1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（理）数学（理） 一、选择题 1.设2() 3()4 6zzz zi ，则z (） A.12i B.12i C.1 i D.1 i 答案： C 解析： 设zabi，则zabi，2() 3()464 6zzzzabii ，所以1a ，1b， 所以1zi . 2.已知集合 |21,Ss snnZ， |41,Tt tnnZ，则ST () A. B.S C.T D.Z 答案： C 解析： 21sn，nZ； 当2nk，kZ时， |41,Ss skkZ；当21nk，kZ时， |43,Ss skkZ.所以T S，STT.故选 C. 3.已知命题:px
2、R sin1x ；命题 | | :,1 x qxR e，则下列命题中为真命题的是 （） A.pq B.pq C.pq D.()pq 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域sin 1,1x ， 故xR ，sin1x ，p为真命题， 而函数 | | x yy e 为偶函数，且0 x 时， | | 1 x y e，故xR ， | | 1 x y e恒成立.，则q也为真命题，所 以pq为真，选 A. 4.设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（） A.1()1f x B.1()1f x C.1()1f x D.1()1f x 答案： B 解析： 12 ( )1 11 x f
3、 x xx ，( )f x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 2 ( )g x x 为奇 函数. 5.在正方体 1111 ABCD ABCD 中，P为 1 1 BD的中点， 则直线PB与 1 AD所成的角为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案： D 解析： 如图， 1 PBC 为直线PB与 1 AD所成角的平面角. 易知 11 ABC 为正三角形，又P为 1 1 AC中点，所以 1 6 PBC . 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑冰球和冰壶4个项目进行培训，每名 志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A.60种 B
4、.120种 C.240种 D.480种 答案： C 解析： 所求分配方案数为 24 54 240C A . 7.把函数( )yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲 线向右平移 3 个单位长度，得到函数sin() 4 yx 的图像，则)(f x （） A. 7 sin() 212 x B.sin() 212 x C. 7 sin(2) 12 x D.sin(2) 12 x 答案： B 解析： 逆向： 2 3 1 sin()sin()sin() 412212 yxyxyx 左移 横坐标变为原来的 倍 . 故选 B. 8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个
5、数，则两数之和大于 7 4 的概率为（） A. 7 9 B. 23 32 C. 9 32 D. 2 9 答案： B 解析： 由题意记(0,1)x ，(1,2)y ，题目即求 7 4 xy的概率，绘图如下所示. 故 1133 1 11 23 2244 1 1132 ABCD AM AN S P S 阴 正 . 9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高. 如图，点,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的 高度，称为“表高”，EG称为“表距” ，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差 称为“表目距的差”，则海岛的高AB（） A
6、. 表高 表距 表高 表目距的差 B. 表高 表距 表高 表目距的差 C. 表高 表距 表距 表目距的差 D. 表高 表距 表距 表目距的差 答案： A 解析： 连接DF交AB于M，则ABAMBM. 记BDM，BFM，则 tantan MBMB MFMDDF . 而tan FG GC ，tan ED EH .所以 11 ()() tantantantan MBMBGCEHGCEH MBMBMB FGEDED . 故 ED DF MB GCEH 表高 表距 表目距的差 ，所以高AB 表高 表距 表高 表目距的差 . 10.设0a ，若x a为函数 2 ( )() ()f xa x ax b的极大
7、值点，则 A.ab B.ab C. 2 aba D. 2 aba 答案： D 解析： 若0a ，其图像如图（1） ，此时，0ab；若0a ，时图像如图（2） ，此时，0ba. 综上， 2 aba. 11.设B是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的上顶点，若C上的任意一点P都满足， 2PBb，则C的离心率的取值范围是（） A. 2 ,1) 2 B. 1 ,1) 2 C. 2 (0, 2 D. 1 (0, 2 答案： C 解析： 由题意，点(0, )Bb，设 00 ( , )P x y ，则 222 22 000 0 222 1(1) xyy xa abb ，故 22 2 2222
8、2222 0 000000 22 ()(1)22 yc PBxybaybybybyab bb ， 0 , yb b . 由题意，当 0 yb 时， 2 PB最大，则 3 2 b b c ， 22 bc， 222 acc， 2 2 c c a ， 2 (0, 2 c. 12.设2ln1.01a ，ln1.02b，1.04 1c，则（） A.abc B.bca C.bac D.cab 答案： B 解析: 设( )ln(1)1 21f xxx，则(0.02)bcf，易得 1212(1) ( ) 12 12(1) 12 xx fx xxxx . 当0 x 时， 2 1(1)12xxx，故( )0fx.
