1、1 福利：本教程由捡漏优惠券（）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包， 一般都是 5-10 元 支付的时候把选择余额宝就行呢每天都可以领取早餐钱 哟！ 2020 年高考理科数学年高考理科数学函数的定义与性质题型归纳与训练函数的定义与性质题型归纳与训练 【题型归纳】【题型归纳】 题型一题型一 求函数的定义域、值域求函数的定义域、值域 例例 1 （1）函数)(xf)4323ln( 1 22 xxxx x 的定义域为( ) A.), 2)4,(;B.) 1 , 0()0 , 4(；C. 1 , 0()0 , 4,;D.) 1 , 0(
2、)0 , 4, （2）设 x x xf 2 2 lg，则 x f x f 2 2 的定义域为（） A. 4 , 00 , 4；B. 4 , 11, 4；C. 2 , 11, 2；D. 4 , 22, 4 【答案】（【答案】（1）D；（；（2）B 【解析】（【解析】（1）欲使函数)(xf有意义，必须并且只需 0 04323 043 023 22 2 2 x xxxx xx xx ) 1 , 0()0 , 4 x，故应选择D （2）由 2 0 2 x x 得，( )f x的定义域为22x ，故 22, 2 2 22. x x 解得 4, 11,4x 。故 x f x f 2 2 的定义域为 4 ,
3、 11, 4.选 B. 【易错点】【易错点】抽象函数的定义域 【思维点拨】【思维点拨】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要 注意：分母不能为 0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底 数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集 合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意 定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。求复合函数定义域,即已知函数( )f x的定义为 , a b，则函 数 ( )f g x的定义域是满足不等式(
4、)ag xb的 x 的取值范围； 一般地， 若函数 ( )f g x的定义域是 , a b， 2 指的是 , xa b，要求( )f x的定义域就是 , xa b时( )g x的值域。 例 2. 已知函数 x axx xf 2 )( 2 )., 1 ,x （1）当 2 1 a时，求函数)(xf的最小值； （2）若对任意1,),( )0 xf x恒成立,试求实数a的取值范围。 【答案】（【答案】（1）)(xf在区间), 1 上的最小值为 2 7 ) 1 (f （2） 3a 【解析】（【解析】（1）当 2 1 a时， 2 2 1 1)( , 2 2 1 )( x xf x xxf 1x，0)( x
5、 f。)(xf在区间), 1 上为增函数。 )(xf在区间), 1 上的最小值为 2 7 ) 1 (f。 （2）0 2 )( 2 x axx xf在区间), 1 上恒成立； 02 2 axx在区间), 1 上恒成立； axx 2 2 在区间), 1 上恒成立； 函数xxy2 2 在区间), 1 上的最小值为 3，3a 即3a 【易错点】不会求函数的值域。【易错点】不会求函数的值域。 【思维点拨【思维点拨】对于函数, 2 2 1 )( x xxf若0 x，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是 否成立，否则会得到222 2 1 22) 2 1 ()( x x x xxf 而认为其最小值为
6、22 ，但实际上，要取得等号，必须使得 x x 2 1 ，这时), 2 1 x 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常 转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函 数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型二题型二 函数图像函数图像 例例 1(1)函数|1| |ln xey x 的图象大致是() 3 (2)设函数的集合 2 11 ( )log (),0,1;1,0,1 22 Pf xxab ab ， 平面上点的集合 11 ( , ),0,1;1,0,1 22 Qx y xy
7、， 则在同一直角坐标系中，P中函数( )f x的图象恰好 经过Q中两个点的函数的个数是 （A）4（B）6（C）8（D）10 (3)如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的 运动速度( )VV t的图象大致为() ABCD 【答案】【答案】(1) D； (2)答案B (3)答案B O ( )V t tO ( )V t t O ( )V t t O ( )V t t 4 【解析】【解析】(1)当1x时，1) 1(xxy，可以排除 A 和 C；又当 2 1 x时， 2 3 y，可以排除 B (2)当1x时，1) 1(xxy，可
