的图像与原图像重合，则的最小值等于 A 1 3 B3 C6 D9 解： 由题 2 () 3 k kZ =,解得6k=，又0，令1k =，即得 min 6=，故选 C. 2 （ （2021山西省长治市第二中学校高三月考（理） ）已知函数山西省长治市第二中学校高三月考（理） ）已知函数 ( )()2sin0, 2 f xx =+ 的图象的图象 过点过点(
18、) 0,1B ，且在，且在 72 , 183 上单调，同时上单调，同时( ) fx的图象向左平移 的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当个单位之后与原来的图象重合，当 12 195 , 126 x x 且且 12 xx 时，时，( )() 12 f xf x= ，则，则 () 12 fxx+=（ （ ） A3 B1 C1 D2 解：由题设知：( ) 2si10n =f= ，即 1 sin 2 =， 2 ，则 6 =， ( )2sin 6 f xx =+ ，而T n =且 275 231818 T =，即 5 9 T ， 5 9n * ()nN，则 9 5 n，故1n=， 2 T =，即2
19、=，所以( )2sin 2 6 f xx =+ ， 当 195 , 126 x 时， 3 32 62 x + ，而此区间内的对称轴只有 4 3 x = ，即 5 2 62 x += ， 当 12 195 , 126 x x ，且 12 xx 时，( )() 12 f xf x= ，则 12 4 23 xx+ = ，即 12 8 3 xx += ， () 12 8167 ()2sin()2sin1 3366 f xxf +=+= =. 故选：C. 2平移后与新图像重合平移后与新图像重合 思路：思路：思路二：平移后的函数( )f x=新的函数( )g x 例 2(2009 全国卷理 8)若将函数(
20、)tan0 4 yx =+ 的图像向右平移 6 个单位长度后，与函数 第9页页 /共63页页 tan 6 yx =+ 的图像重合，则的最小值为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 解解： 6 tantan ()tantan 464646 yxyxxx =+ =+=+=+ 向右平移个单位 ， 1 6 4 () 662 kkkZ +=+，又 min 1 0 2 =.故选故选 D 3平移后与原图像关于平移后与原图像关于y轴对称轴对称 思路：平移后的函数为偶函数思路：平移后的函数为偶函数 例例 3(2014 年安徽理年安徽理)11若将函数) 4 2sin()( +=xxf的图象向右平移个单
21、位，所得图象关于y轴对 称，则的最小正值是 解析：根据题意设 4 )(2sin)()( +=xxfxg，则)(xg的图象关于y轴对称1)0(=g，即 =+) 4 2sin( 1，)( 24 2zkk+=+ ，)( 82 zk k = 当1=k时，的最 小正值为 8 3 答案 8 3 练习 3(安徽省合肥市安徽省合肥市 2018 届高三调研性检测试题数学理届高三调研性检测试题数学理)8.已知函数( ) sin 6 f xx =+ 的图象向右平移 3 个单位后，所得的图象关于y轴对称，则的最小正值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：因函数( )sin 6 f xx =+ 的图象
22、向右平移 3 个单位后可得( )sin() 36 g xx =+，由题设 (0)sin()1 36 g =+= ， 故() 362 kkZ +=+， 即31()kkZ= ， 故 min 3 ( 1) 12= =，应选答案 B。 4(成都市成都市 2013 届高中毕业班第三次诊断性检测文届高中毕业班第三次诊断性检测文)14如果将函数) 3 2sin()( +=xxf的图象向左平移 ) 2 0( 个单位后得到的图象关于y轴对称，则的值为 解：( )sin(2)( )sin(2()sin(22) 333 f xxg xxx =+ =+=+ 向左平移 ， 由题意得2 32 k +=+，所以 122 k
23、 =+，又0 2 ，所以取0k =，所以 12 =，填 12 4平移后与原图像关于平移后与原图像关于 x 轴对称轴对称 思路：平移前的函数思路：平移前的函数( )f x =平移后的函数平移后的函数( )g x 例 4(2013 年济宁市高三年济宁市高三 3 月月模拟考试文模拟考试文)10若函数( )sin() 3 f xx =+的图象向右平移 3 个单位后与 原函数的图象关于 x 轴对称，则的最小正值是 A 1 2 B1 C2 D3 解：函数( )sin() 3 f xx =+的图象向右平移 3 个单位后所得函数为( )sin( () 33 g xx =+ (1) sin()sin() 333
