1、全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 以三角函数为载体的导数压轴题汇编以三角函数为载体的导
2、数压轴题汇编 1已知函数axxexf x sin)( （1）当0a时，求曲线)(xfy 在)0(, 0(f处的切线方程； （2）当0a时，判断)(xf在 4 3 , 0 上的单调性，并说明理由； （3）当1a时，求证： 4 3 , 0 x，都有0)(xf 分析： （1）根据题意，当0a时，xexf x sin)(，计算其导数进而可得1)0( f，又由 00sin)0( 0 ef，由直线的点斜式方程计算可得答案； （2）根据题意，求出)(xf的导数，由a的范围，结合函数的单调性与函数导数的 关系分析可得结论； （3）根据题意，分0a与10 a两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性与 最小值，综合
3、即可得答案 解答： (1)当0a时，xexf x sin)(， 则有)cos(sin)( xxexf x ，则1)0( f 又00sin)0( 0 ef， 所以曲线)(xfy 在)0(, 0(f处的切线方程为xy ； (2)因为axxexf x sin)(， 所以axeaxxexf xx ) 4 sin(2)cos(sin)( ， 因为 4 3 , 0 x，所以, 4 4 x 所以0) 4 sin(2 xex，所以 当0a时，0)( xf， 所以)(xf在区间 4 3 , 0 单调递增； ()证明：由()可知，当0a时，)(xf在区间 4 3 , 0 单调递增， 所以 4 3 , 0 x时，0
4、)0()( fxf 当10 a时，设)( )(xfxg， 则xexxexxexg xxx cos2)sin(cos)cos(sin)( ， )(xg，)( xg随x的变化情况如下表： 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276
5、463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 x0) 2 , 0( 2 ) 4 3 , 2 ( 4 3 )( xg0 )(xga1)(xg递增极大值)(xg递减a 所以)(xf)在 2 , 0 上单调递增，在 4 3 , 2 ( 上单调递减， 因为01)0( af，0) 4 3 ( af ， 所以存在唯一的实数) 4 3 , 2 ( 0 x，使得0)( 0 xf， 且当), 0( 0 xx，0)( xf，当 4 3 ,( 0 xx时，0)( xf， 所以)(xf在, 0 0 x上单调递增，在 4 3 , 0
6、x上单调递减 又0)0(f，0 2 3 322 4 3 22() 2 4 3 4 3 e eaef， 所以当10 a时，对于任意的 4 3 , 0 x，0)(xf 综上所述，当1a时，对任意的 4 3 , 0 x，0)(xf 2已知函数Raxxaxxxf,cossin)( （1）当1a时，求曲线)(xfy 在)0(, 0(f处的切线方程； （2）当2a时，求)(xf在区间 2 , 0 上的最大值和最小值； （3）当2a时，若方程03)(xf在区间 2 , 0 上有唯一解，求 a 的取值范围 分析： （1）求得)(xf的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线 的方程； （2）求
7、得函数的导数，判断单调性，计算可得最值； （3）求得导数，构造函数1cossin)1 ()(xxxaxh，求得导数，判断符号，可 得单调性，由函数零点存在定理，可得f（x）的单调性，结合条件可得a的范围 解答： （1）当1a时，xxxxxfcossin)(， 所以1cossin2)( xxxxf，1)0( f 又因为1)0(f， 所以曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线方程为1 xy； （2）当2a时，xxxxxfcos2sin)(， 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：27646309
8、9 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 所以1cossin)( xxxxf 当) 2 , 0( x时，0sin1x，0cosxx，所以0)( xf 所以)(xf在区间 2 , 0 上单调递增。 因)(xf在区间 2 , 0 上的最大值为 ) 2
9、 (f，最小值为2)0(f； （3）当2a时，1cossin)1 ()( xxxaxf， 设1cossin)1 ()(xxxaxh，xxxaxhsincos)2()( ， 因为2a， 2 , 0 x，所以0)( xh 所以)(xh在区间 2 , 0 上单调递减， 因为01)0(h，0211) 2 (aa a h， 所以存在唯一的 2 , 0 0 x，使0)( 0 xh，即0)( 0 xf 所以)(xf在区间, 0 0 x上单调递增，在区间 2 , 0 x上单调递减。 因为af)0(， ) 2 (f， 又因为方程03)(xf在区间 2 , 0 上有唯一解， 所以a的取值范围是3 , 2( 3已知