8、以排除 A 和 C；又当 2 1 x时， 2 3 y，可以排除 B (3)解析由图可知，当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)Q x的速度先由正到 0、到 负数， 再到 0， 到正， 故A错误； 质点( , )P x y在终点的速度是由大到小接近 0， 故D错误； 质点( , )P x y 在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因此C是错误的，故选B. 【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。 【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性
9、质角度思考 例例 2 求函数 2 2 2 222 9 93129 4 fxxxxx 的最小值 【答案】【答案】 57 4 f 【解析】【解析】由于 22 22 2 2 13 34 3334 xx f xxx 令 2 3 x y ，此为抛物线方程，其焦点为 3 0, 4 F ，准线方程为 3 4 y ， 记点3,4A，则可以改写为 2 22 2 13 34 34 fxxyxy ，它表示为抛物线上的 点,M x y到点A与到焦点F的距离之和：1 3 fMAMF， 注意点A 在抛物线的上方，由于点M到焦点的距离等于其到准线的距离：MFMH，故当点M移至 1 M使在垂线 1 AH上时，MAMH的值最小
10、，为 111 319 4 44 AMMHAH，即 119 34 f ，所以 57 4 f 【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。 【思维点拨】因数配形。【思维点拨】因数配形。 题型三题型三函数的性质函数的性质 例例 1（1）函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则() 5 A.( )f x是偶函数B.( )f x是奇函数 C.( )(2)f xf xD.(3)f x是奇函数 （2）对于正实数，记M为满足下述条件的函数( )f x构成的集合： 12 ,x x R且 21 xx，有 212121 ()()()()xxf xf
11、xxx下列结论中正确的是() A若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，则 12 ( )( )f xg xM B若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，且( )0g x ，则 1 2 ( ) ( ) f x M g x C若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，则 12 ( )( )f xg xM D若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，且 12 ，则 12 ( )( )f xg xM 【答案】（【答案】（1） D；（2） C ； 【解析】（【解析】（1）(1)f x与(1)f x都是奇函数， (1)(1),(1)(1)fxf xfxf x ， 函 数( )f x关
12、于 点(1,0)， 及 点( 1,0)对 称 ， 函 数( )f x是 周 期21 ( 1)4T 的 周 期 函 数.(14)(14)fxf x ，(3)(3)fxf x ，即(3)f x是奇函数。故选 D （2） 对 于 212121 ()()()()xxf xf xxx， 即 有 21 21 ()()f xf x xx ， 令 21 21 ()()f xf x k xx ， 有k， 不 妨 设 1 ( )f xM， 2 ( )g xM， 即 有 11,f k 22g k，因此有 1212fg kk，因此有 12 ( )( )f xg xM 【易错点】函数性质掌握不够透彻【易错点】函数性质掌
13、握不够透彻 【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证 例例 2.已知函数 11 811 ax f x axxa ，0 x, 1当8a 时，求 f x的单调区间； 2对任意正数a，证明： 12f x 【答案】【答案】( )f x在(0,1中单调递增，而在1,)中单调递减 6 【解析】【解析】 1、当8a 时， 11 31 x f x x ，求得 3 1 21 x fx xx ， 于是当(0,1x时， 0fx；而当1,)x时， 0fx 即( )f x在(0,1中单调递增，而在1,)中单调递减 （2）.对任意给定的0a ，0 x ，由 111
14、( ) 118 1 f x xa ax ， 若令 8 b ax ，则8abx ，而 111 111 f x xab （一）、先证 1f x ；因为 11 11xx ， 11 11aa ， 11 11bb ， 又由 4 22 224 28abxabxabx，得6abx 所以 111111 111111 f x xabxab 32()() (1)(1)(1) abxabaxbx xab 9()() (1)(1)(1) abxabaxbx xab 1 ()() 1 (1)(1)(1) abxabaxbxabx xab （二）、再证 2f x ；由、式中关于, ,x a b的对称性，不妨设xab则02