24、 xx =+=+ 由于( )f x、( )g x的图象关于 x 轴对称， 所以( )( )g xf x= ， 因此只须 (1) 3 () 333 kkk kz =，所以选 D 注意：( )sin()f xx=+的图象与( )sin()g xx=+的图象关于x轴对称(21)()kkz=+ 5(合肥市合肥市 2013 年高三第一次教学质量检测理）年高三第一次教学质量检测理）6将函数( )sin()(0,0)f xAxA=+的图象向 左平移 2 个单位，所得函数的图象与函数)(xfy =的图象关于x轴对称，则的值不可能是 B A2 B4 C6 D10 解：函数( )sin()(0,0)f xAxA=
25、+的图象向左平移 2 个单位得( )sin( () 2 g xAx =+ sin() 2 Ax =+，由于( )g x、( )f x的图象关于x轴对称，所以( )( )g xf x= ， 法一：即sin()sin() 2 AxAx += +，所以2() 2 kkZ =+，即24 ()k kZ=+，故 选 B 法二：将四个选项代入可得选 B 5平移后过定点平移后过定点 思路：将定点坐标代入平移后的函数中思路：将定点坐标代入平移后的函数中 例 5(2012 天津文科天津文科 7)将函数( )sinf xx=（其中0）的图像向右平移 4 个单位长度，所得图像经过 点 3 (,0) 4 ，则的最小值是
26、 （A） 1 3 （B）1 C） 5 3 （D）2 解：函数向右平移 4 得到函数) 4 sin() 4 (sin) 4 ()( =xxxfxg，因为此时函数过点 )0 , 4 3 ( ， 所以0) 44 3 (sin= ， 即, 2 ) 44 3 ( k=所以Zkk=,2,所以的最小值为 2， 选 D. 练习 6(2013 年皖南八校高三第三次联考文科年皖南八校高三第三次联考文科)13将函数)0)( 6 sin(2)(+= xxf的图像向右平移 3 个 长度单位后，所得图像经过)2 , 4 3 ( 点，则实数的最小值是 。 解：将函数)0)( 6 sin(2)(+= xxf的图像向右平移 3
27、 个长度单位后，所以得到的图像对应的函数 为( )2sin ()2sin() 3636 g xxx =+=+，又所得图像经过)2 , 4 3 ( 点，即为最高点，所以 第11页页 /共63页页 3 ()2() 4362 kkZ +=+，即 244 () 55 k kZ=+，所以当0k =时， min 4 5 =，填 4 5 6平移后研究单调性平移后研究单调性 例 6 (2018 河北高考摸拟文河北高考摸拟文)将函数 44 ( )sincosf xxx=+的图像向左平移 8 个单位长度后， 得到( )g x的 图像，若函数()ygx=在, 12 4 上单调递减，则正数的最大值为 解：由题意知，
28、44222222 1 ( )sincos(sincos)2sincos1sin 2 2 f xxxxxxxx=+=+= 1 1 cos41 1 cos431 1()1()cos4 222244 xx x = = =+， 向左平移 8 个单位长度后，得到 313131 ( )cos4()cos(4)sin4 44844244 g xxxx =+=+=， 31 ()sin(4) 44 gxx= 由242() 22 kxkkZ +及0得 8282 () kk xkZ + ， 由于函数()ygx=在, 12 4 上单调递减，所以 8282 ,() 12 4 kk kZ + 所以 82 12 82 4
29、k k + + ，解得 3 6 2 () 1 2 2 k kZ k + ，所以当0k =时， 1 2 =为正数的最大值，故选 A 第第三节、与对称轴、对称点相关三节、与对称轴、对称点相关 相关结论 若函数( )sin()f xAx=+为奇函数，则()xkkZ+= 若函数( )sin()f xAx=+为偶函数，则() 2 xkkZ +=+ 若函数( )sin()f xAx=+的对称轴为 0 xx=， 则 0 () 2 xkkZ +=+或其它对称轴为 00 () 2 T xxkxkkZ =+=+ 若函数( )cos()f xAx=+的对称轴为 0 xx=， 则 0 ()xkkZ+=或其它对称轴为
30、00 () 2 T xxkxkkZ =+=+ 若函数( )sin()f xAx=+的对称点为 0 (,0)x， 则 0 ()xkkZ+=或其它对称点为 00 (,0)(,0)() 2 T xkxkkZ +=+ 若函数( )cos()f xAx=+的对称轴为 0 (,0)x， 则 0 () 2 xkkZ +=+或其它对称点为 00 (,0)(,0)() 2 T xkxkkZ +=+ 若函数( )sin()f xAx=+的对称轴为 0 xx=，对称中心为 1 ( ,0)x，则 10 (21) | 424 TTkT xxk + =+= 1与对称轴相关与对称轴相关 例例 1 (辽宁鞍山一中高考模拟理辽
