1、20162016 年全国高中青年数学教师优秀课教学设计年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 单单位：位：河南大学附属中学河南大学附属中学 授课人：授课人：范范 俊俊 杰杰 本资料分享自新人教版高中数学资源精本资料分享自新人教版高中数学资源精 选选 QQQQ 群群 483122854483122854，期待你的加入与分享，期待你的加入与分享 20162016 年年 1010 月月 正弦定理正弦定理 第一课时 一、教学内容解析 本节课正弦定理第一课时，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节正弦定理和余弦定理 。 课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角
2、形 边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他 数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上， 触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过 渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问， 在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化 关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证 明，教学过程中充分体现了转化
3、化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展 来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展 中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现推导证明实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上， 引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 数学课程标准中关于本节课的课程目标要求是： “在本章中，学生将在已有知识的基础 上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之
4、间的数量关系，并认 识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 ” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理； 2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法； 3、初步熟知正弦定理的两个重要应用。 另外，学生通过亲身经历正弦定理的发现、验证、证明，体会“陌生的知识借助熟悉的知识处 理” 转化化归的数学思想，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；通过自主 探究、合作交流，亲身体验正弦定理的发现过程，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维 品质和个人素养；培养学生合情合理探索数学规
5、律的数学思想方法。 三、学生学情分析 1、学生具有的基础 本节课内容安排在高二上学期讲授，学生在初中已经学过平面几何的相关知识，并能够较为熟 练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，在本章节的理解上不会有太大问题。 2、即将面临的问题 学生虽然有一定的观察分析和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度，学 生对解直角三角形熟悉，但是面对一般的解三角形问题，解决起来有一定难度。因此，我确定本节 课的难点是借助熟知的解直角三角形知识生成正弦定理的过程。 3、难点突破技巧 在教学过程中，我特别注重提升学生的学习积极性，尽量多得设置思维引导点，带领学生一起 分析并解决问题；在问题的处
6、理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，并得到新 知识；学习过程的推进也是逐步实现，环环相扣，循序渐进。 四、教学策略分析 本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师的引导下，让学生 探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和发现的过程， 形成思维。 五、教学过程 学习目标展示学习目标展示 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理； 2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法； 3、初步熟知正弦定理的两个重要应用. 学习环节学习目标评价任务学习活动设计意图 （ 一 ） 实例引入 激发动机 目标 1 获取
7、学生解 直角三角形的知 识的掌握情况， 评 价学生设计方案 的合理性。 观察学生的 解决问题的完成 过程， 并让学生分 享展示结果， 评价 学生的转化化归 能力， 对后续证明 的影响。 引例 1：如图，设 A、B 两点在河的 两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工 具，没法跨河测量，利用现有工具，你能 利用所学的解三角形知识设计一个测量 A、B 两点距离的方案吗？ （学生发散思维，老师提问发言） （老师追问） 引例 2：如果测量人员任意选取 C 点，测出BC的距离是 54m， 45B ,60C .问根据这些数据能 解决测量者的问题吗？ 引例 1： 引导学 生从熟知的直角三 角形出发，解决实 际问
