1、3.3.2 均均匀匀随随机机数数的的产产生生 教学设计 教材：人教 A 版必修 3第三章 概率3.3 几何概型 广东省惠州市第一中学郭慧敏 教材地位分析教材地位分析 在现实生活中，很多随机问题无法用公式求得准确概率，于是在高中数学的概率模块学习中，新增了随机模拟这一重要内容。本课作为概率必修的章 节的尾声，在掌握了概率定义，古典概型整数值随机数的产生及几何概型公式计算的基础上，学习均匀随机数的产生方法，并运用于随机模拟试验中，为 解决现实生活中的随机问题，提供了另一个实用可操作的途径。 教学内容分析教学内容分析 本课教学的主要内容是：学习用计算器（机）产生均匀随机数的一般方法；探究例 2，一方
2、面用随机模拟的方法统计事件发生的频率，并估计为概率， 另一方面用几何概型的公式计算得到准确的概率，并验证随机模拟结果的可靠性；最后通过例 3 圆周率的估计问题来巩固随机模拟的思想方法。 教学重点：学习用计算器（机）产生均匀随机数的一般方法；用随机模拟的方法解决例 2 的送报纸问题。 教学难点：随机模拟试验的设计过程。 教学目标设置教学目标设置 通过本课的学习，希望学生能达到以下三个层次的目标 知识目标：了解均匀随机数的特点；熟练掌握用计算器和计算机产生均匀随机数方法；通过例 2 和例 3，学会设计随机模拟试验。 能力目标：提升数据处理能力，实践操作能力和归纳总结能力 思想目标：巩固和深化频率估
3、计概率的随机模拟思想。 学生学情分析学生学情分析 本节课教学对象是高二学生，具备以下知识和能力： 已学习概率的定义，理解随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率； 在古典概型的学习中，已初步接触了随机模拟试验； 已经学习几何概型的公式计算方法，并基本能识别不同几何测度的概率问题； 教学教学策略策略分析分析 在高考中，随机模拟试验的内容较少涉及，传统授课中，例 2 送报纸问题常以几何概型公式计算的方法为教学重点。但在数学核心素养的培养中，数 学建模与数据处理是重要的部分，而随机模拟是此能力培养的重点内容之一，教学中需提供大量实践操作的机会。故本课采用数学试验的教学策略，从试 验原理的引入到试验工
4、具的学习，从设计试验的方案到体验试验的操作，应用理论对试验结果进行论证，最后提炼出试验的主要思路，并加以巩固运用， 让学生体验随机模拟试验的全过程。 由此，课前需做好以下教学准备：每个小组配备一台笔记本电脑，两个计算器，教师自制转盘教具，印制课堂学案。 教学流程框图教学流程框图 课堂总结及课后作业 方法 学习 拓展 运用 例 3 拓展：估计圆周率的值思路类比课后操作问题转化 原理 引入 概率的本质 随机模拟试验 古典概型中的随机模拟试验 几何概型中的随机模拟试验 整数值随机数的产生 均匀随机数的产生 均匀随机数的产生 产生0,1均匀随机数 特殊 产生2,5均匀随机数产生a,b均匀随机数 基础一
5、般化 典例 探究“Excel 表格”模拟试验 例 2 探究：送报纸问题 题意解析及“转表盘”模拟试验简述 问题导引表格设计实践操作 理论计算验证确定模型量化计算结论分析 随机模拟思路提炼 明确条件 教学过程：教学过程： 预计时 间（分） 教学内容教师活动学生活动教学评价 原理原理 引入引入 2 分钟 随机模拟试验：试验结果随机数 古典概型：离散有限的试验结果整数值随机数 几何概型：连续无限的试验结果均匀随机数 讲授：解释学习均匀随机数产生方法的必 要性及均匀随机数的特点 复习概率的定义，回顾古典 概型中，整数值随机数的产 生方法，理解为什么要学习 均匀随机数的产生 观察判断学生 能否理解均匀
6、随机数的特点， 能否快速进入 本课主题。 方法方法 学习学习 10 分钟 均匀随机数的产生均匀随机数的产生 基础：基础：如何产生0,1均匀随机数 计算器：SHIFTRAN#=，反复按= Excel 表格：空格中输入函数“=rand（）”，再回车 特殊：特殊：如何产生2,5均匀随机数 x 是区间0,1的均匀随机数， 2+3x 为区间2,5的均匀随机数 一般化：一般化：如何产生a,b均匀随机数 x 是区间0,1的均匀随机数，a+（b-a）x 为区间a,b的均 匀随机数 演示： 用计算器和 Excel 表格演示产生 0,1 的均匀随机数。 问 1：在已经产生0,1之间的均匀随机 数的基础上如何得到2
7、,5之间的均匀随 机数？请同学回答 问 2：问题一般化，要产生任意指定区间 a，b上的均匀随机数可以如何变换呢？ 活动：学生动手操作，产生 10 个2,5之 间的均匀随机数，并记录在学案上。 练习操作计算器和 Excel 表 格 答 1：先 “3”，再“2”， 得 2+3x，为所求 答 2： “（b-a）”，换再“ a”，即是 a+（b-a）x 活动：以小组为单位，两人 合作，练习产生 10 个2,5 之间的均匀随机数。 观察学生能否 理解区间变换 的过程，考察学 生的动手操作 能力。 典例典例 探究探究 20 分钟 1.问题引入及解析问题引入及解析 例 2：假设你家订了一份报纸，邮递员可能在