31、宁鞍山一中高考模拟理)函数( )sin()(0) 4 f xx =+的图像在0, 4 内有且仅有一条对称轴， 则实数的取值范围是( ) A(1,5) B(1,)+ C1,5) D1,)+ 解法一：令(0,) 44 uxx =+，则( )sin (,) 4 44 yf xu u =+ 因为函数( )sin()(0) 4 f xx =+的图像在0, 4 内有且仅有一条对称轴， 结合图像sinyu=得， 所以 3 2442 +，解得15，故选 C 解法二： 函数( )sin()(0) 4 f xx =+的对称轴为() 42 xkkZ +=+， 即() 4 k xkZ =+， 又函数( )f x的图像
32、在0, 4 内有且仅有一条对称轴，所以0,() 44 k xkZ =+， 即0 44 k +，解得 11 () 444 kkZ ， 由于函数( )sin()(0) 4 f xx =+的图像在0, 4 内有且仅有一条对称轴，所以0k =， 因此 11 0 444 1 1 44 ，解得 1 0 44 1 1 44 ，即15，故选 C 解 法 三 ： 因 为 函 数( )sin()(0) 4 f xx =+的 图 像 在0, 4 内 有 且 仅 有 一 条 对 称 轴 ， 所 以 2 0 44 T =，即08，舍 B、D 当1=时，( )sin() 4 f xx =+，0 4 x ，, 44 2 x
33、 +，此时有且仅有一条对称轴 4 x =，舍 A，故选 B 2对称轴与单调性对称轴与单调性 例例 2(2015 天津文天津文)(14)已知函数)0(cossin)(+=xxxf，Rx若函数)(xf在区间),(内 单调递增，且函数)(xfy =的图象关于直线=x对称，则的值为_ 第13页页 /共63页页 解：) 4 sin(2cossin)( +=+=xxxxf，因为函数)(xf的图象关于直线=x对称，所以 k+=+ 24 2 ，zk ，即 k+= 4 2 ，zk ( )2sin() 4 f xx =+的单调增区间为 242 x +， 即 3 , 44 ， 只需 3 (, ), 44 ， 即 3
34、 4 4 ，解得 2 2 3 4 4 ，所以 2 4 取0=k，得 4 2 =所以 填 2 练习练习 1 （ （2020全国高三月考（理） ）已知函数全国高三月考（理） ）已知函数 sin()(0,(0,2 )yx =+ 的一条对称轴为的一条对称轴为 6 x = ，且，且 ( )f x 在在 4 , 3 上单调，则上单调，则的最大值为（的最大值为（ ） A 5 2 B3 C 7 2 D 8 3 解：函数 sin()yx=+ 的对称轴可表示为() 6 k xk =Z， ( )f x 在 4 , 3 上单调可得 0 kZ，使得 () 0 0 6 14 63 k k + ， 解得 () 00 62
35、1 73 kk+ 又. 0 0,0,1,2,3k= ，当 0 k =3 时，可取最大值为 8 3 2 (2018 山东高三期中山东高三期中(文文)已知函数( )sin()(012,0)f xxN=+的图象关于y轴对 称，且在区间, 4 2 上不单调，则的可能值有 A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 解：由于函数( )sin()(0)f xx=+的图象关于y轴对称，且0，则 2 =， 所以( )sin()cos 2 f xxx =+=， 又因为函数( )cos(012,)f xxN=在区间, 4 2 上不单调， 法 一 ( 在 给 定 的 区 间 内 存 在 拐 点 ) ： 00 (,)()
36、1 4 2 xf x = ，：， 此 时 0 ()xkkZ=， 0 42 k x =，又012,N， * 6 42 kN k k 且6k ， 当1k =时，可以为3； 当2k =时，可以为56 7， ，； 当3k =时，可以为7891011， ， ，； 当4k =时，可以为9101112，； 当5k =时，可以为1112，； 综上知，可以为356789101112， ， ， ， ， ，共 9 个值，故选 D 法二(给定的区间包含函数的单调区间)：因为( )cos() 42 f xxx =，因此 42 x ，所以 2 ，即2，的取值可以是3456789101112， ， ， ， ， ， ， 当3
37、=时， 33 42 x ，( )f x在, 4 2 不单调； 当4=时，2x，( )f x在, 4 2 单调递减； 当512时， 42 x ，此时 5 2444 =，( )f x在, 4 2 不单调； 故满足条件的有 9 个，故选 C 法三：( )f x在, 4 2 不单调( )fx在, 4 2 的值有正有负( )0fx =在, 4 2 有解 3(2020湖南高一期中湖南高一期中)已知函数已知函数 ( )2sin 6 f xx =+ （ * N）有一条对称轴为）有一条对称轴为 2 3 x =，当，当取最小取最小 值时，关于值时，关于 x 的方程的方程( ) f xa= 在区间在区间 , 6 3