10、函数 x x xf sin )( （1）若), 0(x，讨论方程kxf)(根的情况； （2）若)2 , 0(x，), 5 2 k，讨论方程kxf)( 根的情况 解：（1）), 0(, sincos )( 2 x x xxx xf 令xxxxgsincos)(，则xxxgsin)( 当), 0(x时，0sinx，0)( xg )(xg单调递减，0)()( min gxg x趋于0时，)(xf趋于1，故) 1 , 0()(xf 故，0k时，方程kxf)(无实根； 10 k时，方程kxf)(有一个实根； 1k时，方程kxf)(无实根 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：7206
11、05560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 （2）由（1）可知，)2 , 0(, sincos )( 2 x x xxx xf，则 )2 , 0(, sincos
12、 )( 2 2 x x kxxxx kxf 令)2 , 0(,sincos)( 2 xkxxxxxh，则)2(sin2sin)( kxxkxxxxh 当 2 1 k时，02sin kx，0)( xh，)(xh单调递减，0)0(h 故)2 , 0(x时，0)(xh，方程kxf)( 无实数根； 当 2 1 5 2 k时，则存在) 2 3 ( 1 ，x，)2 , 2 3 ( 2 x使得0)( xh，且3 21 xx ), 0( 1 xx时，0)( xh；),( 21 xxx时，0)( xh；)2( 2 ，xx时，0)( xh 所以)(xh在 1 xx 时取得极小值 4 98 ) 2 3 (sinco
13、s)( 2 2 11111 fkxxxxxf， 在 2 xx 时取得极大值 2 1111 2 22222 )3(sincos)3(sincos)()(xkxxxkxxxxxhxh 极大 ， )3cos2(3sincos 11 2 1111 kxkxkxxxx，因为 3)31 2 3 2(3)3cos2(3 11 kkkxkx，所以03 4 98 )( 2 极大xh 0 5 1610 42)2( 2 2 kh ，故 )2 , 0(x ， 0)(xh，kxf)( 无实数根； 综上，), 5 2 k，方程kxf)( 无实根 4已知函数, 2 1 cossin)( 2 xaxxxxxf （1）当0a时
14、，求)(xf的单调区间； （2）当0a时，讨论)(xf的零点个数 解：（1）当0a时，,cossin)(xxxxxf xxxxxxxfcossincossin)( 当x在,上变化时，)( xf，)(xf的变化如下表： x) 2 ,( 2 )0 , 2 ( 0) 2 , 0( 2 ), 2 ( )( xf 000 )(xf1 单调 递增 极大 值 2 单调 递减 极小 值1 单调 递增 极大 值 2 单调递 减 1 所以的单调递增区间为 2 ,( ，) 2 , 0( ，单调递减区间为)0 , 2 ( ，), 2 ( （2）任取,x， 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：72
15、0605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 )( 2 1 cossin)( 2 1 )cos()sin()()( 22 xfaxxxxxaxxxxf 所以)(
16、xf是偶函数，)cos(cos)( xaxxxaxxf 当1a时，0cosxa在, 0恒成立，所以, 0 x时，0)( xf，所以)(xf在 , 0上单调递增，又因为1)0(f，所以)(xf在, 0上有0个零点， 又)(xf是偶函数，所以)(xf在,上有0个零点 当10 a时，令0)( xf得axcos， 由函数的单调性可知，存在唯一的), 2 ( 0 x使得ax 0 cos 当), 0 0 xx时，0)( xf，)(xf单调递增； 当,( 0 xx时，0)( xf，)(xf单调递减； 因为1)0(f，1)( 0 xf，1 2 1 )( 2 af， 当01 2 1 2 a，即1 2 2 a 时
17、，)(xf在, 0上有0个零点 又)(xf是偶函数，所以)(xf在,上有0个零点 当01 2 1 2 a，即 2 2 0 a时，)(xf在, 0上有1个零点 又)(xf是偶函数，所以)(xf在,上有2个零点 综上，当 2 2 0 a时，)(xf在,上有0个零点；当1 2 2 a 时，)(xf在 ,上有2个零点 5已知函数Raxxxaxxf), 0(,sincos)()( （1）求)(xf的单调区间； （2）若对于任意), 0( 1 x，存在), 0( 2 x，都有12)( 2 2 21 xxxf，求a的范 围 解：（1）), 0(,sin)()( xxxaxf 因为), 0(x，所以0sinx