8、早上 6:30-7:30 之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时 间在早上 7:00-8:00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸 （称为事件 A）的概率是多少？ 老师通过自制教具转盘演示，解释题意， 简单解析通过转表盘来设计随机模拟试 验，提出通过手动转表盘能否完成大量重 复试验的疑惑，从而引出通过计算机自动 生成数据的必要性。 设想用转表盘来设计随机 模拟试验，理解手动试验无 法满足大量重复试验的需 求，思考自动产生随机数的 方法。 2.“Excel 表格表格”模拟试验模拟试验 Excel 试验原理：试验原理：用 Excel 表格中的函数来实现均匀随机 数的产生和数据的统计和计算。 问
9、题导引：问题导引： 为了表示时间，我们需要产生几组均匀随机数，范围是 什么？ 事件发生的条件是什么？如何用数学语言表示？ 如何统计事件发生的频数？如何计算频率？ 表格设计表格设计： 实践操作：实践操作： 1.Excel 试验原理讲授：试验原理讲授：用函数来实现均匀 随机数的产生和数据的统计和计算，估计 的过程更为科学和高效。 2.问题导引：问题导引： 引导学生思考 3 个问题，为设计随机模拟 试验提供线索 3.设计表格设计表格 组织学生分小组讨论，设计 Excel 表格，将 每个空格上需填入的函数写在学案里。 小组讨论后，要请小组代表展示分享。 4.实践操作实践操作 请同学们将设计好的内容输入
10、 Excel 表格 中，快速得到试验的结果，最后我们来比 比看，哪个小组估计的概率最准确。 学生实践后报出试验结果，老师演示实践 过程： 以试验的次数设为横轴， A 发生的频 率为纵轴，形成折线图，随机取其中一个 折线图观察，试验次数越多，频率会稳定 在 0.870.88 之间，于是最后取常数 0.873 作为试验的结果。 1.明白试验原理明白试验原理，尝试通过 Excel 表格设计试验的 2. 问题导引：问题导引： 边思考边回答 3 个问题，形 成设计随机模拟试验的初 步想法 3.设计表格设计表格 分小组讨论，在学案上填入 Excel 表格的具体内容。 某小组展示表格的设计，并 解释每个空格
11、填入的内容 4.实践操作实践操作 学生分小组实践操作 Execl 表格。每个小组都完成后汇 报自己小组的试验结果，抛 出问题：哪个小组的数据更 准确？ 观察老师演示，能看出频率 稳定的范围，理解试验次数 越多，概率估计越准确的原 理。 通过随机模拟 试验的实践，考 查学生是否具 备设计随机试 验的创新能力， 能否熟练运用 Excel 表格产生 均匀随机数的 动手操作能力， 是否具有数据 图表的分析理 解能力，是否具 有团队合作的 精神。 散点图 到底哪个结果更准确呢？再看以送报时间 和离家时间构成的散点图，满足条件的点 为红色，不满足条件的的点为蓝色。发现 所有的点分布在一个矩形内，红色点和蓝
12、 色点之间有一条明显的界限，这个现象说 明什么？ 思考如何判断哪组结果更 准确，思考散点图的现象提 供什么线索。 3.理论计算验证理论计算验证 从理论的角度思考“送报纸”问题,计算出准确的概率。 3.1 一个时间确定，一个时间随机，明确事件发生的条件一个时间确定，一个时间随机，明确事件发生的条件。 离家时间确定为 7:20，送报时间为 6:30 至 7:20 即可 送报时间确定为 7:15，送报时间为 7:15 至 8:00 即可 A 发生的条件是送报时间离家时间。 3.1 明确条件明确条件 几何画板演示：几何画板演示：如果爸爸离家的时间为 7:20，邮递员在 6:30-7:20 这 50 分
13、钟内把报 纸送到便可，如果邮递员送报纸的时间为 7:15，爸爸在 7:15-8:00 这段时间内离家便 可， 这说明 A 发生的条件是送报时间离家 时间。 3.1 明确条件明确条件 观察几何画板的动态演示， 通过特例再次明确取得报 纸的条件。 通过几何概型 理论求概率的 过程，考查学生 能否将实际问 题转化为数学 模型的建模能 力，是否具有量 化计算，数形结 合的答题能力， 3.2.两个时间均随机，确定概率模型两个时间均随机，确定概率模型 3.3 设量建系，量化面积，计算概率设量建系，量化面积，计算概率 邮 递 员 送 报 纸 时 间 为 x,则 6.57.5x，爸爸离家时间为 y,则 78y