38、 上有且只有一个根，则实数上有且只有一个根，则实数 a 的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1,1 B) 1,1 C 1,0 D以上都不对以上都不对 解：由正弦函数的对称轴为, 2 kkZ +， 26 kx +=+，得 3 k x =+， 又函数 ( )f x 有一条对称轴为 2 3 x =，即 2 33 k +=，有 31 2 k + =，kZ， * N 取最小值时，有 2=即( )2sin(2) 6 f xx =+在, 6 3 的值域为 1,2 又方程( ) f xa= 在区间 , 6 3 上有且只有一个根，即y a= 与 ( )f x 有且仅有一个交点，有如下示意图 第15页页 /共6
39、3页页 1,1)a 或2a =时，( ) f xa= 在区间 , 6 3 上有且只有一个根，故选：D 3与对称中心相关与对称中心相关 例例 3(福建省福建省 2017 届高三届高三 4 月单科质量检测理数试题月单科质量检测理数试题)11已知函数( )sin()(0,f xAxA=+ 0,0) 2 ，若 2 ()(0) 3 ff = ，则的最小值是（ ） A 2 B 3 2 C. 1 D 1 2 解法一：函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA =+，因为 2 ()(0) 3 ff = ， 即 2 sin()sin() 3 =+，由于0 2 ，所以0 2 ，从而 23 32 +，可得
40、 232 323 ，令 2 0 3 =，得 3 2 =，故选 B 解 法 二 ： 因 为 2 ()(0) 3 ff = ， 即 2 ()(0)0 3 ff +=， 结 合( )sin()f xAx=+的 图 象 ， 知 2 0 3 23 x + =是( )sin()f xAx=+的 一 个 零 点 ， 从 而() 3 kkZ +=， 所 以 () 3 kkZ =， 又0() 2 kZ ， 所 以0() 32 kkZ ， 从 而 03 (*) 3 30 2 k kN k ，取1k =，则 3 2 ，选 B 练习 4(江苏省南京市、盐城市江苏省南京市、盐城市 2013 届高三届高三一月一月第一次模
41、拟考试第一次模拟考试)8将函数sin(2) 3 yx =的图像向左平移 (0) 个单位后, 得到的图像对应的函数为( )f x若( )f x为奇函数, 则的最小值为 . 解：因为将函数sin(2) 3 yx =的图像向左平移(0) 个单位, 所以得到的图像对应的函数为 ( )sin2()sin(22) 33 f xxx =+=+， 因 为( )f x为 奇 函 数 ，2() 3 kkZ =， 即 () 26 k kZ =+，注意到0，所以当0k =时， min 6 =，填 6 5(2019 陕西高一期中陕西高一期中)若函数cos(2)(0)yx =+的图像关于点 2 (,0) 3 成中心对称，
42、则的最小值 为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 解：因为函数cos(2)(0)yx =+的图像关于点 2 (,0) 3 成中心对称，所以 2 2 32 k +=+， 即 5 () 6 kkZ =， 由 5 0() 6 kkZ =得 5 () 6 kkZ， 故1k =时， min 5 66 =， 故选 A 4与周期相关与周期相关 例 4(2020 新课标新课标理理)7设函数( )cos() 6 f xx =+在，的图象大致如图，则( )f x的最小正周期为 ( ) A10 9 B 7 6 C 4 3 D 3 2 解：由图象可得最小正周期小于 413 () 99 =，大于 410 2() 9
43、9 =，排除A，D； 由图象可得 44 ()cos()0 996 f =+=，即为 4 962 k +=+，kZ，(*) 若选B，即有 212 7 7 6 =，由 412 9762 k +=+，可得k不为整数，排除B； 若选C，即有 23 4 2 3 =，由 43 9262 k +=+，可得1k = ，成立故选：C 5与对称轴、对称中心相关与对称轴、对称中心相关 例例 5(安徽省合肥市安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测理科年高三第一次教学质量检测理科)已知函数( )2sin()(0)f xx =+的图像 关于直线 3 x =对称，且()0 12 f =，则的最小值为 A2 B4