18、 由0)( xf得ax 当0a时，0)( xf，)(xf在), 0(上单调递减； 当a时，0)( xf，)(xf在), 0(上单调递增； 当 a0时，x，)( xf，)(xf的变化情况如下表： x), 0(aa),(a )( xf0 )(xf单调递增极大值单调递减 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：7
19、20605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 所以，)(xf的单调递增区间是), 0(a，单调递减区间是),(a 综上所述：当0a时，)(xf在), 0(上单调递减； 当a时，)(xf在), 0(上单调递增； 当 a0时，)(xf的单调递增区间是), 0(a，单调递减区间是),(a （2）设12)( 2 xxxg，因为2) 1()( 2 xxg，当1x时，的最小值为2 因为对于任意), 0( 1 x，存在), 0( 2 x，都有
20、12)( 2 2 21 xxxf 所以 2)( 2)0( f f ，即 2)( 2 a a ，解得22a 即a的取值范围是2 , 2 6已知函数 x aeaxxxf 2 2 1 )(，)(xg为)(xf的导函数 （1）求函数)(xg的单调区间； （2）若函数)(xg在 R 上存在最大值0 ，求函数)(xf在), 0 上的最大值； （3）求证：当1x时，)sin23(32 22 xexx x 解：（1）由题意可知， x aeaxxfxg)( )(，则 x aexg1)( ， 当0a时，0)( xg，)(xg在),(上单调递增； 当0a时，令0)( xg，解得axln；令0)( xg时，解得axl
21、n， )(xg在)ln,(a上单调递增，在),ln(a上单调递减 综上所述，当0a时，)(xg的单调递增区间为),(，无递减区间； 当0a时，)(xg的单调递增区间为)ln,(a，单调递减区间为),ln(a （2）由（1）可知，0a且)(xg在axln处取得最大值， 1lnln)ln( ln 1 aaaeaaag a ，即01lnaa， 令)0( 1ln)(aaaah，则 a a a ah 11 1)( ， 当) 1 , 0(a时，0)( ah，当), 1 ( a时，0)( ah， )(ah在) 1 , 0(上单调递减，在), 1 ( 单调递增，故1a时，)(ah有极小值，也是 最小值，0)
22、1 (h， 当且仅当1a时，01lnaa x exxxf 2 2 1 )(，由题意知0)()( xgxf，)(xf在), 0 上单调递减， )(xf在0 x处取得最大值1)0(f （3）由（2）可知，若1a，当0 x时，1)(xf，即1 2 1 2 x exx， 222 2 x exx，1232 2 x exx， 当1x时， xx exe 22 )sin23(，令01212)( 22 eeeexF xx ，故 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：91534
23、9821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 12 2 xx ee，所以)sin23(1232 22 xeexx xx ， 7函数xexf x sin)(， x exxxg2cos) 1()( （1）求)(xf的单调区间； （2）对 2 , 0 1 x， 2 , 0 2 x，使mxg
24、xf)()( 21 成立，求实数m的取值范 围； （3）设xnxf x x xh2sin)( sin 2 )(在) 2 , 0( 有唯一零点，求正实数n的取值范围 分析： （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于 1 , 0,)()( maxmin xxtxf，根据函数的单调性求出m的范围即可； （3）求出函数)(xh的导数，通过讨论n的范围，得到函数的单调区间，从而确定 n的范围即可 解答： （1）) 4 sin(2)( xexf x ， 当 kxk2 42 2，即)( 4 3 2 , 4 2Zkkkx 时，0)( xf，)(xf 单调递增，当
25、22 4 2kxk，即)( 4 7 2 , 4 3 2Zkkkx 时， 0)( xf，)(xf单调递减 综上，)(xf的递增区间是)( 4 3 2 , 4 2Zkkkx ， 递减区间是)( 4 7 2 , 4 3 2Zkkkx ； （2）mxgxf)()( 21 ，即)()( 21 xgmxf，设)()(xgmxt， 则问题等价于 2 , 0,)()( maxmin xxtxf， 由（1）可知，当 2 , 0 x时，0)( xf，故)(xf在 2 , 0 递增， 0)0()( min fxf， x exxmxt2cos) 1()(， x exxxxt2sin) 1(cos)( ， 02cos
