1、点到直线的距离 人教版高二（上）第七章第三节第 4 课时 山西省阳泉市荫营中学王萍 教学目标：教学目标： 1让学生理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，会 用点到直线距离求两平行线间的距离 2培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、化归（或转化） 、 特殊到一般的数学思想方法以及数学应用意识 3让学生了解和感受探索问题的方法，以及用联系的观点看问题在探索问题 的过程中体验成功的喜悦 教学重点：教学重点：点到直线距离公式及其应用 教学难点：教学难点：点到直线距离公式的推导 教学方法：教学方法：启发式讲解法、讨论法 教学工具：教学工具：电脑多媒体 教学过程：教学过程
2、： 一、提出问题一、提出问题 多媒体显示实际的例子： 某电信局计划年底解决本地区最后一个小 区的电话通信问题经过测量，若按照部门内 部设计好的坐标图（即以电信局为原点） ，得知 这个小区的坐标为 P（1，5） ，离它最近的只 有一条线路通过，其方程为 2x+y+10=0要完 成这项任务，至少需要多长的电缆线？ 这个实际问题要解决，要转化成什么样的 数学问题？学生得出就是求点到直线的距离 教师提出这堂课我们就来学习点到 直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离 二、解决问题二、解决问题 多媒体显示：已知点 P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点 P 到直线l的距 离 怎样求点到直线距
3、离呢？学生应该很快能回答出，做垂线找垂足 Q，求线段 PQ 的长度怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况学生提出平 行于 x 轴和 y 轴的特殊情况显示图形： y -10 x -8 P(-1,5) Q 10246-4-8-10 O 8-2-6 -4 -6 -2 2 4 6 8 10 l l x O y S M Q N R P(x0, y0) 板书： B CBy B C yyyPQCBylA Q 0 00 , 0:0时，当 A CAx A C xxxPQCAxlB Q 0 00 , 0:0时，当 时，当0AB如何求PQ？ 学生思考
4、回答下列想法： 思路一思路一：过P作lPQ 于Q点，根据点斜式 写出直线PQ方程，由PQ与l联立方程组解得Q 点坐标，然后利用两点距离公式求得 教师评价：此方法思路自然，但是运算繁琐并多媒体展示求解过程 解：直线PQ： 000 ,xxxx A B yy，即 00 AyBxAyBx 由 0 00 CByAx AyBxAyBx ， 22 00 2 BA ACAByxB xQ 2 0 2 0 yyxxd QQ 说明：本过程只展示，不在课堂推导 教师提问：能否用其它方法，不求点 Q 的坐标，求线段 PQ 的长度? 学生思考：放在三角形-特殊三角形-直角三角形中 教师提问：如何构造三角形？第三个顶点选在
5、什么位置？ 学生思考：可能在直线l与 x 轴的交点 M 或与 y 轴交点 N，或过 P 点做 x,y 轴的平行线与直线l的交点 R、S 教师根据学生提出的点的位置作分析，求 解过程的繁与简，最后决定方法下列是学生 可能提到的情况： 思路二思路二：在直角PQM,或直角PQN 中, 求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦 值 O y x P (x0,y0) Q 00 22 A AxByC AB 222 0000 0 22 Q B xAByACA xB x xx AB 00Q B yyxx A 00 22 AxByC B AB 00 22 AxByC AB 22 00 22 1 ABAxByC
6、AB 思路三思路三： 在直角PQR,或直角PQS 中,求边长与角 （角与直线倾斜角有关， 但分情况）,用余弦值 思路四思路四：在直角PRS 中，求线段 PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角 和分情况） ，求得线段 PQ 长 学生练习求解思路四教师巡视，根据学生情况演示过程 解：设 00, y xP， QQ yxQ,， 0 , yxR R ， S yxS, 0 0 0 CByAxR， A CBy xR 0 ；0 0 CByAx S ， B CAx yS 0 A CByAx xxRP R 00 0 B CByAx yyPS S 00 0 由PSPRRSPQ， RS PSPR PQ 而 22 P
7、SRPRS 22 22 00 BA BA CByAx 2200 BA AB CByAx 22 00 BA CByAx PQ 说明说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目 教师提问：上式是由条件下时当0AB得出，对时，或当00BA成立吗？ 点 P 在直线l上成立吗？ 公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？ 由此推导出点 P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0 距离公式： 22 00 BA CByAx d 教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识 中，有向量的模由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线 的法向量的概念 ）能