44、C6 D8 解析：逐一验证：令，则，由得的一个值为，这样 其图象关于直线对称。故选 A 解法二(考虑对称轴与对称点不一定在同一周期内)由题意知，函数( )yf x=的一条对称轴 3 x =，一个对 2=( )2sin(2)f xx=+()0 12 f = 6 ( )2sin(2) 6 f xx = 3 x = 第17页页 /共63页页 称点(,0) 12 ，则 (21) 312424 TTkT k + =+=，即 (21) 2 44 k + =，即2(21)k=+，由于0， kZ，故0k =时，最小为 2，故选 A 练习 6(2003 年天津文，江苏年天津文，江苏)21已知函数是( )sin(
45、)(0,0)f xx =+R 上的偶函数，其图象关 于点)0 , 4 3 ( M对称，且在区间 2 , 0 上是单调函数.求和的值. 解：由( )f x是偶函数，依题设0，所以解得 2 =。由( )f x的图象关于点M对称，得 3 ,1,2,3, 42 kk =+=， 2 (21),0,1,2, 3 kk=+=。 当0k =时， 22 ,( )sin() 332 f xx =+在0, 2 上是减函数， 当1k =时，2, ( )sin(2) 2 f xx =+在0, 2 上是减函数， 当2k 时， 10 , ( )sin() 32 f xx =+在0, 2 上不是单调函数，所以综合得 2 3
46、=或2=。 第第四四节节 与与三角函数的三角函数的最值或最值点相关最值或最值点相关 1与最值相关与最值相关 例例 1(2006 福建卷福建卷)9已知函数( )2sin(0)f xx=在区间 3 , 4 上的最小值是2，则的最小 值等于 A 3 2 B 2 3 C2 D3 解法一：因为函数( )2sin(0)f xx=在区间, 3 4 上的最小值是2，则x的取值范围是 , 34 ， 只需 32 或 3 42 ， 的最小值等于 3 2 ，选 B. 解法二：( )2sin(0)f xx=在 3 , 22 内存在最小值2，所以只需 23 或 3 42 ， 即 3 2 或6，从而 3 2 ，选 B 练习
47、 1 （ （2020上海高三专题练习）若函数上海高三专题练习）若函数 ( )2sin()f xx= 在区间在区间, 5 4 上存在最小值上存在最小值2,则非零实数则非零实数的取的取 值范围是（值范围是（ ） A( , 2 B6, )+ C 5 (, 2 ,) 2 + D 15 (,6,) 2 + 解： 函数 ( )2sin()f xx= 在区间, 5 4 当0时, , 54 x 函数 ( )2sin()f xx= 在区间, 5 4 上存在最小值2， 52 可得: 5 2 当0时, , 45 x 函数 ( )2sin()f xx= 在区间, 5 4 上存在最小值2， 42 可得:2 综上所述,非
48、零实数的取值范围是: 5 (, 2, 2 + .故选:C. 2 （ （2021鄂尔多斯市第一中学高一月考（文） ）若函数鄂尔多斯市第一中学高一月考（文） ）若函数 ()2sin0yx=在在, 3 4 上的最小值是上的最小值是2， 但最大值不是但最大值不是2，则，则的取值范围是的取值范围是_. 解：当 , 3 4 x 时， , 34 x ，由题意可知： 3 22 232 22 242 kk kk + + + ，kZ， 解得： 39 66 22 2828 kk kk + + ，kZ， 0， 9 60 2 280 k k + ，解得： 4 1 4 3 k，又kZ，0k =， 39 22 22 ， 3
49、 2 2 ，即的取 值范围为 3 ,2 2 .故答案为： 3 ,2 2 . 3 (2008 辽宁卷辽宁卷 16)已知( )sin()(0) 3 f xx =+，( )( ) 63 ff =， 且( )f x在区间() 6 3 ，有最小值， 无最大值，则_ 解： 因为( )( ) 63 ff =， 所以( )f x的图像关于 63 24 x + =对称， 即函数( )f x的一条对称轴为 4 x =， 则2() 432 kkZ += +，即 10 8 () 3 k kZ= + 又( )f x在区间() 6 3 ，有最小值，所以 2 36 T =，即012 由得，1k =时， 14 3 = 4 （
50、 （2019江西高三月考（理） ）函数江西高三月考（理） ）函数()( ) 2sin()0 6 f xx =+在区间在区间(), 4 4 内有最大值无最小内有最大值无最小 值，则值，则的取值范围是（的取值范围是（ ） A 4 8 , 3 3 B 4 8 , 3 3 C 4 16 , 33 D 4 16 , 33 解法一：令() 4 46 ,uxx =+ ，则( )2sin ()(0) 46 46 yf xu u = +， 由于函数()( )2sin()0 6 f xx =+在区间(), 4 4 内有最大值无最小值， 所以( )2sinyf xu=在区间() 46 46 +，内有最大值无最小值，
