1、课题：回归分析的初步应用 教材：人民教育出版社 A 版 授课教师：海南省农垦中学 吴春霞 一、一、教学目标教学目标 a) 知识与技能知识与技能 能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。 知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。 通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果。 b) 过程与方法过程与方法 通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。 让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法 的特点，认识统计方法的应用。 通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器 处理数据的方法。 c) 情情感、感、态态度度与价值与价值观
2、观 从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。 通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和 转化能力。 通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取 之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。 二二教学重教学重点点、难点、难点 重点重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转 化为线性回归模型。 难点难点：如何启发学生“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变 非线性为线性，建立线性回归模型。 三三、教学、教学过程过程设设计计 项项目目内内容容师生活动师生活动设计意图设计意图 一一、 创创 设设 情情 境境 1、 你
3、能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗？ 师：提出问题，引导学生回 忆建立回归模型的基本步 骤（选变量、画散点图、选 模型、估计参数、分析和预 测）。 生：回忆、叙述建立回归模 型的基本步骤。 复习建立线性回 归模型的基本步 骤，为建议非线 性模型做准备。 2、背景介绍背景介绍： 红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温 度为 25 一 32C，相对湿度为 80一 100， 低于 20C 和高于 35C 卵不能孵化，相对湿度 师：通过“红铃虫”的背景 介绍，指出其发生受温度的 影响，为采取有效防治方 法，有必要研究红铃虫的产 通过背景材料， 加深学生对问题 的理解，并明白 “为什么要学”。 教教 学学
4、 过过 程程 分分 析析 60 以下成虫不产卵。 冬季月平均气温低于一 48 时，红铃虫就不能越冬而被冻死。 卵数和温度之间的关系，揭 示课题。 生： 阅读材料， 了解红铃虫， 以及其产卵数和温度有关 系。 体会问题产生于 生活。同时激发 学习兴趣，提高 学习的积极性。 二二、 探探 索索 新新 知知 1、例 2.现收集了一只红铃虫的产卵数 y 和温 度 x 之间的 7 组观测数据列于下表： 温度 xoC21 23 25 27 293235 产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 (1)试建立 y 与 x 之间的回归方程； 并预测温度 为 28oC 时产卵数目。 (2)你所
5、建立的模型中温度在多大程度上解释 了产卵数的变化？ 探究：探究： 方案方案 1（学生实施）： （1）选择变量，画散点图。 （ 2 ） 通 过 计 算 器 求 得 线 性 回 归 方 程:y =19.87x-463.73 （3）进行回归分析和预测： R2=r20.8642=0.7464 预测当气温为 28 时，产卵数为 92 个。这个线 性回归模型中温度解释了 74.64%产卵数的变 化。 困惑困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加， 气温为 28 时，估计产卵数应该低于 66 个，但 是从推算的结果来看 92 个比 66 个却多了 26 个，是什么原因造成的呢？ 方案方案 2： （1）找到变
6、量 t=x 2，将 y=bx2+a 转化成 y=bt+a； （1）（2） 利用计算器计算出 y 和t 的线性回归方程： y=0.367t-202.54 （2）（3）转换回 y 和 x 的模型： （3） y=0.367x2-202.54 （4）计算相关指数 R20.802 这个回归模型 中温度解释了 80.2%产卵数的变化。 预测：当气温为 28 时，产卵数为 85 个。 困惑困惑：比 66 还多 19 个，是否还有更适合的模 型呢？ 方案方案 3： （1）作变换 z=lgy，将 xc cy 2 10 1 转化成 z=c2x+lgc1（线性模型）。 （4）（2） 利用计算器计算出z和x的线性回归
7、方程： 师：给出数据，让学生分析 两个变量的关系。 生：类比前面所学过的建立 线性回归模型的步骤，动手 实施方案方案 1。 师：引导学生分析结果，发 现问题。 生：检查结果，联系实际发 现问题。 探究一：探究一： 师：引导学生将所得散点图 和学过的函数图像比较，猜 想产卵数y和温度x的可以 用什么函数拟合？ 生：通过比较，发现接近于 指数关系，也像二次函数关 系。 师：通过计算机拟合，直观 判断所选模型。鼓励学生继 续探索。 生：经过讨论建立模型： y=bx2+a， xc acy 2 1 探究二（方案探究二（方案 2）: 师：提出问题“如何求参数 a、b?”可引导学生观察、 比较表达式 y=b