15、b （）、当7ab，则5a ，所以5xa，因为 1 1 1b ， 112 1 111 5xa ，此时 111 2 111 f x xab （）、当7ab，由得 , 8 x ab ， 1 81 ab abx ， 因为 2 2 2 1 11 114(1)2(1) bbb bbbb 所以 1 1 2(1)1 b bb 同理得 1 1 2(1)1 a aa ，于是 1 22 2 118 abab fx abab 7 今证明2 118 abab abab , 因为2 11(1)(1) abab abab ， 只要证 (1)(1)8 abab abab ，即8(1)(1)abab，也即7ab，据，此为显然
16、 因此 得证故由得( )2f x 综上所述，对任何正数a, x，皆有 12f x 【易错点】函数性质掌握不够透彻【易错点】函数性质掌握不够透彻 【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证 【巩固训练】【巩固训练】 题型一题型一求函数的定义域和值域求函数的定义域和值域 1. 设x表 示 不 超 过x的 最 大 整 数 （ 如22,1 4 5 ） , 对 于 给 定 的nN*, 定 义 (1)(1) , (1)(1) x n n nnx C x xxx x1, 求当x 3 ,3 2 时，函数 x C8的值域 【答案】【答案】28, 3 28 (
17、 3 16 , 4( 【解析】【解析】28, 3 28 ( 3 16 , 4(；当)2 , 2 3 x时，1x， x C x 8 8 ，因为函数 x u 8 在)2 , 2 3 上是减函数， 得 3 168 4 x ； 当)3 , 2x时 ，2x， ) 1( 56 8 xx C x ， 因 为6) 1(2xx， 由 单 调 性 得 28 ) 1( 56 3 28 xx ，故当x 3 ,3 2 时，函数 x C8的值域是28, 3 28 ( 3 16 , 4( 2.设函数 x x xf 2 2 ln)(，则函数) 1 () 2 ()( x f x fxg的定义域是 【答案】【答案】)4 , 2
18、1 () 2 1 , 4( 【解析】【解析】由0 2 2 x x 得，( )f x的定义域为22x。故 2 1 2 2 2 2 x x 8 解得 2 1 4x或4 2 1 x。 3.求函数 22 ( )10968256f xxxxx的最大值 【答案】【答案】最大值3 35 【解析】【解析】( )(1)(9)(4)(64)f xxxxx，则定义域为49x 为了从两个根式中移出相同的常数，注意(1)(64)63xx，即 22 164 1 6363 xx ，令 1 cos 63 x ， 64 sin 63 x ，为锐角， 又由(4)(9)5xx，即 22 49 1 55 xx ， 令 4 sin 5
19、 x ， 9 cos 5 x ，为锐角； 所以163cos ,95cosxx ，6463sin ,x 45sinx，于是， ( )3 35 coscossinsin3 35cos()3 35f x，当时等号成立，此时 19 coscos 635 xx ，于是 19(1)(9) 635635 xxxx 82 6817 ， 126 1 17 x ， 126143 1 1717 x ，而 143 4,9 17 ； 即当 143 17 x ，( )f x取得最大值3 35 解二：利用()()abcdac bd， （因为2()abcdabcdabcdadbc，即 2 ()()()abcdac bd， 两
20、边开方便得上式，其中取等号当且仅当adbc）； 因此( )(1)(9)(64)(4)f xxxx x(1 64)(94)xxxx 63 53 35，其中取等号当且仅当(1)(4)(9)(64)xxxx，即 143 17 x 9 题型二题型二 函数图像问题函数图像问题 1.已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m0) 在区间8 , 8上有四个不同的根 1234 ,x x x x,则 1234 _.xxxx 【答案】【答案】-8 【解析】【解析】因为定义在 R 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f
21、 xfx,所以, 由)(xf为奇函 数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么 方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根 1234 ,x x x x,不妨设 1234 xxxx由对称性知 12 12xx 34 4xx所以 1234 1248xxxx 2.如图，动点P在正方体 1111 ABCDABC D的对角线 1 BD上过点P作垂直于平面 11 BB D D的直线，与正 方体表面相交于M
