1、课题：2.2.2 对数函数（三） 教学目标： 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系， 了解反函数的概念， 加深对函数的 模型化思想的理解 过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一 教学重点： 重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念 难点 反函数的概念 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回馈 课外活动 由函数的观点分析例题，引出反函数的概念 两种函数的内在联系，图象关系 简单的反函数问题，单调性问题 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对 数函数的定义、图象、性质作一小结 简单的反函数问
2、题，单调性问题 互为反函数的函数图象的关系 教学过程与操作设计： 环节 呈现教学材料 师生互动设计 创 设 情 境 材料一： 当生物死亡后， 它机体内原有的碳 14 会按确定 的规律衰减， 大约每经过5730年衰减为原来的一半， 这个时间称为“半衰期” 根据些规律，人们获得了 生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系 回 答下列问题： （1） 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P， 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系， 指出 是我们所学过的何种函数？ （2）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求 该生物死亡的年数 t，并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关
3、系，指出是我们所学过的何种函数？ （3）这两个函数有什么特殊的关系？ （4）用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关 系是何种对应关系？ （5）由此你能获得怎样的启示？ 生：独立思考完成，讨 论展示并分析自己的 结果 师：引导学生分析归 纳，总结概括得出结 论： （1） P 和 t 之间的对应 关系是一一对应； （2） P 关于 t 是指数函 数 x P) 2 1 (5730； t 关于 P 是对数函数 xt 5730 2 1 log，它们的 底数相同， 所描述的都 是碳14的衰变过程中， 碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系； （3）本问题中的同底 数的指数函数和对数 函
4、数， 是描述同一种关 系（碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应关 系）的不同数学模型 材料二： 由对数函数的定义可知，对数函数xy 2 log 是把指数函数 x y2中的自变量与因变量对调位置 而得出的，在列表画xy 2 log的图象时，也是把 指数函数 x y2的对应值表里的x和y的数值对 换，而得到对数函数xy 2 log的对应值表，如下： 表一 x y2 环节 呈现教学材料 师生互动设计 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 1 4 1 2 1 1 2 4 8 表二 xy 2 log 在同一坐标系中，用描点法画出图象 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 1
5、4 1 2 1 1 2 4 8 生：仿照材料一分析： x y2与xy 2 log 的关系 师：引导学生分析，讲 评得出结论， 进而引出 反函数的概念 组织 探究 材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数 的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函 数互为反函数 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对 数函数互为反函数 材料二：以 x y2与xy 2 log为例研究互为 反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联 系？ 师：说明： （1）互为反函数的两 个函数是定义域、 值域 相互交换， 对应法则互 逆的两个函数； （2）
6、由反函数的概念 可知 “单调函数一定有 反函数” ； （3）互为反函数的两 个函数是描述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型 师： 引导学生探索研究 材料二 生：分组讨论材料二， 选出代表阐述各自的 结论， 师生共同评析归 纳 尝试 练习 求下列函数的反函数： （1） x y3； （2）xy 6 log 生：独立完成 巩固 反思 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数 函数的定义、图象、性质作一小结 作业 反馈 1 求下列函数的反函数： x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 环节 呈现教学材料 师生互动设计 x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 2 （1）试着举几个满足“对定义域
7、内任意实数 a、b，都有 f (ab) = f ( a ) + f ( b ) ”的函数实例， 你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？ （2） 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b，都有 f (a + b) = f ( a )f ( b ) ”的函数实例，你 能说出这些函数具有哪些共同性质吗？ 答案： 1互换x、y的数值 2略 课外 活动 我们知道， 指数函数0( aay x ， 且) 1a与 对数函数0(logaxy a ，且) 1a互为反函数， 那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学 知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！ 问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数
8、函数 x y2及其反函数xy 2 log的图象，你能发 现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？ 问题 2 取 x y2图象上的几个点，说出它们 关于直线xy 的对称点的坐标，并判断它们是否 在xy 2 log的图象上，为什么？ 问题 3 如果 P0（x0，y0）在函数 x y2的图象 上，那 么 P0关 于直线xy 的对 称点在 函数 结论： 互为反函数的两 个函数的图象关于直 线xy 对称 xy 2 log的图象上吗，为什么？ 问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？ 问题 5 上述结论对于指数函数 x ay 0( a，且) 1a及其反函数 0(logaxy a ，且) 1a也成立吗？为什么？