26、x ex，0sin) 1(xx， 当 2 , 0 x，0)( xt，)(xt在 2 , 0 递增， 2 2) 2 ()( max emtxt， 故02 2 em， 2 2 em，实数m的取值范围是2,( 2 e； （3）) 2 , 0(,2sin2)( xxnxexh x ，xnexxh x 2cos2) 1(2)( ， 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全
27、国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 若10 n，则0)( xh，)(xh递增，0)0()( hxh无零点， 若1n时，设xnexxk x 2cos2) 1(2)(，则xnexxk x 2cos4)2(2)( ， 故)(xk递增，022)0(nk，0) 1 2 (2)( 2 2 ek， 故存在) 2 , 0( 0 x，使得0)( 0 xk， 故), 0( 0 xx
28、时，0)(xk，即0)( xh，)(xh)递减， ) 2 ,( 0 xx时，0)(xk，即0)( xh，)(xh递增， 故), 0( 0 xx时，0)0()( hxh无零点， 当) 2 ,( 0 xx时，0)( 0 xh，0) 2 ( h，存在唯一零点， 综上，), 1 ( n时，有唯一零点 8已知函数)(sin)( 3 Rmmxxxxf （1）当0m时，证明： x exf)(； （2）当0 x时，函数)(xf单调递增，求m的取值范围 分析： （1）当0m时，即证：0sinxxex，由于1sinxexxe xx ，令 1)(xexg x ，利用导数研究其单调性即可得出 （2）依题031cos)
29、( 2 mxxxf在0 x上恒成立，令 2 31cos)(mxxxF， 0)0(F，xmxxFsin6)( ，令xxxHsin)(，利用导数研究其单调性可得： xxxxxsin)0(sin，于是xmxmxxF) 16(6)( ，通过对m分类讨论 即可得出 解答： （1）证明：当0m时，即证：0sinxxex，1sinxexxe xx ，令 1)(xexg x ，则1)( x exg，当0 x时，有0)( xg，)(xg单调递增； 当0 x时，有0)( xg，)(xg单调递减，0)0()( gxg， 由于1sinxexxe xx 与)0()(gxg，取等号的条件不一致， x exf)( 0sin
30、xxex(此问可以参考如图理解) 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 （2）依题031c
31、os)( 2 mxxxf在0 x上恒成立， 令 2 31cos)(mxxxF，0)0(F，xmxxFsin6)( ， 又令xxxHsin)(0cos1xH，所以0 x时，H(x)在), 0( 上单调递增， 0)0()( HxH，因此xxxxxsin)0(sin， xmxmxxF) 16(6)( ，讨论： 当 6 1 m，0 x时，0)( xF，)(xF单调递增；0)0()( FxF，符合题意 当0m时，0) 2 (31) 2 ( 2 mF，不符合题意，舍去； 当 6 1 0 n，xmxFcos6)( ，016)0( mF， 06) 2 ( mF F(2)=6m0，F(0) F(2)f（0）=1
32、， 即：当a=1时，x（0，+），f（x）1 （2）当a=0时， x exf)(，符合条件 当a0，设 x ey 1 与xaysin 2 在点),( 00 yx处有公切线) 2 , 0( 0 x 则 4 00 0 0 2 4 1tan cos sin 0 0 eaxx xae xae x x 故 4 20 ea 当a0，所以x a cos 1 对Rx恒成立 1cos 1 max x a 实数10 a （2）1lnsin 2 1 )(xbxxxg， x b xxgcos 2 1 1)( 若b0，取 b ex 3 0 ，则10 0 x 0 2 1 1ln 2 1 11lnsin 2 1 )( 00
33、000 xbxbxxxg 存在 0 x，使0)( 0 xg 设 21 0 xx ，令1 1 2 t x x 由（1）知xxysin单增，所以 1122 sinsinxxxx，即 1212 sinsinxxxx )()( 2121 xxxgxg，1lnsin 2 1 1lnsin 2 1 222111 xbxxxbxx 所以 )( 2 1 )sin(sin 2 1 )ln(ln 12121212 xxxxxxxxb 所以0 lnln 2 12 12 xx xx b 下面证明 12 12 12 lnln xx xx xx ，即0 1 ln t t t 设1, 1 ln)( t t t tth，0