22、N，设BPx，MNy，则函数( )yf x的图象大致是（） AB C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O 【答案】【答案】B； 【解析【解析】过点P作垂直于平面 11 BB D D的直线，当点P运动时，线与正方体表面相交于MN，两点形成的 轨迹为平行四边形，可以看出x与y的变化趋势是先递增再递减，并且在x的中点值时y取最大 3.证明：满足不等式 12200 10 12200 xxx 的实数x的集合E可以表为一些互不相交的开区间之 并，试求出这些区间长度的总和 【答案】【答案】 200 1 10 20102010 i i Sx
23、【解析【解析】考虑函数 12200 ( )10 12200 f x xxx ，由于当1x 时，( )0f x ，故在区间(,1) 内，不存在使( )0f x 的实数x； 10 对于集1,2,200中的任一个k，由于当0 xk时，( )f x ，而当 0 xk时，( )f x ，且当x 时，10 x ，所以方程( )0f x 在区间 (1,2),(2,3),(199,200),(200,)内各有一个解；依次记这200个解为 12200 ,x xx， 于是函数( )yf x的图像大致如下： 今构作多项式( )(1)(2)(200)( )p xxxxf x，由于( )p x是一个200次多项式，故方
24、程 ( )0p x 至多有200个互异根，显然每个使( )0f x 的 i x都是( )0p x 的根（注意 1,2,200 x 都不是( )0p x 的根，因为每个xk均使( )f x无意义） 因此 12200 ,x xx便是( )0p x 的全部根这表明,每个 k x是其所在区间 ( ,1)k k ,1,2,199k 及(200,)中的唯一根 从而不等式( )0f x 的解集是 12200 (1,)(2,)(200,)Exxx，故得所有区间长度的总和为 12200 (1)(2)(200)Sxxx 200 12200 1 ()(1 2200)10 2010 i i xxxx 注意 12200
25、 ( )(1)(2)(200) (10) 12200 p xxxx xxx 如将( )p x展开，其最高项系数为10，设 200199198 12199200 ( )10p xxa xa xaxa 又有 12200 ( )10()()()p xxxxxxx 据得， 200 1 1 1 10 i i xa （其中 1 a为( )p x的 199 x的系数） 1 O 2200 y x 11 下面由直接计算 199 x的系数 1 a: 由 于 在 12200 ( )(1)(2)(200) (10) 12200 p xxxx xxx 中 ， 199 x的 系 数 是 10 (12200)1020100
26、， （这是因为，在(1)(2)(200) k xxx xk 中， 199 x的系数为k， 1,2,200k ） 所以( )p x中的 199 x的系数是(101) 20100，即 1 11 20100a ； 从而 200 1 1 1 11 2010 10 i i xa 由得， 200 1 10 20102010 i i Sx . 题型三题型三函数的性质函数的性质 1.设函数)7()7(),2()2(),()(xfxfxfxfxf上满足在，且在闭区间7 , 0上，只有 . 0)3() 1 ( ff （）试判断函数)(xfy 的奇偶性； （）试求方程0)(xf在闭区间2005,2005上的根的个数
27、，并证明你的结论. 【答案】见解析【答案】见解析 【解析】【解析】（）方法一：若)(xf是偶函数，则 )()4()2(2)2(2)(xfxfxfxfxf 于是有0)3()34()7(fff，这与在闭区间7 , 0上，只有. 0)3() 1 ( ff矛盾 故)(xf不是偶函数； 若)(xf是奇函数，则0)0()0()0(fff，这与在闭区间7 , 0上，只有. 0)3() 1 ( ff矛盾， 故若)(xf不是奇函数 所以)(xf既不是偶函数，也不是奇函数 方法二：因为在闭区间7 , 0上，只有. 0)3() 1 ( ff故0)0(f，即)(xf不是奇函数 又由)2()2(xfxf知，)5() 1
28、(ff，而0)5(f，所以0) 1(f，又. 0) 1 (f 12 所以) 1 () 1(ff，可见)(xf不是偶函数 所以)(xf既不是偶函数，也不是奇函数 （）方法一：因为)4()2(2)2(2)(xfxfxfxf )14()7(7)7(7)(xfxfxfxf 所以)4()14(xfxf，即)4()4(10 xfxf 所以)()10(xfxf，即)(10()(Znnxfxf 又. 0)3() 1 ( ff，所以110 nx和)(310Znnx都是方程0)(xf的根 由20051102005n和20053102005n及Zn得到 200, 2, 1, 0n 故方程0)(xf在闭区间2005,
29、2005上的根至少有 802 个 如果存在10, 7(c使得0)(cf，则0)()14(cfcf 但4147c，这与在闭区间7 , 0上，只有. 0)3() 1 ( ff矛盾 故0)(xf在10, 0上只有两个根，即1x和3x 设d是方程0)(xf在闭区间2005,2005上任意一个根，则存在整数n，使得 10, 0,10rrnd，且0)()10()(rfrnfdf 由上可知1r或3r，所以110 nd或310 nd（Zn） 所以故方程0)(xf在闭区间2005,2005上仅有 802 个根 方法二：由)4()2(2)2(2)(xfxfxfxf )10()3(7)3(7xfxfxf知)(xf是