8、x2+a 和 y=bx+a。 生：通过比较，发现可利用 t=x 2，将 y=bx2+a（二次 函数）转化成 y=bt+a（一 次函数）。 师：提醒学生再检查结果。 生：产生新的问题。 探究三（方案探究三（方案 3）: （6）师：提出问题“如果选用指 数模型，是否也能转换成线 性模型，如何转化？” 引导学生对结果 进行分析，从而 发现已有知识不 足，激发好奇心、 求知欲。同时培 养学生对问题的 洞悉能力，增强 对结果的敏感自 检能力。 通过联想、比较， 运用已有知识寻 找解决问题的方 法。 二次函数和一次 函数比较接近， 所以先建立二次 函数模型。 通过比较，寻找 转化的途径，突 破难点。 步步
9、推进，引发 另一高潮。 二二、 探探 索索 新新 知知 z=0.118x-1.672 （5）（3）转换回 y 和 x 的模型： 672. 1118. 0 10 x y （4）计算相关指数 R20.985 这个回归模型 中温度解释了 98.5%产卵数的变化。 预测：当气温为 28 时，产卵数为 4 2 个。 （7）生：（1）利用对数降幂法 （教师可启发学生思考“幂 指数中的自变量如何转化 为自变量的一次幂？”可引 导学生回忆对数的运算性 质以及指对数关系。）。 （2）在计算中发现只有以 10 或 e 为底，才能直接运 用计算器。 再次体会“转化” 课堂上选用以 10 为底，让学生亲 自体会可以选
10、用 不同的底。 经历动手体验， 感受“转化”以 及使用统计方法 处 理 数 据 的 过 程。能利用计算 器熟练进行相关 计算。 2、比较例 2 的三个模型。 师：以上三个模型，哪个能 更好的刻画红铃虫的产卵 数 y 和温度 x 的关系？ （可 引导学生从散点图、相关指 数两种方法进行比较。） 生：进行比较后获得指数模 型更好。 引导学生进行不 同模型的比较。 体会“虽然任意 两个变量的观测 数据都可以用线 性回归模型来拟 合，但不能保证 这种模型对数据 的 拟 合 效 果 最 好，为更好的刻 画两个变量之间 的关系，要根据 观测数据的特点 来 选 择 回 归 模 型” 三三、 练练 习习 选修
11、 1-2：P13 3 或选修 2-3： P104 3 生：自主思考，探究解题思 路。 师：针对学生的解答强化或 给予肯定。 使学生掌握解决 这 类 问 题 的 方 法。 四四、 小小 结结 （1） （2） （3）（1）如何发现两个变量的关系？ （4） （5）（2）当选用非线性回归模型时，如何建立模 型？ （3）如何比较不同模型的拟合效果？ 师：提出问题，引导学生回 顾例 2 的思路。 生：独立思考，总结从例 2 中获得的启发:可以从散点 图直观发现关系；选用非线 性回归模型时，往往要用 “等量变换、对数变换”等 方法，转化成线性回归模 型；可以利用相关指数比较 模型。 让学生整理建立 非线性回
12、归模型 的思路。 五五、 1、某种书每册的成本费 y（元）与印刷册生：自己收集资料，自主完使学生“学以致 作作 业业 数 x（千册）有关，经统计得到数据如下： x12345 y10.155.524.082.852.11 x678910 y1.621.411.301.211.15 (1)画出散点图； (2)求成本费 y （元） 与印刷册数 x （千册） 的回归方程。 2、 通过互联网收集 1993 年至 2003 年每年中 国人口总数的数据，建立人口与年份的关系， 预测 2004 和 2005 年的人口总数，并计算与 实际数据的误差。 成作业。用”利用已有知 识 解 决 实 际 问 题，增强学习
13、数 学的兴趣 四、教学设计说明：四、教学设计说明： 高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修 3 和选修 1-2 （文科）、选修 2-3（理科）。数学 3中的“统计”一章，给出了运用统计 的方法解决问题的思路。 “线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。 在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直 线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。然而在大量的实际问题中，两个变 量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本 课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的 回归模型。 这个内容在人教 A 版
14、教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却 代表了一种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决 方法呢？为此，我设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃 虫”的背景资料来激发学生的学习兴趣；鼓励学生用已有知识解决问题，引导学 生检查结果从而发现新问题；通过分组合作来对不同方案进行探索；使学生在合 作探索的过程中体会“选择模型将非线性转化成线性”方法，体会“化 未知为已知、用已知探索未知”思想，同时认识不同模型的效果。培养学生观察、 类比联想，以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探索、动手实践，养 成独立思考、积极探索的习惯。 在“选模型”这个环节中，我引导将散点分布和已学函数图像进行比较，从 而发现二次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中，通过引导学生观察所 选模型，联系已学知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到转化的途径。在 运算过程中，如求“相关指数”我引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其 相关系数即为相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法和技能。