34、2 ) 1( )( 2 tt t th恒成立 )(th单减，0) 1 ()( hth，所以 21 2xxb 20设函数),(lncos)(Rbaxbxaxxf （1）若0b且)(xf在), 0( 为增函数，求a的取值范围； （2）设10 a，若存在), 0(, 21 xx，使得)()( 2121 xxxfxf，求证：0b 且 1 21 a b xx 解：（1）xaxxfcos)(为增函数，所以0sin1)( xaxf恒成立 所以) 1 , 1(a 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463
35、099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 （2）设 21 0 xx ，令1 1 2 t x x 由（1）知10 a ， xaxxfcos)(单增，所以 1122 coscosxaxxax，即 )cos(cos 1212 xxaxx )()(
36、2121 xxxfxf， 222111 lncoslncosxbxaxxbxax 所以)(1 ()cos(cos)ln(ln 12121212 xxaxxaxxxxb 所以0 lnln1 12 12 xx xx a b 下面证明 12 12 12 lnln xx xx xx ，即0 1 ln t t t 设1, 1 ln)( t t t tth，0 2 ) 1( )( 2 tt t th恒成立 )(th单减，0) 1 ()( hth，所以 1 21 a b xx 21设) 2 cos()( x aexf x ，其中0a （1）求证：曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线过定点； （2）若
37、函数)(xf在) 1 , 1(上存在唯一极值，求正数 a 的取值范围 证明：（1）因为) 2 sin( 2 )( xaexf x 所以af)0( ，又1)0( af， 所以曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线为axay) 1(， 即1) 1(xay，所以曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线过定点) 1, 1( （2）因为) 2 sin( 2 )( x aexf x 当0a，函数 x aey 和) 2 sin( 2 )( x xf 在) 1 , 1(上都是增函数 所以) 2 sin( 2 )( x aexf x 在) 1 , 1(上是增函数 函数)(xf在) 1 , 1(上存在唯
38、一极值， 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 0) 1 ( 0) 1( f f ，所以
39、0 2 0 2 1 ae ae 所以) 2 , 0( e a 22已知函数) 1cos4()( 32 xxaxxexf x ，) 1()(xmexg x （1）当1m时，求函数)(xg的极值； （2）若 2 7 a，证明：当) 1 , 0(x时，1)( xxf (1)mexg x )( ，由0)( xg得mxln 由mxln得0)( xg，mxln得0)( xg， 所以函数)(xg只有极小值mmmgln)(ln. (2)证明：不等式等价于 x e x xxaxx 1 1cos4 3 由(1)得：1 xex， 所以 22 ) 1( xe x ，所以 x e x x 2 1 1 1 ，x(0，1)
40、， ) 1 1 cos4( 1 1 1cos4 1 1cos4 233 x axxx x xxaxx e x xxaxx x 令 1 1 cos4)( 2 x axxxh，则 2 ) 1( 1 sin42)( x xxxh， 令xxxIsin42)(，则)cos21 (2)( xxI， 所以0)( xI， 所以)(xI在(0，1)上为减函数，所以I(x)0，而x(0，1)，所以f(x)x+1 23已知函数)(sin)( 3 Rmmxxxxf （1）当0m时，证明： x exf)(； （2）若0 x，函数)(xf单调递增，求 m 的取值范围 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享
41、群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 (1)证明：当m=0时，即证：0sinxxex，1sinxexxe xx ，令 1)(xexg x ， 则
42、1)( x exg，当x0时，有0)( xg. 当x0时，g(x)单调递增； 当x0时，有g(x)0.当x0时，g(x)单调递减，g(x) g(0)=0. 由于1sinxexxe xx 与g(x) g(0)，取等号的条件不一致， 0sinxxex(此问可以参考如图理解). x exf)(. (2)依题031cos)( 2 mxxxf在x 0上恒成立， 令 2 31cos)(mxxxF，F(0)=0，xmxxFsin6)( ， 又令xxxHsin)(0cos1)( xxH，所以当x 0时，H(x)在(0，+)上单调递增， H(x) H(0)=0，因此xx sin(x 0)xxsin， )( xF