14、，爸爸离家前取得报纸, 只 需送报时间早于离家时间，则yx： 111 1 7 222 1 18 A S P A S 3.4 结论分析结论分析 3.2 确定模型确定模型 几何画板演示：几何画板演示：分离两个时间轴，几何画 板动态分析事件结果构成方形区域，确定 问题为面积型的几何概型。 3.3 量化计算量化计算 组织学生分小组活动，引导学生通过建立 直角坐标系来解决问题。最后师生一起完 成量化计算，得到准确概率。 3.4 结论分析结论分析 讲授讲授：将试验得到的散点图和估计的概率， 与理论画出的示意图和计算的概率相对 比，会发现这惊人的相似其实是一个必然， 充分验证了随机模拟试验结果的可靠性。 哪
15、个小组的数据最准确？答案自然揭晓 了！ 3.2 确定模型确定模型 观察几何画板动态演示，辨 析是长度型，还是面积型的 几何概型。 3.3 量化计算量化计算 小组活动，落实画图，计算 书写的解题过程。 3.4 结论分析结论分析 通过对比，验证了随机模拟 试验结果的可靠性，小组估 计概率的准确度比赛也有 了结果。 4.模拟思路总结模拟思路总结 例 2 送报纸问题 模拟什么？送报时间，离家时间 用什么模拟？两组均匀随机数 x 、y 随机数的范围？ 6.5,7.5x7,8y 事件发生的条件？xy 随机模拟试验的工具Excel 表格 师生互动师生互动，老师以问题串的提问方式，让 学生归纳设计随机模拟试验
16、中需要考虑的 主要问题，理清设计试验的思路 师生互动师生互动，学生以送报纸问 题为例，思考设计试验需要 解决的主要问题。 考查学生的归 纳整理能力 拓展拓展 运用运用 10 分钟 1.1. 问题转化问题转化 例 3 在图 3.3-3 的正方形中随机撒一把 豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值。 图 3.3-3 问：问：先思考，假设正方形的边长为 2 ，在 正方形中随机撒一把豆子，豆子落在圆内 的概率是多少？ 讲授：故要估计圆周率的值，实为估计豆 子落在圆内的概率。 答：答： 2 2 1 = S24 S p 圆 正方形 考查学生对已 掌握的知识和 方法的迁移能 力 2.2. 思路类比思路类比 类
17、比例 2 试验设计思路，通过回答表格中的问题，形成试 验的雏形。 例 3 圆周率的估计问题 模拟什么？豆子落点 用什么模拟？建系后， 用两组 x、 y 均匀随机数 构成横纵坐标。 随机数的范围？ 1,1x 1,1y 事件发生的条件？ 22 1xy 随机模拟试验的工具Excel 表格 师生互动，老师围绕例 2 提炼出的主要问 题提问，让学生类比运用，独立思考设计 随机模拟试验， 并最后落实 Excel 表格的设 计上。 学生以例 2 提炼出的主要思 路，思考例 3 的试验设计， 掌握均匀随机数的产生的 运用方法 类比例 2 的 Excel 表格，初步设置例 3 的 Excel 表格 3.3. 课
18、后实践课后实践 任务：思考每个空格填入的函数，完成 Excel 表格的设计， 并将按表格的设置，实践操作，估计出圆周率的值 安排学生课后完成实践操作任务课后落实例 3 的实践和操作 课堂课堂 小结小结 3 分钟 课堂总结课堂总结课后作业课后作业 引导学生归纳课堂学习内容，突出本课核 心思想 回顾课堂学习过程，领悟随 机模拟的核心思想 考查学生的归 纳整理能力 教案说明教案说明: : 本课教学过程的主要特点概括如下： 1. 强调随机模拟试验的设计，突出其实用性和可操作性。 随机模拟试验的设计是重点和难点，本课通过问题引导铺垫思考向，通过小组讨论落实表格设计，通过实践操作得出试验结果，通过准确度比
19、赛验证结果 可靠性，以此突出重点，突破难点。 2. 类比式教学方法有效使用，各教学环节自然衔接。 从古典概型整数值随机数的产生类比到几何概型均匀随机数的产生，从随机模拟试验的散点图类比到几何概型面积问题的示意图，从例 2 送报纸问题试验 思路的提炼类比到例 3 圆周率问题的方案设想，类比式的教学方法有效的将各个教学环节串起来，自然衔接。 3. 突出学生主体，体现参与和实践是提高数学素养的有效方法 本课的内容决定了学生的主体地位，均匀随机数的产生，随机试验方案的设想，Excel 表格的设计，试验的操作，结果真实性的验证，都需要学生亲自动手， 从而提升学生数学建模和数据处理的数学素养。 4. 充分使用信息技术，提高课堂效率 均匀随机数的产生需要信息技术的支持，通过 Excel 表格实现了短时间内大量的重复试验，数据的统计，图表的呈现也有赖于信息技术的强大。而在几何 概型解决送报纸问题中，几何画板的使用也是一大亮点，形象直观地表现出为面积型概率问题的特点。
