1、构造函数法解决导数不等式问题 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数 是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个，则单调性就变 ( ) fx 的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是( )f x 本身的单调性，而是包含的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，( )f x 另外题目中若给出的是的形式，则我们要构造的则是一个包含的新函数， ( ) fx( )f x 因为只有这个新函数求导之后才会出现，因此解决导数抽象函数不等式的重中之 ( ) fx 重是构造函数。 例如：，则我们知道原函数是单调递增的，若，我们 (
2、 ) 0fx ( )f x ( ) 1 0fx 知道这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求( )( )g xf xx 原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单 调性只需要判断导函数的正负即可，例如的原函数是不能准确的找到的，但是如( )g x 果我们知道一个式子的导函数里面包含，则也能大致将那个函数看成是原函数，( )g x 例如，或者的导函数中包含一个能判断符号的式子和相乘或 ( ) ( ) g x m x x ( )m x( )g x 相除的形式，我们也可以将大致看
3、成的原函数。 ( )m x( )g x 构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1） 构造 ( ) ( )0fxf x ( )( )( ) xx e f xefxf x （2） 构造 ( ) ( )0 xfxf x ( )( )( )xf xxfxf x （3）构造 ( ) ( )0 xfxnf x 11 ( )( )( )( )( ) nnnn x f xx fxnxf xxxfxnf x （注意对的符号进行讨论） x 关系式为“减”型 （1） 构造 ( ) ( )0fxf x 2 ( )( )( )( )( ) () xx xxx f xfx ef x efxf x eee （2） 构造
4、 ( ) ( )0 xfxf x 2 ( )( )( ) f xxfxf x xx （3）构造 ( ) ( )0 xfxnf x 1 21 ( )( )( )( )( ) () nn nnn f xx fxnxf xxfxnf x xxx （注意对的符号进行讨论） x 例 1.设是上的可导函数，分别是的导函数，且满( ),g( )f xxR ( ) g ( )fxx，( ),g( )f xx 足，则当时，有（ ） ( ) ( )( )g ( )0fx g xf xxaxb . ( ) ( )( ) ( )A f a g bf b g a. ( ) ( )( ) ( )B f a g af a
5、g b . ( ) ( )( ) ( )C f a g af b g b. ( ) ( )( ) ( )D f a g af b g a 解析：因为不等式左边的原函数为，因此需要构 ( ) ( )( )g ( )0fx g xf xx( ) ( )f x g x 造新函数，令，可知，则函数是单调递减函数，( )( ) ( )h xf x g x ( ) 0h x ( )h x 因此当，有即答案选 C。 axb( )( )h ah b 变式：设是上的可导函数，求( ),g( )f xxR ( ) ( )( )g ( )0fx g xf xx( 3)0g 不等式的解集。 ( ) ( )0f x g
6、 x 解 析 ： 同 上 题的 原 函 数 为， 构 造 新 函 数 ( ) ( )( )g ( )fx g xf xx( ) ( )f x g x 可知，单调递减，又因为即，( )( ) ( )h xf x g x ( ) 0h x ( )h x( 3)0g ( 3)0h 所以的解集是 ( ) ( )0f x g x ( 3,) 例 2.已知定义为的奇函数的导函数为，当时，R( )f x ( ) fx0 x ( ) ( )0 f x fx x 若，则下列关于的大小关系正确的 111 ( ),2 ( 2),ln(ln2) 222 afbfcf , ,a b c 是（ ） . Aabc.Bacb
7、.C cba.Dbac 解析：着眼点是，则试图找出不等式左边这部分 ( ) ( )0 f x fx x ( ) ( ) 0 xfxf x x 的原函数或者某个函数的导函数的一部分是不等式左边，设，则( )( )h xxf x ， 当时， 当时 ， ( )( )( )h xxfxf x0 x ( ) ( ) 0 xfxf x x ( ) 0h x 0 x ， 因 此是 左 减 右 增 的 函 数 ， 因 此 ( ) ( ) 0 xfxf x x ( ) 0h x ( )( )h xxf x 111 2 ( 2)ln(ln2)( ) 222 bfcfaf 例 3.已知函数为定义在上的可导函数，且对
8、于任意恒成立，( )f xR ( )( )f xfxxR 为自然对数的底数，则（ ） e 2013 . (1)(0)(2013)(0)A fe ffef 、 2013 . (1)(0)(2013)(0)B fe ffef 、 2013 . (1)(0)(2013)(0)C fe ffef 、 2013 . (1)(0)(2013)(0)D fe ffef 、 解析：由，构造函数，求导得 ( )( )( )( )0f xfxf xfx ( ) ( ) x f x h x e ，函数在定义域内单调递增，所以 ( )( ) ( )0 x fxf x h x e ( )h x 2013 (1)(0)(
9、2013)(0) , 11 ffff ee 例 4.设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在( )f xR ( ) fx 2 2 ( )( )f xxfxx 内恒成立的是（ ） R . ( )0A f x . ( )0B f x . ( )C f xx. ( )D f xx 解析：，试着找出不等式左边部分的原 22 2 ( )( )2 ( )( )0f xxfxxf xxfxx 函数，若设，则无法判断 23 1 ( )( ) 3 h xx f xx 2 ( )2 ( )( )h xxf xxfxx ( ) h x 的正负，因此构造函数有误，构造的原则是构造的新函数的导函数的正负是可以 判断的，