43、 6mxx=(6m1)x，讨论： 当 6 1 m，x 0时，0)( xF，F(x)单调递增;F(x) F(0)=0，符合题意 当m 0时，0) 2 (31) 2 ( 2 mF，不符合题意，舍去。 当 6 1 0 m，016)0( mF，06) 2 ( mF ，0) 2 ( )0( FF. x1，使得0)( 1 xF，当x(0，x1)时，0)( xF，0)( xF在(0，x1)时单调递减， 当x(0，x1)时，0)0( )( FxF，F(x)在(0，x1)单调递减， F(x)F(0)=0，不符合题意舍去。 综上： 6 1 m. 24已知xxaxf)ln()( （1）求函数)(xf的单调区间； （
44、2）当0 x时，0 1 )( 2 x x xf恒成立，求a的取值范围； （3）求证：当0 x时， x x x sin1 sin ) 1ln( 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：9153
45、49821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 解：（1）xxaxf)ln()(，ax， 1 1 )( xa xf，令0)( xf解得：x=1a， x(a，1a)时，0)( xf，x(1a，+)时，0)( xf， f(x)在(a，1a)递增，在(1a，+)递减； (2)令0 1 )ln( 1 )()( 2 x x xa x x xfxg， 故 x x exa 1 ，即xea x x 1 恒成立， 令 x x t 1 (0，1)，则 1 t t ea t 恒成立， 令 1 )( t t ex t ，则 2 ) 1( 11 )( te x t ， 下面证明
46、0)( x， 1 te t ，且t(0，1)时，(t1)2(t+1)=t2t0时， x x x 1 )1ln(， 当x) 2 , 0( 时，令xxxmsin)(，则0cos1)(xxm， m(x)递增，m(x)0，即0sinxx， 又 x x xn 1 )(在(0，+)递增， 故 x x x x sin1 sin 1 ， 故 x x x sin1 sin ) 1ln( . 25已知函数xxexf x cos)( （1）当曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线方程； 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学
47、资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 （2）求函数)(xf在区间 2 , 0 上的最大值和最小值； 解：(1)函数xxexf x cos)(的导数为1)sin(cos)( xxexf x ， 可得曲线y=f(x)在
48、点(0，f(0)处的切线斜率为01)0sin0(cos 0 ek， 切点为(0，1)，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=1； (2)函数xxexf x cos)(的导数为1)sin(cos)( xxexf x ， 令1)sin(cos)(xxexg x ， 则g(x)的导数为xexg x sin2)(， 当x 2 , 0 ，可得0sin2)(xexg x ， 即有g(x)在 2 , 0 递减，可得g(x) g(0)=0， 则f(x)在 2 , 0 递减， 即有函数f(x)在区间 2 , 0 上的最大值为f(0)=1； 最小值为 222 cos) 2 ( 2 ef. 26设函数
49、x x xfsin 2 )(的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 n x （1）求数列 n x； （2）设 n x的前 n 项和为 n S，求 n Ssin 解：()求导函数可得xxfcos 2 1 )( ，令0)( xf，可得 3 2 2 kx(kZ). 令0)( xf，可得 3 2 2 3 2 2kxk(kZ)； 令0)( xf，可得 3 4 2 3 2 2kxk(kZ)； 3 2 2 kx(kZ)时，f(x)取得极小值， 3 2 2 nxn(nN+). () 3 2 ) 1( n nnSn 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群
50、：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099 雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280 当n=3k(kN)时，0)2sin(sinkSn； 当n=3k1(kN)时 2 3 ) 3 2 sin(sin n S； 当n=3k2(kN)时，