8、否用向量知识求解呢？ 思路五思路五：已知直线l的法向量n，则nPQ， nPQ，如何选取法向量？直线的方向 向量 B A , 1，则法向量为 A B , 1，或BA,，或其 它由师生一起分析得出取nBA, 教师板演： 00, yyxxPQ QQ ，BAn, Axx Byy Axx Byy Q Q Q Q 0 0 0 0 ， 由于点 Q 在直线上,所以满足直线方程 0)()( 00 CByBAxA,解得 22 00 BA CByAx 22 22 00 BA BA CByAx nPQ 22 00 BA CByAx 教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是 现在新教材知识
9、的交汇点而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中， 用坐标联系转化是常用方法 三、公式应用三、公式应用 练习： 1.解决课堂提出的实际问题 （学生口答） 2.求点 P0(1,2)到下列直线的距离 ： 3x=25y=32xy=10y=4x+1 练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式 练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式 教师强调：直线方程的一般形式 例题： 3.求平行线 2x7y8=0 和 2x7y6=0 的距离 教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？ 学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离 师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性 学生自己练习，
10、教师巡视教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及 结果然后选择一种取任意点的方法进行板书 解：在直线 2x7y6=0 上任取点 P(x0，y0)，则 2 x07 y06=0，点 P(x0，y0) 到直线 2x7y8=0 的距离是 53 5314 53 86 )7(2 872 22 00 yx d P (x0,y0) Q O y x n x 5 4 3 1 -5 1 -2 -4 -3 -1 532 y 2 -1-3 O 4-2-4-5 教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多除了选择直线上的点，还可以选 取原点，求它到两条直线的距离，然后作和或者选取直线外的点 P，求它到两 条直线的距离，然后
11、作差 引申思考：0 1 CByAx与0 2 CByAx两平行线间距离公式 四、课堂小结四、课堂小结： （由学生总结） 1知识：点到直线的距离的公式推导以及应用 2数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法 3多角度考虑问题，一题多解 五、布置作业五、布置作业 1课本习题 7.3 的第 13 题-16 题； 2总结写出点到直线距离公式的多种方法 教学设计说明： 一、教材分析 我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说 明的。教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容。我确定教学目标的依据 有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况。 二、教
12、学方法和手段 1、教学方法的选择 （1）指导思想：教师为主导，学生为主体，引导学生参与对事物的认识过 程。 （2）教学方法：启发式讲解法、讨论法。 2教学手段的选用 采用了电脑多媒体教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考， 而且迅速展示部分纯计算的解题过程，提高课堂效率。 三、教学过程 这节课我分： “提出问题解决问题公式应用课堂小结布置 作业”五个环节来完成。 首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问 题。通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而分析、归纳总结选择较好的方 N2 P N1 M2 M y 2 4 5 -4 -3 -2 -1-3 O -1 4
13、x 5123-2-4-5 -5 1 3 法具体实施。关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样 的证法。主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几 何结合应用是现在新教材知识的交汇点。 而且上述方法在今后解析几何与向量结 合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的 要求，也为今后的学习方法奠定了基础。 我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答 完成。我强调注意在公式中直线方程的一般式。例题的选取来自课本，但是课本 只有一种特殊点的解法。我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题。在整 个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性。本节课小结主要由学生总结，教 师补充，尤其数学思想方法教师加以解释。在整节课的处理中，采取了知识、方 法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求。