9、 所以( )fx在0,)上单调递减，所以(0.02)(0)0ff，故bc. 再设( )2ln(1)1 41g xxx，则(0.01)acg，易得 2414(1) ( )2 12 14(1) 14 xx g x xxxx . 当02x时， 2 1 41 21xxxx ，所以( )gx在0.2)上0. 故( )g x在0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0gg，故a c. 综上，acb. 二、填空题 13.已知双曲线C： 2 2 1(0) x ym m 的一条渐近线为30 x my，则C的焦距 为. 答案： 4 解析： 易知双曲线渐近线方程为 b yx a ，由题意得 2 am， 2 1b
10、，且一条渐近线方程为 3 yx m ，则有0m（舍去） ，3m，故焦距为24c . 14.已知向量(1,3)a ，(3,4)b ，若()abb ，则. 答案： 3 5 解析： 由题意得()0abb ，即15250，解得 3 5 . 15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B ， 22 3acac，则b . 答案： 2 2 解析： 13 sin3 24 ABC SacBac ，所以4ac ， 由余弦定理， 222 328bacacacacac，所以22b . 16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的 三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依
11、次为（写出符合要求的一组答案即可）. 答案： 或 解析： 由高度可知，侧视图只能为或. 侧视图为， 如图 （1） ， 平面PAC 平面ABC，2PAPC，5BA BC，2AC， 俯视图为. 俯视图为，如图（2） ，PA平面ABC，1PA，5ACAB，2BC ，俯视图 为. 三、解答题 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下： 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y， 样本方差分别 己为 2 1 s和 2 2 S. （1）求x，y， 2 1 s， 2 2 s： （2
12、）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高( 如果 22 12 2 10 ss yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否 则不认为有显著提高 ) 。 答案： 见解析 解析： （1）各项所求值如下所示. 1 (9.810.310.010.29.99.810.010.1 10.29.7)10.0 10 x， 1 (10.1 10.410.1 10.010.1 10.310.610.510.410.5)10.3 10 y ， 222222 1 1 (9.710.0)2(9.810.0)(9.910.0)2(10.010.0)(10.1 10.0) 10
13、s 22 2 (10.2 10.0)(10.3 10.0 )0.036 ， 22222 2 1 (10.010.3)3(10.1 10.3)(10.310.3)2(10.410.3) 10 s 22 2 (10.5 10.3)(10.6 10.3 )0.04 . （2）由（1）中数据得 22 12 0.3,20.34 10 ss yx .显然 22 12 2 10 ss yx .所以不认为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 18.如图， 四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC ,M为BC 的中点，且PBAM. （1）求BC； （2）求二面角A PM B的正
14、弦值. 答案： 见解析 解析： （1）因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC.所以以DA ，DC ，DP 分 别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设BCt，0( ,0, )A t， 0( ,1, )B t，(,1,0) 2 t M，)(0,0,1P，所以 ( ,1, 1)PBt ，(,1,0) 2 t AM 因为PBAM，所以 2 1 0 2 t PB AM 所以2t ，所以2BC . (2) 设 平 面APM的 一 个 法 向 量 为,)(,mx y z， 由 于(2,0,1)AP ， 则 20 2 0 2 m APxz m AMxy .令2x ，的 ( 2
15、,1,2)m.设平面PMB的一个法向量为 ( , , )nx y z ， 则 20 20 n CBx n PBxyz . 令1y ， 的(0,1,1)n . 所 以 33 14 cos, 14|72 m n m n mn ，所以二面角A PMNB的正弦值为 70 14 . 19.记 n S为数列 n a 的前n项和， n b为数列 n S 的前n项积，已知 21 2 nn Sb . （1）证明：数列 n b 是等差数列； （2）求 n a 的通项公式. 答案： 见解析 解析： （1）由已知 21 2 nn Sb ，则 1 (2) n n n b S n b ， 1 11 211 2222(2)