10、因此设，则，当 24 1 ( )( ) 4 h xx f xx 2 ( )2 ( )( )h xxf xxfxx0 x 时，；当时，则为左减右增的函数，且， ( ) 0h x 0 x ( ) 0h x ( )h x(0)0h 即，即 2 1 ( )0 4 f xx( )0f x 例 5.已知函数的定义域为 ，且 ，则不等式( )f xR ( )1( ),(0)4f xfxf 的解集为（ ） ln3 ( )1 x f xe .(0,)A 1 .( ,) 2 B.(1,)C.( ,)D e 解析： ln3ln3 ( )1( )( )3 xxxxx f xee f xeee f xe 令 ( )(
11、),( ) ( )( ) 10 xxx h xe f xe h xef xfx 所以为上的单调减函数，又因为，故不等式的解集为 ( )h xR(0)3h(0,) 例 6.设是奇函数的导函数，当时， ( ) fx( )f x()xR( 1)0f 0 x ，则使得成立的的取值范围是（ ） ( ) ( )0 xfxf x( )0f x x .(, 1)(0,1)A .( 1,0)(1,)B .(, 1)( 1,0)C .(0,1)(1,)D 解析：令 2 ( )( )( ) ( ),( ) f xxfxf x g xg x xx 当时， 0 x ( ) 0g x 因为为上的奇函数且，所以， ( )f
12、 xR( 1)0f (1)0f (1) (1)0 1 f g 所以当时， (0,1)x( )0( )0g xf x 当时， (1,)x( )0( )0g xf x 又因为，故为偶函数，所以 ()( )gxg x( )g x 当， ( 1,0)x ( )0( )0g xf x 当时， (1,)x( )0( )0g xf x 综上，的解集为 ( )0f x (, 1)(0,1) 例 7.函数的定义域为，对任意，则( )f xR( 1)2f xR ( ) 2fx 的解集为（ ） ( )24f xx .( 1,1)A .( 1,)B .(, 1)C .(,)D 解析： ( )24( )24f xxf
13、xx 令 ( )( )2 ,( )( )20g xf xx g xfx 所以为的单调递增函数，又因为 ( )g xR( 1)( 1)2 ( 1)4gf 所以不等式的解集为 ( 1,) 例 8已知定义域为，为的导函数，且满足，( )f x(0,) ( ) fx( )f x ( )( )f xxfx 则不等式的解集是（ ） 2 (1)(1) (1)f xxf x .(0,1)A.(1,)B.(1,2)C.(2,)D 解析： ( )( )( )( )0f xxfxf xxfx 令单调递减 ( )( ),( )( )( )0g xxf x g xf xxfx 222 (1)(1) (1)(1) (1)
14、(1) (1)f xxf xxf xxf x 2 (1)(1)g xg x 2 2 101 10112 2111 xx xxxx xxxx 或 或 高考真题举例解析： 1.函数满足，当时，的极值状态是 ( )f x 2 2( ) 2( ),(2) 8 x ee x fxxf xf x 0 x ( )f x 解析：因为，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因 2( ) 2( ) x e x fxxf x x 此把等式左边函数的原函数找出来，设，则，且 2 ( )( )h xx f x ( ) x e h x x ，因为，则，判断的极 2 (2) 2 e h 2( ) 2( ) x e x f
15、xxf x x 3 2 ( ) ( ) x eh x fx x ( )f x 值状态就是判断的正负，设，则 ( ) fx( )2 ( ) x g xeh x 2 ( )2 ( )2() x xxx ex g xeh xee xx 这里涉及二阶导，在处取得最小值 0，因此，则，( )g x2x ( )0g x ( ) 0fx 故没有极大值也没有极小值。（有难度，但不失为好题目） ( )f x 2.定义在上的函数满足，则不等式的R( )f x ( )( )1,(0)4f xfxf( )3 xx e f xe 解集为_. 解析：因为，设，则，不等式 ( )( )1f xfx( )( ) x h xe
16、 f x ( ) ( )( ) x h xef xfx ，设函数，( )3( )30 xxxx e f xee f xe( )( )3 xx g xe f xe ，因为，所以，所以，又 ( )( ) x g xh xe ( )( )1f xfx ( )x h xe ( ) 0g x 因为，所以，综上可判断出在定义域内单调(0)4f(0)(0) 1 30gf ( )g x 递增且，因此原不等式的解集为 (0)0g(0,) 3.定义在上的函数满足，对任意的有，则不等式 R( )f x(1)1fxR 1 ( ) 2 fx 的解集是 2 2 1 () 2 x f x 解析：，令，则，设 22 22 1
17、1 ()()0 22 xx f xf x 2 tx 1 ( )0 2 t f t ，则，所以，即函数单调递减， 1 ( )( ) 2 t h tf t 1 ( )( ) 2 h tf t ( ) 0h t ( )h t 又因为，为偶函数，所以，即 (1)0h( )h t0,1)t( 1,1)x 4. 是定义在上的非负可导函数，且，对任意正数， ( )f x(0,) ( ) ( )0 xfxf x, a b 若则必有（ ） ab .( )( )Aaf bbf a.( )( )Bbf aaf b.( )( )C af af b.( )( )Dbf bf a 解析：，则应设，在上， ( ) ( )0 xfxf x 2 ( )( )( ) ( ),( ) f xxfxf x h xh x xx (0,) 函数，单调递减，因此，即 ( ) 0h x ( )h x( )( )abh ah b( )( )af bbf a