8、题，为后续处 理一般三角形埋下 伏笔。 引例 2： 对于一 般三角形，学生比 较熟悉转化为直角 三角形解决，转化 化归的思想为后续 正弦定理证明埋下 伏笔。 学习环节学习目标评价任务学习活动设计意图 （ 一 ） 实例引入 激发动机目标 1 评价学生前后 知识串联的熟练 程度和对新问题 的探究欲望。 引例2数学模型： 在ABC中，54BC ， 45B ,60C .求边长AB. 问题：再看这个数学问题，已知三角 形的部分边长和内角，求其他边长和内 角。这个问题其实是解斜三角形的边角关 系问题。但是没有学过，我们知道在任意 三角形中有大边对大角，小边对小角的关 系，那么我们是否能够得到这个边、角关
9、系准确量化的表示呢？ 培养学生数学 建模思维。 在新问题产生 时，学生根据已有 的知识是迷茫的， 有疑惑的，这时也 是产生知识缺陷， 急需新知的时候， 恰如其分的勾起了 学生的求知欲。 （ 二 ） 实验探究 猜想证明 目标 1 目标 2 评价学生利 用三角函数定义 串联三边和三个 内角数量关系是 否准确合理。 探究一：直角三角形边角数量关系 （引导学生利用正弦函数定义，关键是引 导学生把两个正弦等式 c b B c a Asin;sin糅合在一起。 ） 探究二：斜三角形边角数量关系 实验 1：如图，在等边ABC中， 3 CBA,对应边的边长 1:1:1:cba，验证 C c B b A a s
10、insinsin 是否成立？ 从已有的知识 结构出发，不让学 生在思维上出现跳 跃，逐层递进，通 过已经熟悉的直角 三角形的边角关系 的探究作为切入 点，再对特殊的斜 三角形进行验证， 过渡到一般的斜三 学习环节学习目标评价任务学习活动设计意图 （ 二 ） 实验探究 猜想证明 目标 1 目标 2 目标 1 目标 2 评价学生实 验的完成情况， 和 实验结果的准确 性， 对实验结果的 认可。 评价展示过 程， 观察学生的感 知情况， 把握信息 的情况。 实验 2：如图，在等腰ABC中， 30BA, 120C，对应边的 边长3:1:1:cba，验证 C c B b A a sinsinsin 是否
11、成立？ 实验 3：借助多媒体动态演示，引导 发现随着三角形的任意变换， C c B b A a sinsinsin 、的值相等。 猜想：通过这样的一些实验，我们可 以猜想对于任意的斜三角型也存在这样 的边角数量关系： C c B b A a sinsinsin ； 问题：但是并没有经过严密的数学推 导，那么如何证明这个结论呢？ 角形边角关系的探 究。让学生亲自体 验数学实验探究的 过程，逐层递进， 体会数学实验的归 纳和演绎推理两个 侧面。 多媒体技术的 引入演示，让学生 更加直观感受到变 换，加深理解。 大胆猜想，激 发学生探索未知世 界的勇气。 经历猜想到证 明的过程，让学生 体会到数学新
12、知识 的获得仅仅靠猜想 学习环节学习目标评价任务学习活动设计意图 （ 二 ） 实验探究 猜想证明 目标 1 目标 2 目标 1 目标 1 目标 2 评价学生证 明过程的展示， 证 明方法和解决思 路的能力。 评价学生对 生成概念的理解 的准确程度。 评价学生证 明正弦定理的方 法的掌握程度。 证明方法 1作高法和面积法 引导学生利用熟悉的解直角三角形 知识对锐角三角形边角数量关系进行证 明，学生展示证明过程，并用不同的方法 进行说明。 概念生成： 展示正弦定理的定义：我们把三角形 边角关系的这条性质称为正弦定理（law of sines） ，即在任意一个三角形中，各边 和它所对的角的正弦的比相
13、等，即 sinC c sinB b sinA a 。 证明方法 2外接圆法 引导学生思考外接圆中直角的生 成，并进一步鼓励学生课下对其他证明方 法的搜集和整理。 和演绎推理是不够 的，必须经过严密 的数学推导进行证 明才可以。在这个 过程中，也进一步 促进学生数学思维 品质的提升。 让学生加深对 正弦定理概念的准 确理解 多种方法的证 明，拓宽学生思维， 进一步加深对正弦 定理的理解。 学习环节学习目标评价任务学习活动设计意图 （ 三 ） 首尾呼应 解决引例 目标 1 目标 3 评价学生正 弦定理解决引例 的情况， 和前后不 同解决方法对比 的优越性。 带领学生利用正弦定理解三角形，演 示解题
14、过程，解决引例中的疑问，引导学 生对前后方法进行对比，体会正弦定理的 应用。 借助解决过程给出定义：一般地，把 三角形的三个角CBA、和它们的对 边cba、叫做三角形的元素， 已知三角 形的几个元素求其他元素的过程叫做解 三角形。 让学生了解三 角形的概念，形成 知识的完备性。回 过头来，解决引例 中的问题，让学生 体会学习正弦定理 新知识解决实际问 题的方便，激发学 生不断探索新知识 的欲望。 （ 四 ） 学以致用 归类总结 目标 1 目标 3 关注学生能够使 用规范的数学语 言和符号表述解 题过程， 能够顺利 使用正弦定理， 体 现正弦定理的工 具性。 评价学生利 用正弦定理解决 问题的掌
15、握情况。 引导学生利用正弦定理解决例题并 展示，教师展示规范的解题过程。 例 1：30在中，已知ABCA 30 ，A 452,，求C、b、c.Ba 。 引导学生归纳正弦的第一个主要应 用 例 2：在ABC中，已知 ， 453222Aba解三角形。 引导学生归纳正弦的第二个主要应 用。 通过例题归纳 出正弦定理在解三 角形中的两个主要 应用，形成用正弦 定理解三角形的思 路，解决问题，提 升学习热情，体验 学习乐趣。 学习环节学习目标评价任务学习活动设计意图 目标 1 目标 3 了解学生对 正弦定理解三角 形的理解深度， 并 引导后续的学习。 问题：解三角形还有其他情况吗？ 如：已知两边和夹角。
16、 串联前后知 识，形成知识串， 激发学生后续学习 的兴趣。 （ 五 ） 总结升华 提升素养 目标 1 目标 2 目标 3 评价学生的 分享内容， 把握学 生对所学知识的 理解程度。 提问学生，总结分享收获： 通过学生的总结，突出本节课所学的知识 和技能，提炼学习过程中渗透的数学思想 方法，感受学习成功的喜悦。 有助于加深学 生对本节课重点核 心知识和数学思想 方法的把握，提升 学生的数学素养。 （ 六 ） 布置作业 课下探究 目标 1 目标 2 目标 3 关注学生作业的 完成情况， 进一步 跟进学生的学习 和思考。 1、正弦定理的其他证明方法； 2、通过以下题目，在已知三角形两条边 和其中一条的对角的条件下探究三角形 解的情况： 在ABC中， 已知 45A,6a， 3b，求B; 在ABC中， 已知 45A, 2 6 a， 3b，求B; 在ABC中，已知 45A, 2 1 a， 3b，求B; 课堂的学习时 间有限，课后的练 习和探究除了能够 加深对本节课重点 知识的巩固，还可 以让学生的学习延 伸到课外，获取更 多数学知识，培养 学生探究的兴趣。 求 是 创 新