16、 2 n nnnn nn b bbbbn bb ， 1 3 2 b ， 故 n b 是以 3 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列. （2）由（1）知 312 (1) 222 n n bn ，则 222 2 21 n n n S Snn ， 1n 时， 11 3 2 aS，2n 时， 1 211 1(1) nnn nn aSS nnn n ， 故 3 ,1 2 1 ,2 (1) n n a n n n . 20.设函数( )ln()f xax，已知0 x 是函数( )yxf x的极值点. （1）求a； （2）设函数 ( ) ( ) ( ) xf x g x xf x ，证明：( )1g x
17、. 答案： 见解析 解析： （1）令( )( )ln()h xxf xxax 则( )ln() x h xax ax . 0 x 是函数( )yxf x的极值点. (0)0 h . 解得：1a ； （2）由（1）可知： ( )ln(1)f xx ( )11 ( ) ( )( ) xf x g x xf xf xx ， 要证( )1g x ，即证 1111 10 ( )ln(1) x f xxxx （1x 且0 x ） (1)ln(1) 0 ln(1) xxx xx . 当0 x 时，ln(1)0 xx. 当01x时，ln(1)0 xx. 只需证明(1)ln(1)0 xxx 令( )(1)ln(
18、1)H xxxx，且易知(0)0H. 则 1 ( )1 ln(1)(1)ln(1) 1 H xxxx x （i）当0 x 时，易得( )0H x，则( )H x在(,0)上单调递减， (0)0H，( )(0)0H xH，得证. （ii）当01x时，易得( )0H x，则( )H x在(0,1)上单调递增. (0)0H，( )(0)0H xH，得证. 综上证得( )1g x . 21.已知抛物线C： 2 2(0)xpy p的焦点为F，且F与圆M： 22 (4)1xy上点 的距离的最小值为4. （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最 大值. 答案
19、： 见解析 解析： （1）焦点(0,) 2 p F到 22 (4)1xy的最短距离为 34 2 p ，所以2p . （2）抛物线 2 1 4 yx，设 11 ( , )A x y， 22 ( , )B x y， 00 ( , )P x y，得 PA l： 2 1111111 1111 () 2242 yx xxyx xxx xy， PB l： 22 1 2 yx xy，且 22 000 815xyy， PA l， PB l都过点 00 ( , )P x y，则 0101 0202 1 2 1 2 yx xy yx xy ， 故 AB l： 00 1 2 yx xy，即 00 1 2 yx xy
20、， 联立 00 2 1 2 4 yx xy xy ，得 2 00 240 xx xy， 2 00 416xy， 所以 2 222 0 00000 141644 4 x ABxyxxy， 2 00 2 0 4 4 PAB xy d x ，所以 22 0000 11 44 22 PABPAB SAB dxyxy 33 22 22 0000 11 (4)(1215) 22 xyyy . 而 0 5, 3y ，故当 0 5y 时， PAB S达到最大，最大值为20 5. 22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为)(2,1C，半径为1. （1）写出C的一个参数方程; （2）过点)(4,1F作C的两条切线.
21、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系， 求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1）C的参数方程为 2cos 1sin x y （为参数） （2）C的方程为 22 (2)(1)1xy 当直线斜率不存在时，直线方程为4x ，此时圆心到直线距离为2r，舍去； 当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)yk x ，化简为410kxyk ， 此时圆心(2,1)C到直线的距离为 2 |2141| 1 1 kk dr k ， 化简得 2 2|1kk， 两边平方有 22 41kk，所以 3 3 k . 代入直线方程并化简得3340 xy或3340 xy化为极坐标方程为 5 cos3 sin
22、43sin()43 6 或cos3 sin43sin()43 6 . 23.已知函数( ) |3|f xxax. （1）当1a 时，求不等式( )6f x 的解集； （2）若( )f xa ，求a的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当1a 时，( )6|1|3| 6f xxx， 当3x 时，不等式136xx ，解得4x ； 当31x 时，不等式136xx ，解得x； 当1x 时，不等式136xx ，解得2x . 综上，原不等式的解集为(, 42,) . （2）若( )f xa ，即 min ( )f xa ， 因为( ) |3| |()(3)| |3|f xxaxxaxa（当且仅当()(3)0 xa x时， 等号成立） ，所以 min ( )|3|f xa，所以|3|aa ，即3aa或3aa ，解得 3 (,) 2 a .