30、周期为 10 的函数， 由)7()7(xfxf知)(xf的图象关于直线7x对称 又因为0)(xf在7 , 0上仅有. 0)3() 1 ( ff所以0)(xf在10, 7上没有根 即0)(xf在10, 0上只有两个根，即1x和3x 于是，0)(xf在2000, 0内只有 400 个根，在2005,2000上仅有 2 个根，在0 ,2000内仅有 400 个 13 根，在2000,2005上没有根。 所以故方程0)(xf在闭区间2005,2005上仅有 802 个根 2.定义在 R 上的奇函数( )f x有最小正周期 4，且0,2x时， 3 ( ) 91 x x f x 。求( )f x在2,2上
31、的 解析式。 【答案】【答案】 3 ,02, 91 ( )0, 2,0,2, 3 , 20 91 x x x x x f xx x )4 , 2 1 () 2 1 , 4( 【解析】【解析】当20 x 时， 33 02,(), 9191 xx xx xfx 又( )f x为奇函数， 3 ( )() 1 9 x x f xfx ， 当0 x 时，由( 0)(0)(0)0fff ( )f x有最小正周期 4， ( 2)( 24)(2)( 2)(2)0fffff 综上， 3 ,02, 91 ( )0, 2,0,2, 3 , 20 91 x x x x x f xx x 3.已知函数 fx的图象在,
32、a b上连续不断，定义： 1 minfxf t atx ,xa b， 2 maxfxf t atx ,xa b， 其中 min f x xD表示函数 fx在D上的最小值， max fx xD表示函数 fx在D上的最大 值.若存在最小正整数k， 使得 21 fxfxk xa对任意的,xa b成立， 则称函数 fx为, a b上的“k 阶收缩函数”. （）若 cosf xx，0,x，试写出 1 fx， 2 fx的表达式； 14 （）已知函数 2 f xx，1,4x ，试判断 fx是否为1,4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出 对应的k；如果不是，请说明理由； （）已知0b ，函数 32 3f xx
33、x 是0,b上的 2 阶收缩函数，求b的取值范围. 【答案】【答案】最大值3 35 【解析】【解析】（）由题意可得 1 cosfxx，0,x， 2 1fx ，0,x. （） 2 1 1,0 00,4 xx fx x ， 2 2 11,1 1,4 x fx xx ， 2 21 2 11,0 10,1 1,4 xx fxfxx xx ， 当1,0 x 时， 2 11xk x，解得1kx，故2k ； 当0,1x时，11k x，解得 1 1 k x ，故1k ； 当1,4x时， 2 1xk x，解得 2 1 x k x ，故 16 5 k ， 综上所述， 16 5 k . 即存在4k ，使得 fx是1
34、,4上的 4 阶收缩函数. （） 2 3632fxxxx x ，令 0fx，得0 x 或2x . 函数 fx， fx的变化情况如下： x,000,222, fx -0+0- f x减极小值 0增极大值 4减 令 0f x ，解得0 x 或 3. （）2b 时， fx在0,b上单调递增， 因此， 32 2 3fxf xxx ， 1 00fxf. 15 因为 32 3f xxx 是0,b上的 2 阶收缩函数， 所以， 21 20fxfxx对0,xb恒成立； 存在0,xb，使得 21 0fxfxx成立. 即： 32 32xxx对0,xb恒成立， 由 32 32xxx，解得：01x或2x ， 要使 3
35、2 32xxx对0,xb恒成立，需且只需01b. 即：存在0,xb，使得 2 310 x xx成立. 由 2 310 x xx得0 x 或 3535 22 x ， 所以需且只需 35 2 b . 综合可得： 35 1 2 b . （）当23b时， 1 0fx ， 2 ,02 2 ,2 f xx fx fxb ， 此时 21 ,02 2 ,2 f xx fxfx fxb ， 若 32 3f xxx 是0,b上的 2 阶收缩函数， 则 21 20fxfxx对0,xb恒成立， 则 2f xx对0,2x恒成立， 即 32 32xxx在0,2上恒成立， 而解 32 32xxx，得01x或2x ， 故 32 32xxx在0,2上不可能恒成立， 故23b时不符合条件. （）当3b 时， 1 0,03 ,3 x fx f xxb ， 2 ,02 2 ,2 f xx fx fxb ， 16 此时 21 ,02 2 ,23 2,3 f xx fxfxfx ff xxb ， 若 32 3f xxx 是0,b上的 2 阶收缩函数， 则 21 20fxfxx对0,xb恒成立， 则 2f xx对0,2x恒成立， 即 32 32xxx在0,2上恒成立， 而解 32 32xxx，得01x或2x ， 故 32 32xxx在0,2上不可能恒成立， 故3b 时不符合条件. 综合以上，可得： 35 1 2 b .
